Câu 4.73 trang 148 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao
\({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} ={2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n.
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\)xác định bởi \(\left\{ \matrix{ LG a Chứng minh rằng\({u_n} \ne - 4\)với mọi n. Lời giải chi tiết: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \({u_1} = 1 \ne - 4.\) Giả sử \({u_n} \ne - 4\). Ta chứng minh \({u_{n + 1}} \ne - 4.\) Thật vậy, \({u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \(\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\) Điều này trái với với giả thiết quy nạp. LG b Gọi\(\left( {{v_n}} \right)\)là dãy số xác định bởi \({v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\) Chứng minh rằng\(\left( {{v_n}} \right)\)là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy\(\left( {{u_n}} \right)\). Lời giải chi tiết: \({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} ={2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n. Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = {2 \over 5}.\) Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn. Vì \({v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}\) với mọi n nên \(\lim {v_n} = 0.\) Từ đẳng thức trong b) suy ra \({u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\) Do đó \(\lim {u_n} = - 1.\)
|