- LG a
- LG b
Cho biểu thức:
\[P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right].\dfrac{{{{\left[ {1 - x} \right]}^2}}}{2}\]
LG a
Rút gọn \[P.\]
Phương pháp giải:
Các bước rút gọn biểu thức:
Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa [căn thức xác định, mẫu khác không nếu bài toán chưa cho]
Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử [áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức]
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[P\] có nghĩa là \[x\ge \] và \[x\ne 1\]
Rút gọn \[P\]
\[P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right]\]\[.\dfrac{{{{\left[ {1 - x} \right]}^2}}}{2}\]
\[ = \left[ {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}}} \right]\]\[.\dfrac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{2}\]
\[ = \left[ {\dfrac{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}} - \dfrac{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}}} \right]\]\[.\dfrac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{2}\]
\[ = \dfrac{{\left[ {x - \sqrt x - 2} \right] - \left[ {x + \sqrt x - 2} \right]}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}}}\]\[.\dfrac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{2}\]
\[ = \dfrac{{ - 2\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}.\dfrac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{2}\]
\[= \dfrac{{ - \sqrt x .\left[ {x - 1} \right]}}{{\sqrt x + 1}}\]
\[ = \dfrac{{ - \sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{\sqrt x + 1}}\]
\[ = - \sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]\]
\[= \sqrt x \left[ {1 - \sqrt x } \right]\]
LG b
Tìm giá trị lớn nhất của \[P.\]
Phương pháp giải:
+] Biến đổi để xuất hiện hằng đẳng thức.
+] Sử dụng kiến thức: bình phương của một hiệu không âm: \[[a-b]^2\ge0\] với mọi \[a,b.\]
Lời giải chi tiết:
\[P= \sqrt x \left[ {1 - \sqrt x } \right]\] với \[x\ge 0, x\ne 1\]
\[P= -x+\sqrt x \]
\[P= -[x-\sqrt x] \]
\[P = - \left[ {x - 2\sqrt x .\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{1}{4}\]
\[P = - {\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{1}{4}\]
Vì \[{\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right]^2}\ge 0\]
\[\Rightarrow-{\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right]^2}\le 0\]
\[\Rightarrow-{\left[ {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right]^2}+ \dfrac{1}{4}\le \dfrac{1}{4}\]
Hay \[P\le\dfrac{1}{4}\]
Dấu \["="\] xảy ra khi \[\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\] hay \[x=\dfrac{1}{4}\] [thỏa mãn]
Vậy \[P\] có giá trị lớn nhất bằng \[\dfrac{1}{4}\]khi\[x=\dfrac{1}{4}\]