Bài tập phân thức đại số nâng cao năm 2024
Bài viết Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8. Show Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập
1. Phép cộng các phân thức đại số
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).
Bước 1: Quy đồng mẫu thức Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
Cho ba phân thức AB;CD;EF với B;D;F≠0 + Tính giao hoán: AB+CD=CD+AB + Tính kết hợp: AB+CD+EF=AB+CD+EF + Cộng với 0: AB+0=0+AB=AB. 2. Phép trừ các phân thức đại số
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. - Phân thức −AB là phân thức đối của AB với B≠0 và ngược lại phân thức AB là phân thức đối của phân thức −AB. Ta có: −AB+AB=0. Như vậy: −AB=−AB và −−AB=AB.
Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD ta lấy phân thức AB cộng với phân thức đối của CD: AB−CD=AB+−CD với B;D≠0. 3. Phép nhân các phân thức đại số
Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức AB.CD=ACBD với B;D≠0.
Cho ba phân thức AB;CD;EF với B;D;F≠0 - Tính giao hoán: AB.CD=CD.AB - Tính kết hợp: AB.CD.EF=AB.CD.EF - Tính phân phối: AB+CD.EF=AB.EF+CD.EF 4. Phép chia các phân thức đại số
- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1. - Nếu AB là một phân thức khác 0 thì AB.BA=1, do đó: + Phân thức nghịch đảo của AB là BA. + Phân thức nghịch đảo của BA là AB.
Muốn chia phân thức AB cho phân thức CD CD≠0, ta nhân phân thức AB với nghịch đảo của phân thức CD Tức là AB:CD=AB.DC=ADBCCD≠0. Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số. II. Các dạng bài tập Dạng 1: Cộng các phân thức đại số Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:
Lời giải:
\=10+xx−2+x−18x−2+x+2x−2x+2 \=10+xx−2+x−18x−2+1x−2 \=10+x+x−18+1x−2 \=2x−7x−2 với x≠±2.
\=2xx2y2+2x−3yx2y2+3yx2y2 \=2x+2x−3y+3yx2y2 \=4xx2y2=4xy2 với x≠0;y≠0.
\=3−3x2x+3x−12x−1+−11x−54x2−2x \=3−3x2x+3x−12x−1+−11x+52x2x−1 \=3−3x2x−12x2x−1+3x−1.2x2x2x−1+−11x+52x2x−1 \=6x−6x2−3+3x2x2x−1+6x2−2x2x2x−1+−11x+52x2x−1 \=6x−6x2−3+3x+6x2−2x+−11x+52x2x−1 \=6x−6x2−3+3x+6x2−2x−11x+52x2x−1 \=6x2−6x2+6x+3x−2x−11x+−3+52x2x−1 \=−4x+22x2x−1 \=−22x−12x2x−1 \=−1x với x≠0;x≠12. Ví dụ 2: Cho A = xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2 với y≠±2x
Lời giải:
A=xx−2y+xx+2y+4xyx2−4y2 A=xx−2y+xx+2y+4xyx−2yx+2y A=xx+2yx−2yx+2y+xx−2yx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y A=x2+2xyx−2yx+2y+x2−2xyx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y A=x2+x2+2xy−2xy+4xyx−2yx+2y A=2x2+4xyx−2yx+2y A=2xx+2yx−2yx+2y A=2xx−2y
A=2.11−2.3=21−6=−25 Vậy A=−25 khi x = 1; y = 3. Dạng 2: Trừ các phân thức đại số Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
Lời giải
\=4xy−15x2y+−2xy−15x2y \=4xy−1−2xy−15x2y \=4xy−1−2xy+15x2y \=4xy−2xy+−1+15x2y \=2xy5x2y=25x với x≠0;y≠0
\=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x2−25 \=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x−5x+5 \=x+1x+5x−5x+5−1−xx−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5 \=x2+x+5x+5x−5x+5−x−x2+5x−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5 \=x2+x+5x+5−x−x2+5x−5+2x−2x2x−5x+5 \=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5 \=x2+x2−2x2+x+5x−x−5x+2x+5+5x−5x+5 \=2x+10x−5x+5 \=2x+5x−5x+5 \=2x−5 với x≠±5 Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức 1x−1x+3=3xx+3. Từ đó, hãy tính biểu thức M=1xx+3+1x+3x+6+...+1x+12x+15 với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0. Lời giải: * Chứng minh biểu thức: 1x−1x+3=x+3xx+3−xxx+3=x+3−xxx+3=3xx+3 (điểu phải chứng minh) * Tính giá trị M: Ta có: 1x−1x+3=x+3xx+3−xxx+3=x+3−xxx+3=3xx+3 ⇒1xx+3=131x−1x+3 1x+3−1x+6=x+6x+3x+6−x+3x+3x+6=x+6−x−3x+3x+6=3x+3x+6 ⇒1x+3x+6=131x+3−1x+6 Chứng minh tương tự: …. ⇒1x+12x+15=131x+12−1x+15 Do đó: M=131x−1x+3+131x+3−1x+6+...+131x+12−1x+15 M=131x−1x+3+1x+3−1x+6+...+1x+12−1x+15 M=131x−1x+15 M=13x+15xx+15−xxx+15 M=13.x+15−xxx+15 M=13.15xx+15=5xx+15 Vậy M=5xx+15. Dạng 3: Nhân các phân thức đại số Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước. Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
Lời giải:
A=x2.x2−9x+3.x3 A=x2x−3x+3x+3.x3 A=x−3x với x≠0;x≠−3.
B=x+3x+2x−2.2−x3x+3 B=x+32−x3x+2x−2x+3 B=−x−23x+2x−2 B=−x−22x+2 với x≠−3;x≠±2.
C=x−12x.x3x−1−x2+x+1 C=x−12x.x3x−1−x2+x+1x−1x−1 C=x−12x.x3x−1−x3−1x−1 C=x−12xx3−x3+1x−1 C=x−12x.1x−1=12x với x≠0;x≠1. Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 với x≠±1. Lời giải: M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x1+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x21+x2.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16 M=11−x41+x4.11+x8.11+x16 M=11−x8.11+x8.11+x16 M=11−x8.11+x8.11+x16 M=11−x81+x8.11+x16 M=11−x16.11+x16=11−x16.1+x16 M=11−x32 với x≠±1. Dạng 4: Chia các phân thức đại số Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức. Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước. Ví dụ 1: Làm tính chia
Lời giải: a)x3−15x+10:x−1x+2 \=x3−15x+10⋅x+2x−1 \=x−1x2+x+15x+2⋅x+2x−1 \=x−1x2+x+1x+25x+2x−1 \=x2+x+15 với x≠−2; x≠1
\=x2−4xy+4y2x2−xy+y2⋅2x3+2y34x−8y \=x−2y2x2−xy+y2⋅2x3+y34x−2y \=x−2y2x2−xy+y2⋅2x+yx2−xy+y24x−2y \=x−2y2.2x+yx2−xy+y2x2−xy+y2.4x−2y \=x−2yx+y2 với x≠−y;x≠2y
\=x+4x+5⋅x+6x+5⋅x+4x+6 \=x+4x+6x+4x+5x+5x+6 \=x+42x+52 với x≠−4;x≠−5;x≠−6. Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết: 2x+3yx3−y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2 với x≠y; x≠−32y. Lời giải: 2x+3yx3−y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2 ⇒A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2:2x+3yx3−y3 ⇔A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2.x3−y32x+3y ⇔A=2x2x+3y3x2+xy+y2.x−yx2+xy+y22x+3y ⇔A=2xx−y3 với x≠y. Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc. Thứ tự thực hiện phép tính: - Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải. - Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ. Lũy thừa→nhân và chia→cộng và trừ. - Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự ( ) → [ ] → { } Ví dụ: Thực hiện phép tính
Lời giải:
⇔A=x+2x−1.x2x+1+2x+1x+1−8x+7x2−1 ⇔A=x+2x−1.x2x+1+2x+2x+1−8x+7x2−1 ⇔A=x+2x−1.x2+2x+2x+1−8x+7x2−1 ⇔A=x+2x2+2x+2x2−1−8x+7x2−1 ⇔A=x3+2x2+2x+2x2+4x+4x2−1−8x+7x2−1 ⇔A=x3+2x2+2x+2x2+4x+4−8x+7x2−1 ⇔A=x3+2x2+2x+2x2+4x+4−8x−7x2−1 ⇔A=x3+2x2+2x2+2x+4x−8x+4−7x2−1 ⇔A=x3+4x2−2x−3x2−1 ⇔A=x3−1+4x2−2x−2x−1x+1 ⇔A=x−1x2+x+1+22x2−x−1x−1x+1 ⇔A=x−1x2+x+1+22x2−2x+x−1x−1x+1 ⇔A=x−1x2+x+1+22xx−1+x−1x−1x+1 ⇔A=x−1x2+x+1+2x−12x+1x−1x+1 ⇔A=x−1x2+x+1+4x+2x−1x+1 ⇔A=x2+5x+3x+1 với x≠±1.
⇔B=3x.4x+11−4x4x+1+2x1−4x1−4x4x+1:16x2+20x16x2−8x+1 ⇔B=12x2+3x1−4x4x+1+2x−8x21−4x4x+1.16x2−8x+116x2+20x ⇔B=12x2+3x+2x−8x21−4x4x+1.1−4x24x4x+5 ⇔B=4x2+5x1−4x4x+1.1−4x24x4x+5 ⇔B=x4x+51−4x4x+1.1−4x24x4x+5 ⇔B=x4x+51−4x21−4x4x+14x4x+5 ⇔B=1−4x41+4x với x≠±14. III. Bài tập tự luyện Bài 1: Thực hiện phép tính
Bài 2: Thực hiện phép tính
Bài 3: Thực hiện phép tính:
Bài 4: Thực hiện phép tính
Bài 5: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:
Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết
Bài 7: Thực hiện phép tính A=x2x−8.x2+64x−16+19 với x≠0;x≠8. Bài 8: Thực hiện phép tính B=x2+18+x4.2x−1−2x+1 với x≠±1. Bài 9: Tìm phân thức T biết 1x⋅xx+2⋅x+2x+4⋅x+4x+6⋅...⋅x+14x+16⋅x+16x+18⋅x+18x+20⋅T=12. Giả thuyết tất cả các mẫu thức khác 0. Bài 10: Tính hợp lí biểu thức N=12x−1.12x+1.14x2+1.116x4+1 với x≠±12. Bài 11: Chứng minh biểu thức 1a−1a+2=2aa+2. Từ đó, hãy tính biểu thức A=1aa+2+1a+2a+4+...+1a+78a+80 với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8. Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |