Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: trình bày phương pháp, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Các bước giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0:$
• Nếu $a=0$: Phương trình trở thành: $bx + c = 0$, khi đó:
+ Nếu $b \ne 0$, phương trình $\Leftrightarrow x = – \frac{c}{b}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = – \frac{c}{b}.$
+ Nếu $b = 0$, phương trình trở thành $0x + c = 0$, ta tiếp tục xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Với $c = 0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in R.$
Trường hợp 2: Với $c ≠ 0$, phương trình vô nghiệm.
• Nếu $a\ne 0$: xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac:$
+ Trường hợp 1: Nếu $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$
+ Trường hợp 2: Nếu $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}.$
+ Trường hợp 3: Nếu $\Delta 0
⇔ [m + 1]2 – 3[3m – 5] > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
⇔ [m – 7/2]2 + 15/4 > 0 , ∀m
⇒ PT [1] luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x1,x2 là nghiệm của [1] khi đó theo Vi-et ta có:
[I]
– Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3×1, nên kết hợp với [I] ta có:
+ TH1 : Với m = 3, PT [1] trở thành: 3×2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ TH2 : m = 7, PT [1] trở thành 3×2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
– Kết luận: Để PT [1] có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.
♦ Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
[1]
♠ Hướng dẫn:
– TXĐ: x>2
– Ta có: [1] ⇔ 3x – m + x – 2 = 2x + 2m – 1
⇔ 2x = 3m + 1 ⇔ x = [3m + 1]/2
– Kết hợp điều kiện [TXĐ]: x>2, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi:
– Kết luận: Vậy khi m > 1, PT [1] có nghiệm x = [3m+1]/2.
° Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp:
– Vận dụng tính chất:
1]
2]
hoặc
[2 nghiệm đều thỏa điều kiện]
+ Với x 2 + 1 = -6×2 + 11x – 3
⇔ 5×2 -11x + 4 = 0
⇔
hoặc
[2 nghiệm này đều KHÔNG thỏa điều kiện]
– Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.
d] |2x + 5| = x2 + 5x + 1
+ Với x ≥ -5/2, ta có:
2x + 5 = x2 + 5x + 1
⇔ x2 + 3x – 4 = 0
⇔ x = 1 [thỏa] hoặc x = -4 [loại]
+ Với x 2 + 5x + 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
⇔ x = -6 [thỏa] hoặc x = -1 [loại]
– Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.
♦ Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: |2x – m| = 2 – x [1]
♠ Hướng dẫn:
Ta có: [1]
+]
+]
– Kết luận:
m ≤ 4. PT [1] có 2 nghiệm: x = [m+2]/3 hoặc x = m – 2.
m > 4: PT [1] vô nghiệm.
♦ Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình: |mx – 2| = |2x + m| [1]
♠ Hướng dẫn:
– Ta có:
◊ Với PT: mx – 2 = 2x + m ⇔ [m – 2]x = m + 2 [2]
m ≠ 2: PT [*] có nghiệm x = [m+2]/[m-2]
m = 2: PT [*] trở thành: 0x = 4 [vô nghiệm]
◊ Với PT: mx – 2 = -2x – m ⇔ [m + 2]x = 2 – m [3]
m ≠ – 2: PT [*] có nghiệm x = [2 – m]/[2 + m]
m = -2: PT [*] trở thành: 0x = 4 [vô nghiệm]
– Ta thấy: m = 2 ⇒ x2 = 0; m = -2 ⇒ x1 = 0;
– Kết luận: m ≠ ±2: [1] có 2 nghiệm là:
m = 2: [1] có nghiệm x = 0
m = -2: [1] có nghiệm x = 0
♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.
° Dạng 4: Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn
* Phương pháp:
– Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAME [đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT]
♦ Ví dụ 1 [bài 2 trang 68 SGK Đại số 10]: Giải hệ PT
a]
b]
♠ Hướng dẫn:
– Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức [CRAME].
a]
– Ta có:
;
– Vậy hệ PT có nghiệm:
b]
– Ta có:
;
– Vậy hệ PT có nghiệm:
♦ Ví dụ 2: Giải biện luận hệ PT:
♠ Hướng dẫn:
– Ta có:
– Khi đó:
[*]
+]
Hệ có nghiệm:
+]
Với m = 1: từ [*] ta thấy hệ có vô số nghiệm.
Với m = -4: từ [*] ta thấy Hệ vô nghiệm.
Xem thêm: Giải Bài 1, 2, 3, 4 Trang 89 Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 5 Tập 2 Trang 89
Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán và cách giải về phương trình và hệ phương trình ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình