Các bài toán thực tế về hình tròn xoay năm 2024
Nội dung text NHỮNG BÀI TOÁN THỰC TẾ - KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY (DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL SƯU TẦM VÀ GIỚI THIỆU).pdfTrang 1 CHƯƠNG III. KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta vẫn thường gặp những vật thể không gian như chiếc cốc, cây bút chì, chiếc nón là, lon sữa, khối rubik,... và việc nảy sinh những nhu cầu như đo đạc, phân tách, lắp ghép các vật thể là hoàn toàn tự nhiên. Trong chương này, chúng ta sẽ cùng dạo qua các bài toán hình học không gian nhưng không chỉ đơn thuần là giấy và bút, mà còn là cả một cuộc sống muôn màu mở ra trước mắt. Hy vọng kết thúc chương, các em sẽ thấy toán học gần gũi hơn ta tưởng rất nhiều. Chương III của chúng ta sẽ bao gồm các nội dung chính như sau: • Phần 1: Làm quen với các khối • Phần 2: Một số vấn đề định lượng • Bài tập trắc nghiệm • Đáp án và hướng dẫn giải PHẦN 1: LÀM QUEN VỚI CÁC KHỐI Hình học không gian đến với chúng ta từ những năm tháng đầu tiên của cuộc đời, và từ đó gắn chặt không rời cùng ta trong các hoạt động của cuộc sống. Đến đây, các bạn hẳn sẽ hồ nghi những điều mình vừa đọc, bởi lẽ trong trí nhớ của các bạn, những kiến thức về hình học không gian chỉ thực sự xuất hiện khi đi học: xuất phát từ việc làm quen với những hình khối đơn giản đến việc tìm hiểu những mối quan hệ trong không gian như song song, vuông góc về sau. Tuy nhiên, hãy bình tâm ngẫm lại một chút, có thực sự là chỉ khi đến trường các bạn mới được làm quen với những “hình hộp chữ nhât”, “hình chóp” hay không” Thuở chập chững biết đi, nói chưa tròn chữ, phiên bản “bé” của chúng ta đã vô cùng hứng thú với những món đồ chơi đầy màu sắc hình dáng “kì lạ”, mò mẫm tìm cách leo lên được những bậc thang dù chưa được dạy. Lớn lên một chút, ta say mê với những món đồ ghép hình (xem hình 3.1.1.a) hay các khối rubik (xem hình 3.1.3.b), ý thức được rằng hoàn toàn có thể tung mình từ thềm nhà xuống đất nhưng sẽ chùn chân nhụt chí khi leo cầu thang lên máng trượt cảm giác mạnh ở công viên nước, hay trong hồ bơi thiết nhi thì tung hoành vùng vẫy nhưng mỗi lần ra khu vực có tấm bảng “2m4” thì chỉ biết rung mình đứng trên bờ và nhìn xuống đáy hồ và phần nào mường tượng được nó sâu và nguy hiểm như thế nào dù chưa một lần thực sự lặn xuống đó. Chưa hết, các bạn hẳn đã từng thắc mắc tại sao một số người chơi rubil kì cựu có thể chỉ sau một phút quan sát là có thể nhắm mắt và xoay khối rubik về ban đầu. Trí nhớ tốt hiển nhiên đóng vai trò then chốt, nhưng họ cũng cần hiểu rất rõ những hình khối đó để biết được từng mặt sẽ đi tới vị trí nào sau mỗi bước xoay của mình. Trang 2 Như vậy, trong suốt quá trình trưởng thành, ta học hỏi và dần chiếm lĩnh được không gian, cũng như phát triển trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo của mình. Trong phần 1 này, chúng ta sẽ tìm hiểu môt số bài toán thú vị để làm quen với các khối trong không gian như: Phân chia và lắp ghép các khối, Bản vẽ các khối hay Mô hình các khối để từ đó dễ dàng tiếp cận với các chương về sau. CHỦ ĐỀ 1: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI Những hình ảnh như một khối phô mai bị cắt hay những mẫu xếp hình được lắp ghép lại với nhau là các ví dụ sinh động cho việc phân chia và lắp ghép các khối trong không gian. (Hình 3.2.1) Việc phân chia và lắp ghép cũng cần tuân thủ một số nguyên tắc nhất định. Ví dụ cho trước một khối lập phương, ta có thể cắt khối này theo nhiều cách khác nhau, với mỗi cách cắt, ta tạo được một số khối đa diện mới, tạm gọi là khối thành phần, là một phần của khối lập phương ban đầu. Những khối thành phần tạo ra từ cùng một cách cắt hiển nhiên sẽ lắp ghép lại được thành khối lập phương ban đầu. (3.2.2.a) Tuy nhiên nếu chúng ta lấy một số khối thành phần từ những cách cắt khác nhau, chưa chắc ta đã có thể ghép chúng lại để tạo thành khối lập phương ban đầu: có thể chúng ta sẽ bị thiếu vài phần (xem hình 3.2.2.b), hoặc có khi lại bị thừa, chồng chất lên nhau (Xem hình 3.2.2.c) B ỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA C ẤP 2+3 1000B TR ẦN H ƯNG ĐẠO TP.QUY NH Ơ N www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+D ạyKèmQuyNh ơ n www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial S ưu tầm b ởi GV. Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial Trang 3 Một hình (H) gọi là được phân chia thành các hình 1 (H ) và 2 (H ) hay nói cách khác, 1 (H ) và 2 (H ) có thể ghép lại tạo thành hình (H) nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i. Hình (H) là hợp thành của 1 (H ) và 2 (H ). (các khối thành phần của hình 3.2.2.b rõ ràng không thỏa điều kiện này vì như ta thấy vẫn có thừa những khoảng trống khi ghép vào khối lập phương. Trong khi đó, các khối thành phần của hình 3.2.2.a và 3.2.2.c thỏa điều kiện) ii. 1 (H ) và 2 (H ) không có điểm trong chung. (2 khối của hình 3.2.2.c không thỏa điều kiện này vì như ta thấy có một phần bị chồng lấp giữa 2 khối) Ngoài hai nguyên tắc cơ bản trên thì để thực hiện tốt việc phân chia và lắp ghép các khối, ta cũng cần hiểu rõ về từng khối để có thể đưa ra những phỏng đoán, suy luận hợp lí. KHỐI CHÓP Khối tứ diện Khối tứ diện đều Khối chóp tứ giác Khối chóp tứ giác đều KHỐI LĂNG TRỤ Khối lăng trụ tam giác Khối lăng trụ đứng tam giác Khối lăng trụ tứ giác Khối lăng trụ đứng tứ giác Trang 4 Khối hộp Khối hộp đứng Khối hộp chữ nhật Khối lập phương KHỐI TRÒN XOAY Khối nón Khối trụ Khối cầu Tùy theo yêu cầu mà việc phân chia hay lắp ghép các khối sẽ có độ phức tạp khác nhau. Đối với những khối phức tạp, ta không nên cố gắng biểu diễn mọi thứ trên cùng một hình mà nên chia ra nhiều bước (Hình 3.2.6) hoặc xoay lật hình để có góc nhìn tốt hơn. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.1. Phân chia một khối tứ diện thành 3 khối tứ diện. • Nhận xét: chỉ cần chọn một mặt tùy ý của tứ diện ban đầu, chia mặt này thành 2 tam giác là ta sẽ luôn phân chia được tứ diện đề cho thành 2 tứ diện mới B ỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA C ẤP 2+3 1000B TR ẦN H ƯNG ĐẠO TP.QUY NH Ơ N www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+D ạyKèmQuyNh ơ n www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial S ưu tầm b ởi GV. Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial Trang 5 • Sau đó, chọn một trong 2 tứ diện vừa tạo thành, lặp lại quá trình trên. Hướng dẫn giải Bài tập tương tự Bài 3.2. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và một khối tứ diện và một khối chóp tứ giác có đáy là hình thang Bài 3.3. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và 2 khối chóp cụt Bài 3.4 Phân chia một khối chóp tứ giác thành 4 khối tứ diện bằng 2 mặt phẳng. • Với việc phân chia đáy của khối chóp này thành 2 phần, ta sẽ định hình được 2 khối chóp mới (Hình 3.3.2). Lúc này, xem như ta đã cắt khối chóp đề cho một lần • Như vậy, ta nhận xét để tạo được 4 khối tứ diện, đồng nghĩa với việc đáy của chúng là các tam giác, ta nên chọn phương án ở hình 3.3.2.b vì lúc này chỉ việc chia đáy một lần nữa theo đường chéo còn lại của tứ giác là đáy sẽ được chia thành 4 tam giác. Ở đây, ta không chọn phương án ở hình 3.3.2.a không phải vì không thể tiếp tục chia thành 4 tam giác mà là vì số bước thực hiện sẽ nhiều hơn, trong khi ở đây theo như đề bài, số lần cắt của ta chỉ giới hạn trong 2 lần. Hướng dẫn giải Bước 1: Dựng khối chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (SAC) chia khối chóp này thành 2 khối tứ diện S.ABC và SABD. (Hình 3.3.3.a) Bước 2: Mặt phẳng (SBD) chia tiếp khối chóp thành 4 khối tứ diện. Nếu gọi O là giao điểm AC và BD thì tên gọi của 4 khối tứ diện là: S.AOB, S.BOC, S.COD, S.DOA. (Hình 3.3.3b) Trang 6 Bài tập tương tự Bài 3.5. Phân chia một khối bát diện đều thành 4 khối tứ diện chỉ bằng 2 mặt phẳng. Bài 3.6. Phân chia một khối chóp tứ giác thành 4 khối chóp tứ giác chỉ bằng 2 mặt phẳng Bài 3.7. Phân chia một khối tứ diện thành 4 khối tứ diện chỉ bằng 2 mặt phẳng. Bài 3.8. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và một khối chóp cụt. Phân tích bài toán • Từ những bài toán trước, ta đã biết chỉ cần chia một mặt của tứ diện ban đầu thành 2 tam giác là ta sẽ có 2 tứ diện mới • Sử dụng một trong 2 tứ diện vừa tạo thành, cắt tứ diện này theo một mặt phẳng song song với một mặt của nó, ta được một khối tứ diện và một khối chóp cụt. Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối tứ diện thành 2 khối tứ diện Bước 2: Chọn 1 trong 2 khối tứ diện vừa tạo, cắt khối này bằng một mặt phẳng song song với đáy, ta được một khối chóp cụt và một khối tứ diện nhỏ hơn. (Hình 3.3.4) Bài tập tương tự Bài 3.9. Phân chia một khối chóp cụt tam giác thành 3 khối tứ diện Bài 3.10. Phân chia một khối chóp cụt tam giác thành 6 khối tứ diện Bài 3.11. Phân chia một khối lập phương thành 4 khối chóp • Nhận xét: bằng cách chia khối lập phương theo mặt phẳng đối xứng của nó, ta được 2 khối lăng trụ tam giác. Với mỗi khối lăng trụ này, ta có thể chia tiếp thành 2 khối chóp. • Như vậy, chỉ cần xử lý một khối lăng trụ và làm tương tự cho khối còn lại, ta sẽ có kết quả mong muốn. Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối lập phương dọc theo mặt đối xứng của nó là (HFBD), ta được 2 nửa của khối lập phương là 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau. Ở đây ta sẽ xử lý khối ABD.EFH B ỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA C ẤP 2+3 1000B TR ẦN H ƯNG ĐẠO TP.QUY NH Ơ N www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+D ạyKèmQuyNh ơ n www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial S ưu tầm b ởi GV. Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial |
