Các dạng toán quy tắc cộng quy tắc nhân năm 2024
PHÂN BIỆT QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản trong chương trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh không phân biệt được khi nào quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng trong việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ giúp ta phân biệt rõ và áp dụng đúng 2 quy tắc này.
Nhận xét: Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng: + Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân. + Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng. Như vậy, với nhận xét này, ta thấy rõ được sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Sau đây là một số bài tập minh họa: II. BÀI TẬP Bài 1: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Lập được bao nhiêu số tự nhiên trong mỗi trường hợp sau: 1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số. 2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau. Lời giải: 1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline {abcd} $ Chọn chữ số $d$ có 3 cách chọn, Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn, Chọn chữ số $b$ có 5 cách chọn, Chọn chữ số $c$ có 5 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $3.5.5.5 = 375$ (số). 2. Gọi số tự nhiên thỏa ycbt là $\overline {abcd} $ - Nếu $d = 0$: Chọn chữ số $d$ có 1 cách chọn Chọn chữ số $a$ có 5 cách chọn Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $1.5.4.3 = 60$ (số) $(*)$ - Nếu $d $$ \ne $ 0, có 2 cách chọn chữ số d Chọn chữ số $a$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $b$ có 4 cách chọn Chọn chữ số $c$ có 3 cách chọn Theo quy tắc nhân có: $2.4.4.3$ = 96 (số) $(**)$ Từ $(*)$ và $(**)$ theo Quy tắc cộng ta có $60 + 96 = 156$ (số) Bài 2: Bạn An có 5 bông hoa hồng khác nhau, 4 bông hoa cúc khác nhau, 3 bông hoa lan khác nhau, bạn cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả loại. Lời giải: Bài toán xảy ra 3 trường hợp. +Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách - Chọn 1 bông hồng thứ hai có 4 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.4.3 = 240$ cách (1) +Trường hợp 2: Chọn 1bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách - Chọn 1 bông cúc thứ hai có 3 cách - Chọn 1 bông lan có 3 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.3.3 = 180 cách (2) +Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan. - Chọn 1 bông hồng có 5 cách - Chọn 1 bông cúc có 4 cách - Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách - Chọn 1 bông lan thứ hai có 2 cách Theo quy tắc nhân, ta có $5.4.3.2 = 120$ cách (3) Từ (1), (2), (3), theo quy tắc cộng ta có: $240 + 180 + 120 =540$ cách. Bài 3: Cho các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên . Hỏi:
Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu
Bài 5: Trong một tổ học sinh của lớp có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn. Lời giải: Gọi $A$ là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh. Gọi $B$ là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ. Gọi $C$ là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán. Ta có $|C|=|A|-|B|$ (quy tắc cộng). Mặt khác dễ thấy $|A|= C_12^3 , |B|= C_4^3$, nên $|C|= C_12^3 -C_4^3=216$ Vậy có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán. Bài 6: Với tập $E = ${$1,2,3,4,5,6,7$} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và :
Bài 7 Cho các số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 1: Từ các chữ số $0, 2, 3, 4, 5, 7, 8$ 1. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số. 2. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau. 3. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì bằng nhau. 4. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà tổng hai chữ số hàng chục và đơn vị bằng 7. 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà tổng ba chữ số hàng trăm, chục và đơn vị bằng 9. Bài 2: Một tổ học sinh gồm 8 nam và 3 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 em để đi lao động, hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: 1. Chọn học sinh nào cũng được. 2. Trong 4 học sinh được chọn có duy nhất 1 học sinh nam. 3. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất 1 học sinh nữ. 4. Trong 4 học sinh được chọn, có nhiều nhất 2 học sinh nam. 5. Trong số học sinh được chọn thì số nam luôn nhiều hơn số nữ. Bài 3: Có bao nhiêu cách chia tập $A$ gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng. Bài 4: Có 20 học sinh; trong đó có 4 cặp sinh đôi. Chọn ra 3 học sinh sao cho không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 5: Một ngân hàng câu hỏi gồm 5 câu hỏi khó, 6 câu hỏi trung bình và 7 câu hỏi dễ. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm 5 câu hỏi sao cho: 1. Đề thi có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó. 2. Đề thi có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó. 3. Đề thi nhất thiết có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Bài 6: Tìm các số tự nhiên chia hết cho 2 và có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. Bài 7: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số từ $1;2;3;4;5;6;$ trong đó chữ số 1 và 6 có mặt 2 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số; trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau; 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần. Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ. Bài 10: Cho $0;1;...;7$.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4. |