Bài tập sự tương của đồ thị hàm số
|
Với cách giải các dạng toán về Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải môn Toán lớp 12 Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải lớp 12. Mời các bạn đón xem: Bài toán tương giao của đồ thị hàm số và cách giải - Toán lớp 12
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g (x) có đồ thị (C2) . Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g (x). Khi đó: - Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng với số nghiệm của phương trình (1) . - Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm. - Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x). - Điểm M (x0 ; y0) là giao điểm của (C1) và (C2).
Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước. 1. Phương pháp giải. Cho 2 hàm số y=fx,y=gx có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): fx=gx Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm. Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Thay trở lại y=fx(y=g(x)), ta sẽ được toạ độ giao điểm. 2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1. Biết rằng đường thẳng y=−2x+2 cắt đồ thị hàm số y=x3+x+2 tại điểm duy nhất có toạ độ x0;y0. Tìm y0.
Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: −2x+2=x3+x+2 ⇔x3+3x=0⇔x=0→y=2 Chọn C. Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=2x+1x và đồ thị hàm số y=x2+x+1 cắt nhau tại hai điểm. Kí hiệu x1;y1, x2;y2 là toạ độ của hai điểm đó. Tìm y1+y2.
Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: Chọn A. 3. Bài tập tự luyện. Câu 1. Cho hàm số y=x−2x2+1 có đồ thị (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 2. Biết rằng đồ thị hàm số y=x3−3x2+2x−1 cắt đồ thị hàm số y=x2−3x+1tại hai điểm phân biệt A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB,
Câu 3. Đồ thị hàm số y=−x4+2x2 có bao nhiêu điểm chung với trục hoành?
Câu 4. Tìm toạ độ giao điểm M của đồ thị hàm số y=x−20182x+1 với trục tung.
Câu 5. Đường thẳng y=2x+2016 và đồ thị hàm số y=2x+1x−1 có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Câu 6. Gọi M,N là giao điểm của đường thẳng d:y=x+1 và đồ thị C:y=2x+4x−1. Tìm hoành độ trung điểm xI của đoạn thẳng MN.
Câu 7. Tìm trên đồ thị hàm số y=−x3+3x+2(C) hai điểm A,B mà chúng đối xứng nhau qua điểm I−1;3.
Câu 8. Tìm trên đồ thị hàm số y=−x33+x2+3x−113 hai điểm phân biệtA,B mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 9. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y=x+2x−1 sao cho khoảng cách từ M đến trục Oy bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox?
Câu 10. Tìm trên đồ thị hàm số y=2x+1x−1 những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành.
Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3−x2 và đồ thị hàm số y=−x2+5x là
Câu 12. Số giao điểm của đồ thị hàm số y=−x2+3x và đồ thị hàm số y=x3−x2 là
Đáp án Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước. 1. Phương pháp giải. BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3. Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng Fx,m=0 (phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m=fx +) Lập BBT cho hàm số y=fx. +) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m. * Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x. Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2. +) Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0 +) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x=x0 là 1 nghiệm của phương trình. +) Phân tích: Fx,m=0⇔x−x0.gx=0⇔x=x0gx=0 (là gx=0 là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ). +) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: gx=0. Phương pháp 3: Cực trị. * Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm. * Quy tắc: - Lập phương trình hoành độ giao điểm Fx,m=0 (1). Xét hàm số y=Fx,m. - Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH) + Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R ⇔ hàm số không có cực trị ⇔y'=0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔Δy'≤0 + Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd.yct>0 (hình vẽ) - Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd.yct<0. - Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị y=Fx,m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và ycd.yct=0. Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng. 1. Định lí Vi - ét. *) Cho bậc 2: Cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm x1,x2 thì ta có: x1+x2=−bax1x2=ca *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm x1,x2,x3 thì ta có: x1+x2+x3=−ba,x1x2+x2x3+x3x1=ca,x1x2x3=−da 2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a + c = 2b 3. Phương pháp giải. +) Điều kiện cần: x0=−b3a là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m. +) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra. BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC. Phương pháp : Cho hàm số y=ax+bcx+dC và đường thẳng d:y=px+q. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): ax+bcx+d=px+q⇔Fx,m=0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m). * Các câu hỏi thường gặp: 1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt khác −dc 2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn :−dc 3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn x1 4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và thỏa mãn x1<−dc 5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: +) Đoạn thẳng AB = k +) Tam giác ABC vuông. +) Tam giác ABC có diện tích S0 * Chú ý: Công thức tính khoảng cách: BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4. Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm. - Nhẩm nghiệm: Giả sử x=x0 là một nghiệm của phương trình. - Khi đó ta phân tích: fx,m=x2−x02gx=0⇔x=±x0gx=0 - Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : gx=0 Phương pháp 2: Ẩn phụ - tam thức bậc 2. - Đặt t=x2,t≥0. Phương trình: at2+bt+c=0 (2). - Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1<0=t2t1=t2=0 - Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1<0 - Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0=t1 - Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1,t2 thỏa mãn: 0 Mở rộng: tìm m để C:y=ax4+bx2+c cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. - Đặt t=x2,t≥0. Phương trình: at2+bt+c=0(2). - Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1,t2t1 - Kết hợp t2=9t1 với định lý vi – ét tìm được m. * Giải nhanh : b2=1009ac 2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x−1x2+mx+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x−1x2+mx+m=0⇔x=1x2+mx+m=0 1 Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1⇔12+m.1+m≠0Δ=m2−4m>0 ⇔2m+1≠0mm−4>0⇔m≠−12m>4m<0⇔m>4m≠−12m<0 Chọn D. Ví dụ 2. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x4−2x2+2017−m=0 có đúng ba nghiệm. Lời giải Ta có x4−2x2+2017−m=0⇔x4−2x2=m−2017 Xét hàm số y=x4−2x2, có y'=4x3−4x→y'=0⇔x=0→y0=0x=±1→y±1=−1. Yêu cầu bài toán : ⇔m−2017=yCD⇔m−2017=0⇔m=2017. Chọn D. Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y=2m+1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. |
