Định nghĩa
Giả sử S={v1,...,vn} là một tập hữu hạn các vectơ, một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng các vectơ nhân bởi các hệ số theo dạng:
a1v1+...+an vnvới các số a1,...,an nằm trong trường F của không gian vectơ chứa v1,...,vn.
Ví dụ
Vector [3,-4] là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp {[1,1],[2,3],[1,-1]} bởi vì:
[3,-4] = 2[1,1] + [-1][2,3] + 3[1,-1]Bao tuyến tính
Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong S được gọi là bao tuyến tính của S [hay không gian con sinh bởi S] và ký hiệu là span[S] hay
span[S] = {v thuộc V: v= a1v1+...+an vn với các số a1,...,an nằm trong trường F}.
Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
- Một hệ các vectơ {v1,...,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các số : k1, ..., kn không đồng thời bằng không sao cho:
- Hệ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính.
- Nói cách khác, hệ các vectơ này là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:
chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0
Ý nghĩa hình học
- Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
- Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
Thí dụ
- Hai vectơ [1,2,3,4] và [-3,-6,-9,5] là độc lập tuyến tính.
- [1,2] và [-2,-4] không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ1 = 1 và λ2 = 2 thỏa mãn λ1[-2,-4] + λ2[1,2] = 0.
Độc lập tuyến tính trong không gian Rn
- Trong không gian Rn một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v1,...,vm} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
- Nếu hệ các vectơ {v1,...,vm} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:
- Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khí ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không.
Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyên tính và sinh ra không gian vectơ đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ
Định nghĩa
Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như
Khi đó [với n hữu hạn] số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V.
Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ
Trong không gian
Tính chất
- Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian V hữu hạn chiều có số phần tử như nhau.
- Mọi vectơ v của V biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở B.
- Hai không gian hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và mọi đẳng cấu tuyến tính biến một cơ sở thành cơ sở.
Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sở
Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn
nếu v = k1.b1 + k2.b2 + ... + kn.bn thì [k1,k2,...,kn] là toạ độ của v trong cơ sở B.Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là [k1,k2,...,kn] và [k'1,k'2,...,k'n]. Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau
.Khi đó v=
Như vậy
được gọi là công thức đổi cơ sở.
Cơ sở chính tắc
Trong không gian
lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của .
Ví dụ:
{[1,0,0], [0,1,0],[0,0,1]} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ .
1. Tổ hợp tuyến tính
Cho m, \[{v_1},....,{v_m} \in {R^n}\]. Vecto
\[v = {\alpha _1}{v_1} + .... + {\alpha _m}{v_m} = \sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}{v_i}} \]với \[{a_i} \in R,i = \overline {1,m} \]
được gọi là tổ hợp tuyến tính của \[{v_1},....,{v_m}\].
Nếu \[{\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \] thì v được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường của \[{v_1},....,{v_m}\]
Ví dụ: Cho e1 = [1; 0] và e2 = [0:1]
v = [2; 3] là một tổ hợp tuyến tính của e1, e2 vì
[2; 3] = 2[1; 0] + 3[0:1] = 2e1 + 3e2
x = [x1,x2] là tổ hợp tuyến tính của e1, e2 vì x = x1e1 + x2e2
2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.
Hệ các vectơ \[{v_1},....,{v_m} \in R^n\] được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của \[{v_1},....,{v_m}\] bằng
vectơ \[O \in R^n\] nghĩa là
\[\exists \alpha = [{\alpha _1};{\alpha _2};....;{\alpha _m}] \in {R^m}\backslash {\rm{\{ }}O\} :\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O\]
Nếu hệ các vectơ \[{v_1},....,{v_m}\] không phụ thuộc tuyến tính, ta nói chúng độc lập tuyến tính. Hệ các vectơ \[{v_1},....,{v_m} \in R^n\] độc lập tuyến tính nếu:
\[\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O \Rightarrow {\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \]
Nếu một hệ gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì trong hệ vectơ đó tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.
Ví dụ: Các vectơ sau đây độc lập tuyển tính hay phụ thuộc tuyến tính ?
a. v1= [1;2;3],v2 = [2; 1; 0],v2 = [0;1;-2]
b. v1 = [2;4],v2 = [-1;-2]
Giải:
a.
\[{\alpha _1}{v_2} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = O\]
\[\Leftrightarrow [{\alpha _1};2{\alpha _1};3{\alpha _1}] + [2{\alpha _2};{\alpha _2};0] + [0;{\alpha _3}; - 2{\alpha _3}] = O\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 2{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 3{\alpha _1} - 2{\alpha _3} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\]
Vậy {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính
b.
\[{\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O \Leftrightarrow [2{\alpha _1};4{\alpha _1}] + [ - {\alpha _2}; - 2{\alpha _2}] = O\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{\alpha _1} - {\alpha _2} = 0\\ 4{\alpha _1} - 2{\alpha _2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} \in R\\ {\alpha _2} = 2{\alpha _1} \end{array} \right.\]
Chọn \[{\alpha _1} = 1 \Rightarrow {\alpha _2} = 2\,và\,1.{v_1} + 2.{v_2} = O\]
Vậy {v1, v2} phụ thuộc tuyến tính.
3. Hạng của hệ vectơ
Cho hệ m vectơ \[V = \left\{ {{v_1},....,{v_2}} \right\} \subset {R^n}\]
\[D \subset V,D\] được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu
[i] D độc lập tuyến tính,
[ii] \[\forall x \in V\backslash D,D \cup {\rm{\{ }}x{\rm{\} }}\] là phụ thuộc tuyến tính.
Nếu số vectơ độc lập tuyến tính tối đa [tối đại] của hệ ra vectơ nói trên là k thì ta nói hạng của hệ vectơ là k và ta viết R[v] = k.
Ví dụ: \[R[{\rm{\{ }}[1;0],[0;1],[1;1]{\rm{\} }}] = 2\]
Chú ý:
Hai vectơ trong R2, R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng cùng phương.
Ba vectơ trong R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng đồng phẳng.