Các dạng bài tập không gian vecto có lời giải năm 2024
Không gian con là khái niệm trong đại số và hình học giải tích để chỉ tập hợp con của một không gian vectơ mà bản thân tập hợp con đó là một không gian vectơ. Bài viết dưới đây TTnguyen sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản cùng các dạng bài tập liên quan về không gian vecto con giúp các bạn ôn tập được dễ dàng. Show
Xem thêm: trắc nghiệm đại số tuyến tính tóm tắt công thức đại số tuyến tính Định nghĩa không gian vectơ con tuyến tính là gì?Tập hợp A ≠ ∅ của \(R^{n}\) được gọi là không gian vecto con của \(R^{n}\) nếu:
Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vectơ hoặc đơn giản là phép cộng +: V × V V, lấy 2 vectơ bất kì v và w và đánh dấu một vectơ thứ 3 được viết là v + w, được gọi là tổng của các vectơ. Toán tử thứ 2 được gọi là phép nhân vô hướng: F × V V, lấy một vô hướng a bất kì và một vectơ v, cho ta một vectơ khác av. Tóm lại: Một tập con S của một không gian vecto V được gọi là không gian con nếu như bản thân S là một không gian vectơ với phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng được định nghĩa trên V. \>>> Xem thêm: ma trận chuyển cơ sở 2. Chứng minh không gian vecto con2.1 Kiểm tra có phải không gian vecto conVì phần tử đường chéo chính khác ban đầu (k+h≠1) => W không là vecto con
Lấy 2 ma trận bất kỳ thuộc P2 \(m_{1}=a_{1}+bx_{1}+c_{1}x^{2},a_{1}+b_{1}-c_{1}=0; m_{2}=a_{2}+b_{2}x+c_{2}x^{2},a_{2}+b_{2}-c_{2}=0\) \(km_{1}+hm_{2}=k(a_{1}+bx_{1}+c_{1}x^{2})+h(a_{2}+b_{2}x+c_{2}x^{2})\) \(=(ka_{1}+ha_{2})+(kb_{1}+hb_{2})x+(kc_{1}+hc_{2})x^{2}\) \(=(ka_{1}+ha_{2})+(kb_{1}+hb_{2}) – (kc_{1}+hc_{2}) \) \(k(a_{1}+b_{1}-c_{1})+h(a_{2}+b_{2}-c_{2})=0\) \=> W là vecto con 3. Cách xác định chiều và cơ sở không gian vecto con
+ Lập ma trận hàng + Biến đổi về dạng bậc thang + Dim = hạng của ma trận
3. Bài tập không gian vecto con có lời giải3.1 Bài tập tìm cơ sở và số chiều của không gian cona/ (1,-1,2), (2,1,3), (-1,5,0) ⊂ R3 Xét ma trận bổ sung sau: Vậy dim=3 và cơ sở là các vecto đã cho b/ (1,1,-4,-3), (2,0,2,-2), (2,-1,3,2) ⊂ R4 Xét ma trận bổ sung: Vật dim=3 và cơ sở là (1,1,-4,-3),(0.-2,10,4),(0,0,-4,2) c/ Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau: Giải Xét ma trận bổ sung: Đặt: x1= -a/4 x2=-2a-8b/8 x3=a x4=b Vậy dim=2 và cơ sở là d/ Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau: Giải Xét ma trận bố sung Đặt x1= -2a-b x2=-a-2b x3=a x4=b \=a(-2,-1,1,0)+b(-1,-2,0,1) Vậy dim =2 và cơ sở là (-2,-1,1,0), (-1,-2,0,1) Xem thêm: hệ phương trình tuyến tính hệ cramer Xem thêm: độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto 3.2 Xác định số chiều và không gian con của r43.3 Xác định số chiều của không gian con đa thức p34. Bài tập chứng minh không gian vecto con4.1 Bài tập chứng minh w là không gian con của r3Bài 1: Cho w ={(x,y,z) ∈ R3 | 2x-y = 0, x+y+z = 0} Giải + 0 = (0,0,0) ∈ w vì 2.0 – 0 =0 và 0 + 0 + 0 = 0 + Lấy u = (x,y,z) thoả mãn 2x – y = 0 vì x + y + z = 0 + Lấy v = (a,b,c) thoả mãn 2a – b =0 vì a +b + c =0 +) u + v = (x + a, y + b, z + c) Ta có:
\=> u + v ∈ w +) ku = (kx, ky, kz)
\=> ku ∈ w Vậy W là không gian con của r3 4.1 Bài tập chứng minh I là không gian con của r3Bài 2: Cho I ={(x,y,z) ∈ R3 | x = 2y, y = z} Giải Viết lại w như sau: I = {(2y, y,y) | y ∈ R} I= {(2, 1, 1) | y ∈ R} I= {(2, 1, 1) | x ∈ R} + 0 = (0,0,0) ∈ I vì 0 = 0(2,1,1) + Lấy u = x(2,1,1) với x ∈ R + Lấy v = y(2,1,1) với y ∈ R +) u + v = (x + y) (2,1,1) \=> u + v ∈ I +) ku = kx(2,1,1) \=> ku ∈ I Vậy I là không gian con của r3 4.2 Chứng minh w là không gian con của r4w = { (a; b; c; d) ∈ R4 | 2a + b = c = 3d } Giải Ta có: (0;0;0;0) ∈ w vì 2.0 + 0 = 0 – 3 =0 + Lấy u = (a1; b1; c1; d1) thoả mãn 2a1 + b1 = c1 – 3d1với u ∈ w + Lấy v = (a2; b2; c2; d2) thoả mãn 2a1 + b2 = c2 – 3d2 với v ∈ w +) u + v = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; c1 + c2 ; d1 + d2) \=> 2a1 + b1 + 2a2 + b2 = c1 -3d1 + c2 – 3d2 hay 2(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) = (c1 + c2) – 3(d1+ d2) \=> u + v ∈ w +) ku = (ka1; kb1; kc1; kd1) k(2a1 + b1 ) = k(c1 – d1) \=> 2(ka1) + kb1 = (kc1) – 3(kd1) \=> ku ∈ w Vậy w là không gian con của r4 Tổng kếtTrong không gian R2:
Trong không gian con R3
Trên đây là kiến thức cơ bản cùng bài tập không gian vecto con có lời giải. Hi vọng qua bài viết các bạn sẽ biết cách chứng minh 1 tập là không gian vecto con hay chứng minh w là không gian con của r3. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net |