Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
|
16:45:4118/10/2021 Phương trình mũ và phương trình logarit là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Việc giải phương trình này có một số cách khác nhau, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt của các em. Dưới đây là cách giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và logarit hóa; cách giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và mũ hóa để các em tham khảo. I. Phương trình mũ 1. Phương trình mũ cơ bản - Phương trình mũ cơ bản có dạng ax = b (0 Với b>0, ta có ax = b ⇔ x = logab Với b≤0, phương trình vô nghiệm * Ví dụ: Giải phương trình 3x = 27 > Lời giải: Ta có: 3x = 27 ⇔ x = log327 ⇔ x = 3. 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản a) Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số b) Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ c) Giải phương trình mũ bằng cách logarit hóa II. Phương trình logarit 1. Phương trình logarit cơ bản - Phương trình logarit cơ bản có dạng logax = b (0 Ta có: logax = b ⇔ x = ab. Phương trình luôn có nghiệm: x = ab. * Ví dụ: Giải phương trình logarit: log3x = -4. > Lời giải: - Ta có: log3x = -4 ⇔ x = 3-4 ⇔ x = 1/81. 2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản a) Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số b) Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ c) Giải phương trình mũ bằng cách mũ hóa Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Cách giải phương trình mũ và cách giải phương trình logarit. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công. Bài viết khác
09:04:5318/12/2018 Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Phương trình mũ cơ bản + Là dạng phương trình ax = b; (*), với a, b cho trước và 0 - Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm - Nếu b>0: II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số - Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc  - Logorit hoá và đưa về cùng cơ số: * Dạng 1: Phương trình af(x) = b ⇔ * Dạng 2: Phương trình: af(x) = bg(x) ⇔ hoặc: * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) b) * Lời giải: a) ⇔ ⇔ x2 - x + 8 = 2 - 6x ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x= -2 hoặc x = -3 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 2. Phương pháp dùng ẩn phụ * Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản B5: Kết luận. * Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t. + Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒ trùng phương ẩn t. > Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. * Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1 + Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2 º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 với a.b=1 ⇒ Đặt ẩn phụ t = af(x) ⇒ bf(x) = 1/t + Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x) = 0 với a.b=c2. ⇒ Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1. 3. Phương pháp logarit hóa + Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) + Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản - Xét bất phương trình ax > b - Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R - Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax > - Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab * Lời giải: a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8 b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3 c) ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 d) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2) * Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau a) * Lời giải: a) b) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2) c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144 ⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4 * Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ * Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau a) 9x - 4.3x + 3 = 0 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 c) 5x + 51-x -6 = 0 d) 25x -2.5x - 15 = 0 * Lời giải: a) 9x - 4.3x + 3 = 0 đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0). với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0 với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau t2 - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0) với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0 với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0 Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình: với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1 d) d) 25x -2.5x - 15 = 0 ⇔ 52x - 2.5x - 15 = 0 đặt t = 5x với t>0 ta được phương trình t2 - 2t - 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại) với t = 5 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 * Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá * Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau a) 3x = 2 b) 2x.3x = 1 * Lời giải: a) 3x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế Pt ⇔ log33x = log32 ⇔ x = log32 b) 2x.3x = 1 ⇔ (2.3)x = 1 ⇔ 6x = 1 ⇔ log66x =log61 ⇔ x = 0 hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được Pt ⇔ log2(2x.3x) = log21 ⇔ log2(2x.3x) = 0 ⇔ log22x + log23x = 0 ⇔ x+ x.log23 = 0 ⇔ x(1+ log23) = 0 ⇔ x = 0 * Giải các bất phương trình mũ sau * Bài tập 5: Giải bất phương trình a) 2x-1 < 5 b) 0,3x+2>7 c) e) * Lời giải: a) 2x-1 < 5 ⇔ x - 1 < log25 ⇔ x < 1+log25 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: b) 0,3x+2>7 ⇔ x + 2 < log0,37 ⇔ x < -2 + log0,37 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: c) Ta có: BPT ⇔ x2+3x-4 > 2(x-1) ⇔ x2 + x - 2 > 0 ⇔ x<-2 hoặc x>1 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: d) BPT ⇔ 33(1-2x) < 3(-1) ⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3) Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: e) BPT ⇔ ⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: f) Ta có: ⇔ Khi đó ta có BPT ⇔ ⇔ x-1 ≥ x2-3 ⇔ -x2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: * Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải) a) 36x - 3.30x +2.25x = 0 b) 3x+1 = 5x-2 c) 52x+1 - 7x+1 = 52x + 7x d) e) f) 9x - 3.6x + 2.4x > 0 g) 25x - 6.5x +5 > 0
Hy vọng với phần ôn tập về phương trình và bất phương trình mũ ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hayhochoi.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. |
