Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB= m, AC= n và AD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng \[\frac{m}{n}\].
Giải:
Kẻ AH ⊥ BC
Ta có:
SABD = \[\frac{1}{2}\]AH.BD
SADC = \[\frac{1}{2}\]AH.DC
\=>\[\frac{S_{SBD}}{S_{ADC}}\] = \[\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.DC}\] = \[\frac{BD}{DC}\]
Mặt khác: AD là đường phân giác của ∆ABC
\=> \[\frac{BD}{DC}\]= \[\frac{AB}{AC}\] = \[\frac{m}{n}\].
Vậy \[\frac{S_{SBD}}{S_{ADC}}\] = \[\frac{m}{n}\]
Bài 17 trang 68 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC[h25]
Giải:
Ta có MD là đường phân giác của tam giác ABM
\=> \[\frac{AD}{BD}\] = \[\frac{AM}{BM}\] [1]
ME là đường phân giác của tam giác ACM
\=> \[\frac{AE}{CE}\] = \[\frac{AM}{MC}\] [2]
Mà MB = MC[ AM là đường trung tuyến]
\=> \[\frac{AM}{BM}\] = \[\frac{AM}{MC}\] [3]
từ 1,2,3 => \[\frac{AD}{BD}\] = \[\frac{AE}{CE}\] => DE // BC[ Định lí Talet đảo]
Bài 18 trang 68 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2
Tam giác ABC có AB= 5cm, AC= 6cm, BC= 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Bài 15 trang 67 sgk Toán 8 tập 2 được giải bởi ĐọcTàiLiệu giúp bạn nắm được cách làm và tham khảo đáp án bài 15 trang 67 sách giáo khoa Toán lớp 8 tập 2.
Bạn muốn giải bài 15 trang 67 SGK Toán 8 tập 2? Đừng bỏ qua bài viết này. Với những hướng dẫn chi tiết, không chỉ tham khảo cách làm hoặc đáp án mà bài viết này còn giúp bạn nắm vững lại các kiến thức Toán 8 chương 3 phần hình học để tự tin giải tốt các bài tập về tính chất đường phân giác của tam giác khác
Đề bài 15 trang 67 SGK Toán 8 tập 2
Tính \[x\] trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.
» Bài tập trước: Bài 14 trang 64 sgk Toán 8 tập 2
Giải bài 15 trang 67 sgk Toán 8 tập 2
Hướng dẫn cách làm
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, tính chất của tỉ lệ thức.
Bài giải chi tiết
Dưới đây là các cách giải bài 15 trang 67 SGK Toán 8 tập 2 để các bạn tham khảo và so sánh bài làm của mình:
- \[AD\] là tia phân giác góc \[A\] của \[∆ABC\] [gt] nên áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác ta có:
\[\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\]
\[\Rightarrow DC = \dfrac{BD.AC}{AB}= \dfrac{3,5.7,2}{4,5}\]
\[\Rightarrow x = 5,6\]
- \[PQ\] là đường phân giác góc \[P\] của \[∆PMN\] [gt] nên
\[\dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Hay \[\dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}\]
Có: \[MN=MQ+x=12,5\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\Rightarrow \dfrac{x}{8,7} = \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x + MQ}{8,7+ 6,2}= \dfrac{12,5}{14,9}\]
\[ \Rightarrow x = \dfrac{{12,5.8,7}}{{14,9}} \approx 7,3\]
» Bài tập tiếp theo: Bài 16 trang 67 sgk Toán 8 tập 2
Nội dung trên đã giúp bạn nắm được cách làm và đáp án bài 15 trang 67 sgk toán 8 tập 2. Mong rằng những bài hướng dẫn giải toán 8 của Đọc Tài Liệu sẽ là người đồng hành giúp các bạn học tốt môn học này.
- \[AD\] là tia phân giác góc \[A\] của \[∆ABC\] [gt] nên áp dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác ta có:
\[\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\]
\[\Rightarrow DC = \dfrac{BD.AC}{AB}= \dfrac{3,5.7,2}{4,5}\]
\[\Rightarrow x = 5,6\]
- \[PQ\] là đường phân giác góc \[P\] của \[∆PMN\] [gt] nên
\[\dfrac{MQ}{MP}= \dfrac{NQ}{NP}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Hay \[\dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x}{8,7}\]
Có: \[MN=MQ+x=12,5\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\Rightarrow \dfrac{x}{8,7} = \dfrac{MQ}{6,2} = \dfrac{x + MQ}{8,7+ 6,2}= \dfrac{12,5}{14,9}\]
\[ \Rightarrow x = \dfrac{{12,5.8,7}}{{14,9}} \approx 7,3\]
Bài 16 trang 67 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Tam giác \[ABC\] có độ dài các cạnh \[AB= m, AC= n\] và \[AD\] là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác \[ABD\] và diện tích tam giác \[ACD\] bằng \[\dfrac{m}{n}\].
Phương pháp:
Áp dụng: Công thức tính diện tích của tam giác, tính chất đường phân giác của tam giác.
Lời giải:
Bài 17 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC [h.25].
Phương pháp:
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, định lí TaLet đảo.
Lời giải:
Ta có \[MD\] là đường phân giác góc \[M\] của tam giác \[ABM\] [giả thiết]
\[\Rightarrow \dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AM}{BM}\] [1] [tính chất đường phân giác của tam giác]
\[ME\] là đường phân giác góc \[M\] của tam giác \[ACM\] [giả thiết]
\[\Rightarrow \dfrac{AE}{CE}= \dfrac{AM}{MC}\] [2] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Mà \[MB = MC\] [vì \[AM\] là đường trung tuyến nên M là trung điểm của \[BC\]]
\[ \Rightarrow \dfrac{AM}{BM} = \dfrac{AM}{MC}\] [3]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow \dfrac{AD}{BD}= \dfrac{AE}{CE}\]
\[ \Rightarrow DE // BC\] [ theo định lí Talet đảo].
Bài 18 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Lời giải:
Vì \[AE\] là đường phân giác của tam giác ABC nên
\[\dfrac{EB}{AB} = \dfrac{EC}{AC}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
\[ \Rightarrow\] \[\dfrac{EB}{5} = \dfrac{EC}{6}\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\dfrac{EB}{5} = \dfrac{EC}{6} = \dfrac{EB+EC}{5+6} = \dfrac{BC}{11}=\dfrac{7}{11}\]
\[ \Rightarrow EB = \dfrac{5.7}{11} =\dfrac{35}{11}\] cm
\[EC = \dfrac{6.7}{11} =\dfrac{42}{11}\] cm
Bài 19 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Cho hình thang ABCD [AB // CD].
Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:
Phương pháp:
- Áp dụng Talet lí thuyết.
Lời giải:
Bài 20 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Cho hình thang ABCD [AB // CD]. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F [h.26].
Lời giải:
\[∆ADC\] có \[OE // DC\] [gt] nên \[\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC}\] [1] [hệ quả của định lí TaLet trong tam giác]
\[∆BDC\] có \[OF // DC\] [gt] nên \[\dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BF}{BC}\] [2] [hệ quả của định lí TaLet trong tam giác]
\[∆BAC\] có \[OF // AB\] [gt] nên \[\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{BF}{BC}\] [3] [hệ quả của định lí TaLet trong tam giác]
Từ [1], [2], [3] suy ra \[\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC}\] nên \[OE = OF\].
Bài 21 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
- Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n [n > m] và diện tích tam giác ABC là S
- Khi cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?
Phương pháp:
Áp dụng: Tính chất đường phân giác trong tam giác. Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Lời giải:
- Ta có \[AD\] là đường phân giác của \[∆ABC\] [gt] nên
\[\dfrac{{B{\rm{D}}}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\] [Tính chất đường phân giác của tam giác] \[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}\] [do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A]
Nên \[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{DB}{DC}= \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{m}{n}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} = {n \over m} \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}}} \over {{S_{ABD}}}} + 1 = {n \over m} + 1 \cr & \Rightarrow {{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}} \over {{S_{ABD}}}} = {{n + m} \over m} \cr} \]
\[ \Rightarrow \dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}= \dfrac{m}{n+m}\]
hay \[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABC}}= \dfrac{m}{n+m}\]
\[ \Rightarrow {S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{mS}}{{n + m}}\]
Vì \[AM\] là trung tuyến của \[∆ABC\] [gt] \[\Rightarrow S_{ABM}= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\].
Có \[AB < AC[ mm\]]
- Khi \[n = 7cm, m = 3cm\] ta có:
\[{S_{A{\rm{D}}M}} = \dfrac{{7 - 3}}{{2\left[ {7 + 3} \right]}}.S = \dfrac{S}{5} = \dfrac{{20.S }}{100} \]\[\,= 20\% S\]
Vậy \[S_{ADM} = 20\%S_{ABC}\].
Bài 22 trang 68 SGK Toán lớp 8 tập 2
Câu hỏi:
Đố: Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:
\[\widehat{O_{1}} = \widehat {O_{2}} = \widehat {O_{3}} \]\[= \widehat {O_{4}} = \widehat {O_{5}} = \widehat {O_{6}}\].
Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ kích thước đã cho.