Bài tập xác định tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa Show Giả sử S={v1,...,vn} là một tập hữu hạn các vectơ, một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng các vectơ nhân bởi các hệ số theo dạng: a1v1+...+an vnvới các số a1,...,an nằm trong trường F của không gian vectơ chứa v1,...,vn. Ví dụVector (3,-4) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp {(1,1),(2,3),(1,-1)} bởi vì: (3,-4) = 2(1,1) + (-1)(2,3) + 3(1,-1)Bao tuyến tínhTập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong S được gọi là bao tuyến tính của S (hay không gian con sinh bởi S) và ký hiệu là span(S) hay span(S) = {v thuộc V: v= a1v1+...+an vn với các số a1,...,an nằm trong trường F}. Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 = ... = kn = 0 Ý nghĩa hình học
Thí dụ
Độc lập tuyến tính trong không gian Rn
Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyên tính và sinh ra không gian vectơ đó. Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ Định nghĩa Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như Khi đó (với n hữu hạn) số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V. Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ Trong không gian Tính chất
Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sởCác hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn nếu v = k1.b1 + k2.b2 + ... + kn.bn thì (k1,k2,...,kn) là toạ độ của v trong cơ sở B.Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là (k1,k2,...,kn) và (k'1,k'2,...,k'n). Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau Khi đó v= Như vậy được gọi là công thức đổi cơ sở. Cơ sở chính tắcTrong không gian lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của Ví dụ: {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ
1. Tổ hợp tuyến tínhCho m, \({v_1},....,{v_m} \in {R^n}\). Vecto \(v = {\alpha _1}{v_1} + .... + {\alpha _m}{v_m} = \sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}{v_i}} \)với \({a_i} \in R,i = \overline {1,m} \) được gọi là tổ hợp tuyến tính của \({v_1},....,{v_m}\). Nếu \({\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \) thì v được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường của \({v_1},....,{v_m}\) Ví dụ: Cho e1 = (1; 0) và e2 = (0:1) v = (2; 3) là một tổ hợp tuyến tính của e1, e2 vì (2; 3) = 2(1; 0) + 3(0:1) = 2e1 + 3e2 x = (x1,x2) là tổ hợp tuyến tính của e1, e2 vì x = x1e1 + x2e2 2. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính.Hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m} \in R^n\) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường của \({v_1},....,{v_m}\) bằng vectơ \(O \in R^n\) nghĩa là \(\exists \alpha = ({\alpha _1};{\alpha _2};....;{\alpha _m}) \in {R^m}\backslash {\rm{\{ }}O\} :\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O\) Nếu hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m}\) không phụ thuộc tuyến tính, ta nói chúng độc lập tuyến tính. Hệ các vectơ \({v_1},....,{v_m} \in R^n\) độc lập tuyến tính nếu: \(\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}} {v_i} = O \Rightarrow {\alpha _i} = 0,\forall i = \overline {1,m} \) Nếu một hệ gồm các vectơ phụ thuộc tuyến tính thì trong hệ vectơ đó tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Ví dụ: Các vectơ sau đây độc lập tuyển tính hay phụ thuộc tuyến tính ? a. v1= (1;2;3),v2 = (2; 1; 0),v2 = (0;1;-2) b. v1 = (2;4),v2 = (-1;-2) Giải: a. \({\alpha _1}{v_2} + {\alpha _2}{v_2} + {\alpha _3}{v_3} = O\) \(\Leftrightarrow ({\alpha _1};2{\alpha _1};3{\alpha _1}) + (2{\alpha _2};{\alpha _2};0) + (0;{\alpha _3}; - 2{\alpha _3}) = O\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} + 2{\alpha _2} = 0\\ 2{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} = 0\\ 3{\alpha _1} - 2{\alpha _3} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} = 0\\ {\alpha _2} = 0\\ {\alpha _3} = 0 \end{array} \right.\) Vậy {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính b. \({\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} = O \Leftrightarrow (2{\alpha _1};4{\alpha _1}) + ( - {\alpha _2}; - 2{\alpha _2}) = O\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{\alpha _1} - {\alpha _2} = 0\\ 4{\alpha _1} - 2{\alpha _2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\alpha _1} \in R\\ {\alpha _2} = 2{\alpha _1} \end{array} \right.\) Chọn \({\alpha _1} = 1 \Rightarrow {\alpha _2} = 2\,và\,1.{v_1} + 2.{v_2} = O\) Vậy {v1, v2} phụ thuộc tuyến tính. 3. Hạng của hệ vectơCho hệ m vectơ \(V = \left\{ {{v_1},....,{v_2}} \right\} \subset {R^n}\) \(D \subset V,D\) được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V nếu (i) D độc lập tuyến tính, (ii) \(\forall x \in V\backslash D,D \cup {\rm{\{ }}x{\rm{\} }}\) là phụ thuộc tuyến tính. Nếu số vectơ độc lập tuyến tính tối đa (tối đại) của hệ ra vectơ nói trên là k thì ta nói hạng của hệ vectơ là k và ta viết R(v) = k. Ví dụ: \(R({\rm{\{ }}(1;0),(0;1),(1;1){\rm{\} }}) = 2\) Chú ý: Hai vectơ trong R2, R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng cùng phương. Ba vectơ trong R3 phụ thuộc tuyến tính nếu chúng đồng phẳng. |