Với loạt Góc và cung lượng giác và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Góc và cung lượng giác và cách giải

1. Lý thuyết

1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

\= suy ra và 1 rad =

* Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo

thì độ dài l= R.

2. Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

* Góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V. Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

- Góc lượng giác: Tia Om quay xung quanh gốc O từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Ta nói tia O đã tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu (Ou, Ov)

- Cung lượng giác: Điểm M chuyển động theo một chiều từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác có điểm đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu là

- Số đo cung lượng giác:

+) Số đo của một cung lượng giác

(U

V) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung

là sđ

+) Nếu một cung lượng giác có số đo

( hay rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng + k (hay + k2) với k Z . +) Số đo của góc lượng giác (OU, OV) là số đo của cung lượng giác tương ứng

3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm O bán kính R = 1 trong hệ tọa độ Oxy. Ta lấy điểm A(1; 0) là điểm gốc của đường tròn đó.

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng

trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm gốc là điểm A(1;0) và điểm ngọn C sao cho sđ \= .

2. Các dạng bài

Dạng 1.1: Cách đổi độ sang rađian và rađian sang độ

1. Phương pháp giải:

* Đổi độ sang rađian:

Áp dụng lý thuyết:

, ta suy ra: \= rad

* Đổi rađian sang độ:

Áp dụng lý thuyết: 1rad =

, ta suy ra: rad = .

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đổi số đo của các góc sau sang rađian

1. 180o

2. 22o33'

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức:

\= rad

1. 180o = 180.
   rad =

2. 22o33' = 22,5o = 22.5.
   rad =

Ví dụ 2: Đổi số đo của các góc sau sang độ:

Lời giải:

Áp dụng công thức:

rad =

1. rad =
   \= 72o

2. rad =
   \= 20o

Dạng 1.2: Cách tính độ dài cung tròn

1. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: l = R

, trong đó: l là độ dài cung tròn, R là bán kính đường tròn, là số đo bằng rad của cung.

Trường hợp có số đo bằng độ, ta có công thức: l = R.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính R =

cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn có số đo

là: l = R \= . \= 5cm

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính R = 10 cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo bằng 40o trên đường tròn.

Lời giải:

Độ dài của cung tròn có số đo bằng 40o là: l =

.R = .10 7cm

3. Bài tập tự luyện

1. Tự luận

Câu 1: Tìm số đo theo đơn vị rađian của góc 315o .

Lời giải:

Ta có 315o =

\= (rađian).

Câu 2: Cho a =

+ k2 . Tìm k để 10