Bài 13 trang 153 sgk đại số và giải tích 12 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\)trên \(\left[ {a;b} \right]\)thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân Leibnitz \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(f\left( x \right) = 0\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {0dx} = \left. C \right|_a^b = 0\)

Nếu \(f\left( x \right) > 0\), gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Ta có: F(x) = f(x) > 0 trên đoạn [a; b] nên F(x) đồng trên đoạn [a; b]

Mà a < b \( \Rightarrow \) F(a) < F (b).

\( \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right) > 0\).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\).

LG b

Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\)trên \(\left[ {a;b} \right]\)thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Trên đoạn [a, b] ta có; f(x) > g(x) nên f(x ) g(x) \( \ge \) 0.

Theo câu a, ta có: f(x ) g(x) \( \ge \) 0, nên

\(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \ge 0\) \( \Leftrightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \).