Tính khoảng cách từ D đến SBM

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM
ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
I]. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN :
Bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , là một dạng tốn
rất quan trọng trong chương vng góc của lớp 11 và là một phần hay ra trong đề
thi Đại Học .
Để giải quyết vấn đề này các bạn phải thành thạo hai cơng cụ sau và nó liên
quan với nhau :
Bài tốn 1 : Tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc của đỉnh đến một
mặt bên
Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt phẳng bên.
BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d
BƯỚC 2 : Từ hình chiếu vng góc của đỉnh , DỰNG A H d [ H �d ].
BƯỚC 3 : Dựng A I SH I �SH .Khoảng cách cần tìm là AI
Với S là đỉnh , A là hình chiếu vng góc của đỉnh trên mặt đáy.
Ba bước dựng ở trên là sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vng góc với nhau ,
một đường thuộc mặt phẳng náy vng góc với giao tuyến thì sẽ vng vng với
mặt phẳng kia.
Đây là bài tốn cơ bản nhưng vơ cùng quan trọng trong việc tính khoảng
cách từ một đểm đến một mặt phẳng .Hầu như tính khoảng cách từ một điểm
BẤT KỲ đến mặt phẳng bên đều thơng qua điểm này dựa vào cơng thức của bài
tốn 2 .
Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy [ABC] .Hãy
xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên [SBC].
Ta có BC là giao tuyến của mp[SBC] và [ABC].
Từ hình chiếu của đỉnh là điểm A , dựng A H BC tại
H. Dựng A I SH tại I
�BC SA
� BC SAH � SBC SAH .
�BC AH

Vì �

Mặt phẳng [SBC] vng góc với mặt phẳng [SAH]
theo giao tuyến SH có A I SH

62


nên A I mp SBC � d A ,mp SBC AI
Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ một đểm bất kỳ đến một mặt phẳng
Thường sử dụng công thức sau :

Công thức tính tỉ lệ khoảng cách:


MO
d A ,mp P AO

d M ,mp P

Ở công thức trên cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P].
Phương pháp phải tìm một đường thẳng d qua M và chứa một điểm A mà có thể
tính khoảng cách đến mặt phẳng [P]. KINH NGHIỆM thường điểm A là hình chiếu
của đỉnh.
Để hiểu và tự làm được bài tập thì những tính chất của hình học và
phương pháp làm bài tập các bạn phải khắc vào trong tim.
II]. BÀI TẬP MẪU
Câu 1: DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2002
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBC] theo a, biết

SA

a 6
2

LỜI GIẢI
Đây là bài toán cơ bản chúng ta đã nói ở
phần trên
Gọi E trung điểm BC thì BC A E [vì ABC
đều].
�BC SA
� BC mp SAE ,
�BC AE

Có �

mà BC �[SBC] � SBC SAE hai mặt
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

63


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

SE, trong mp[SAE] dựng A F SE tại F. Suy ra






A F SBC . Vậy d A , SBC AF .

Trong tam giác vuông SAE có
1
1
1
2
4
2
a 2
.





� AF
2
AF2 AS2 A E2 3a2 3a2 a2

Kết luận d A , SBC AF

a 2
.
2

Câu 2: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;
� =
mặt phẳng [SBC] vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Biết SB = 2a 3 và SBC

0
30 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng [SAC] theo a.
LỜI GIẢI
H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S, hai điểm
B và H cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm
với mặt phẳng [SAC] tại C . Nên bước đầu tiên ta
phải tính khoảng cách từ điểm H đến mp[SAC] ,
sau đó sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để
tính khoảng cách từ điểm B đến mp[SAC]. Cách
làm cụ thể như sau :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.
Do SBC ABC vuông góc với nhau theo giao
tuyến BC nên SH mp ABC .
Trong SBH vuông tại H có SH SB.sin300 a 3, BH SB.cos300 3a .
�AC HG
� AC SHG mà
�AC SH

Trong mp[ABC] dựng HG AC tại G. Ta có �

A C �[SAC] � SAC SHG hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SG, trong mp[SHG] dựng HK SG tại K � HK SAC .
Vậy d H , SAC HK .
Ta có CGH : CBA g.g �
Trong SHG vuông tại H :

GH CH
a
3a


� GH .3a
.
BA CA
5a
5

1
1
1
25
1
28
3a 7
.


2 2 2 � HK
2
2
2
14
HK
HG
HS
9a 3a
9a

Hai điểm H và B nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SAC] tại C, nên có:


64



BC 4
d H , SAC HC
d B, SAC









� d B, SAC 4d H , SAC

6a 7
.
7

Các bạn phải nắm vững phương pháp tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh
lên mặt bên
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a,
�BC 600 . Gọi M là trung điểm BC. Biết SA = SB = SC = a 5 .
A

a]. Tính chiều cao của hình chóp.
b]. Tính khoảng cách từ M đến mp[SAB].

LỜI GIẢI
a]. Tính chiều cao của hình chóp.
Vì A BC vuông tại A, M trung điểm của BC
nên có MA MB MC [1]
Theo đề SA SB SC

[2] .

Từ [1] và [2] suy ra M là hình chiếu vuông
góc của S lên mp[ABC].
Vậy d S, ABC SM .
Trong SBM có
SM SB2 BM 2

a 5

2

a 2a .
2

b]. Tính khoảng cách từ M đến mp[SAB].
CHÚ Ý: M là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mp[ABC].
�AB MF
� AB [SMF] mà
�AB SM

Trong mp[ABC] dựng MF AB tại F, có �

A B �[SAB] � [SA B] [SMF] hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao


tuyến SF, trong mp[SMF] dựng MG SF tại F � MG SAB .
Do đó d M ,[SAB] MG
MBA là tam giác cân có góc 600, nên MBA đều � MF
Trong SMF vuông tại M:

65

a 3
.
2


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

1
1
1
1
1
2a 57




� MG
2
2
2
2

2
19 .
MG
SM
MF
2a �a 3 �
�
�
�2 �
�
�

Vậy d M ,[SAB]

2a 57
.
19

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD
là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] là
điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD . Gọi M là trung điểm của AB. Biết
rằng SA= 2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30o . Tính theo a
khoảng cách từ M đến mặt phẳng [SBC].
LỜI GIẢI
Trong SAD vuông tại S có
SA 2 AH.AD � SA 2

3
2SA
AD2 � AD

4a
4
3

� AH 3a,HD a,SH a 3 .

Có HC là hình chiếu vuông góc của SC trên
mp[ABCD]. Vậy góc giữa SC và [ABCD] là góc
� SH � HC 3a
� 300 , tanSCH
.
SCH
HC

Ngoài ra HC2 HD2 DC 2 � DC 2a 2 .
Muốn tính khoảng cách từ M đến mp[SBC], ta phải tính khoảng cách từ H
[hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy] đến mp[SBC] trước, sau đó sử dụng
công thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ M đến mp[SBC].
�BC HK
� BC SHK , mà BC �mp SBC
�BC SH

Dựng HK BC,[K �BC] Ta có �

� SHK SBC , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SK,

dựng HI SK ,[I �SK ] � HI SBC . Vậy d H , SBC HI .
Trong SHK vuông tại H có
1
1

1
1
1
11
2a 66
.


2 2
� HI
2
2
2
2
11
HI
HK
HS
8a 3a
24a
2a 66
Vì A H P[SBC] nên d A , SBC d H , SBC
.
11

Hai điểm A và M cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp[SBC] tại B, có

66




MB 1 � d M , SBC 1d A , SBC a 66
2 11 .
d A , SBC AB 2

d M , SBC

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD

3a
,
2

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng [ABCD] là trung điểm của cạnh AB.
Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SBD]. [A 2014 ].
LỜI GIẢI
Gọi H là trung điểm của AB, O là giao điểm của
AC và BD.
Theo đề bài ta có SH ABCD .
HAD vuông tại A có
HD AH 2 A D 2

a2
a 5
.
a2
4
2

SHD vuông tại H có

SH SD 2 HD 2

9a2 5a2

a.
4
4

Dựng HK BD,[K �BD] . Có BD HK và BD SH � BD SHK

mà

BD � SBD � SBD SHK hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SK, dựng HI SK , I �SK � HI SBD . Vậy d H , SBD HI .
1
2

a 2
, trong SHK có
4
1
1
1
8 1 9
a


2 2 2 � HI .
2

2
2
3
HI
HK
HS
a a
a

Ta có HK AO

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SBD] tại B có:


AB 2 � d A , SBD 2d H , SBD 2a
3 .
d H , SBD HB
d A , SBD

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A' trên mặt phẳng [ABC] là trung điểm của cạnh AB, góc giữa
đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính theo a khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng [ACC'A']. [B 2014 ].
LỜI GIẢI

67


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt


Gọi H là trung điểm của AB. Theo đề bài ta có

A 'H A BC .

Có HC là hình chiếu vuông góc của A'C trên
mặt phẳng [ABC], nên góc giữa A'C và mặt
�'CH 600 . Do đó
phẳng [ABC] là góc A
A 'H HC.tan600

a 3
3a
.
. 3
2
2

Dựng HK AC,[K �AC] . Có A C HK và AC A 'H � AC A 'HK mà
A C � ACC 'A ' � ACC'A ' A 'HK hai mặt phẳng này vuông góc với nhau

theo giao tuyến A'K, dựng HI A 'K , I �A 'K � HI ACC'A ' .
Vậy d H , ACC 'A ' HI .
Ta có HK AH.sin600
trong A 'HK có

a 3
,
4

1

1
1
16
4
52
3a 13
.





� HI
26
HI 2 HK 2 HA '2 3a2 9a2 9a2

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[ACC'A'] tại A có:


BA 2 � d B, ACC'A ' 2d H , ACC 'A ' 3a 13

13 .


d H , ACC'A ' HA
d B, ACC'A '

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N
và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN
và DM, biết SH ABCD ,SH a 3 . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt

phẳng [SBP].
LỜI GIẢI

�1 C
� 1 , mà C
�1 N
�1 900 � D
�1 N
�1 900 .
Ta có AMD DNC[c.g.c] � D
Vậy DM CN tại H.

68


a2 a 5
Trong CDN có CN CD2 DN 2 a2
,
4

CD 2 CH.CN � CH

2

2a 5
4a2 a 5
, DH CD2 CH 2 a2
.

5

5
5

Muốn tính khoảng cách từ C đến mp[SBP], ta phải tính khoảng cách từ H [hình
chiếu vuông góc của đỉnh trên mp đáy] đến mp[SBP] trước, sau đó sử dụng công
thức tỉ lệ khoảng cách để tính khoảng cách từ C đến mp[SBP].
Gọi K BP �CN , suy ra K trung điểm của HC, vậy HK KC

a 5
.
5

Vì BPDM là hình bình hành nên BP PDM � BP CN , và có BP SH suy ra
BP [SHK ] mà BP �[SBP] � [SHK ] [SBP] , hai mặt phẳng này vuông góc với
nhau theo giao tuyến SK, dựng HI SK � HI [SBP] . Vậy d H ,[SBP] HI .
Trong SHK vuông tại H có

1
1
1
5
1
16
a 3
.


2 2 2 � HI
2
2

2
4
HI
HK
HS
a 3a
3a

Hai điểm C và H cùng nằm trên đường thẳng có giao tuyến với mp[SBP] tại K, có


CK 1� d C, SBP d H , SBP a 3
4 .
d H , SBP HK
d C, SBP

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC ,đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông
góc với đáy , góc giữa SB và đáy ABC bằng 60 0 . I trung điểm của BC , H là
hình chiếu vuông góc của A trên SI
a]. Chứng minh tam giác ABH vuông .
b]. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt
phẳng ABH
LỜI GIẢI
a]. Chứng minh tam giác ABH vuông .
Ta có
�BC AI
� BC SAI � SBC SAI BC � SBC
�
�BC SA






hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

SI , có AH SI � AH SBC � AH BH BH � SBC

Kết luận tam giác ABH vuông tại H .
AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng [ABC] , nên góc giữa SB và
� 600 � SA AB.tan600 2a 3 .
[ABC] là góc SBA
b]. Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến mặt
phẳng ABH

69


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Ta có A H SBC � ABH SBC , từ I thuộc BC kẻ IK HB K �HB ,
mà HB là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc [ABH] và [SBC] , nên suy ra
IK ABH . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [ABH] là IK .
SA I vuông

Trong

tại

A


có

A I 2 IH.IS � 3a2 IH.a. 15 � IH

Trong BIH vuông tại I có :

,

SI SA 2 AI 2 12a2 3a2 a 15

a 15
.
5

1
1
1
1
5
8
a 6
.





� IK
4

IK 2 IB2 IK 2 a2 3a2 3a2

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [ABH] là
A , theo công thức tính tỉ lệ khoảng cách có



d G, ABH



d I, ABH



GA 2
IA

3

2
2 a 6 a 6
� d G, ABH d I, ABH .

.
3
3 4
6










Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy [ABCD] là hình vuông tâm
O, AB = 2a, SA = 4a. Tính:
a]. Khoảng cách từ O đến [SAB]. b]. Khoảng cách từ A đến [SCD].
LỜI GIẢI
a]. Khoảng cách từ O đến [SAB].
Do S.ABCD là hình chóp đều nên
SO mp A BCD .[ các bạn để ý O là hình

chiếu của đỉnh S]
Trong mp[ABCD] dựng OI AB tại I, thì
A B SIO

mà

A B �[SAB]

� SAB SIO , hai mặt phẳng này vuông

góc với nhau theo giao tuyến SI, trong [SOI]

dựng OH SI tại H � OH SAB . Vậy






d O, SAB OH .
1
2

Có OI là đường trung bình của BAD � OI AD a .
Trong SAO vuông tại O : SO SA 2 AO 2 16a2 2a2 a 14 .
Trong SOI vuông tại O :
1
1
1
1
1
15
a 210
.
2
2

� OH
2
2
2
2
15
OH
OI
OS

a 14a
14a

b]. Khoảng cách từ A đến [SCD].

70


Vì S.ABCD là hình chóp đều nên khoảng cách từ tâm O đến các mặt bên bằng
nhau, nên d O, SAB d O, SCD OH

a 210
.
15

Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SCD] tại C, nên có:


AC 2
d O,mp SCD AO

d A ,mp SCD










� d A ,mp SCD 2d A ,mp SCD

2a 210
.
15

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng
a, SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi SC và mặt phẳng [SAB] bằng 300.
a]. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBD].
b]. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SBD].
c]. Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC, trọng tâm G của tam giác SCD
đến mặt phẳng [SBD].
d]. Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng [SAB].
LỜI GIẢI
a]. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBD].
�
CB AB
� CB SA B � SB là hình chiếu
CB SA
�

Vì �

của SC lên mp[SAB]








� SAB SC,SB
� 300
� SC,
� CSB

Trong SBC vuông tại B có
SB BC.cot300 a 3 .

Trong SA B vuông tại A có SA SB2 AB2 3a2 a2 a 2
�
SA BD

+ Ta có �

�AC BD

� BD SAC mà BD �[SBD] � SBD SAC hai mặt

phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SO O AC �BD ,trong mp[SAC]
dựng A H SO,H �SO � A H SBD � d A , SBD AH .
+ Trong tam giác vuông SAO có:
Vậy d A , SBD

1
1
1
1
2

10a


2 2 � AH
2
2
2
5
AH
SA
AO
2a a

a 10
.
5

b]. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SBD].

71


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SBD]


CO 1� d C, SBD d A , SBD a 10
5 .
d A , SBD A O

d C, SBD

tại O nên có:

c]. Tính khoảng cách từ I và G đến mặt phẳng [SBD]
Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SBD] tại


IS 1 � d I , SBD 1 d C, SBD a 10
2 10 .
d C, SBD CS 2
d I, SBD

S nên có:

Vì hai điểm I và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SBD] tại
D nên có:



d G, SBD



d I, SBD



GD 2 � d G, SBD 2d I, SBD 2. a 10 a 10
3 3 10 15 .

ID 3

d]. Tính khoảng cách từ O , I và G đến mặt phẳng [SAB].
ở câu a] ta có CB SA B � d C,mp SAB CB a .
Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SAB] tại
S nên có


IS 1 � d I, SAB 1d C, SA B a
2 2.
d C, SAB CS 2
d I, SAB

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SAB]
tại A nên có


OA 1 � d O, SAB 1d C, SAB a
2 2.
d C, SAB CA 2

d O, SAB

Vì hai điểm O và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SAB]
tại A nên có


OA 1 � d O, SAB 1d C, SAB a
2 2.
d C, SAB CA 2

Vì CE PAB nên d C, SAB d E, SAB a .
d O, SAB

Vì hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SAB]
tại S nên có:


GS 2 � d G, SAB 2 d E, SAB 2a
3 3 .
d E, SAB ES 3

d G, SAB

72


Thông qua bài tập này các bạn thấy mấu chốt của bài toán là dựa vào khoảng
cách từ hình chiếu của đỉnh ở đây là điểm A , sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ
khoảng cách.
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a , SA vuông góc với đáy [ABCD] và SA a 6 .
a]. Tính khoảng cách từ A , B đến [SCD].
b]. Tính khoảng cách từ AD đến [SBC].
LỜI GIẢI

�
CD AC gt
�
� CD mp SAC mà CD �[SCD] � SCD SAC , hai
CD SA

�

Có �

mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SC, trong [SAC] dựng





A H SC [ H �SC ] � AH SCD . Vậy d A , SCD AH .

Trong A CD vuông tại C có A C AD 2 CD 2 4a2 a2 a 3 .
Trong tam giác vuông SAC có

1
1
1
1
1
a 3
.


2 2 � AH
2
2
2
2
AH

SA
AC
a 3a

Kết luận d A , SCD AH a 3 .
2

Gọi M trung điểm của AD thì BM PCD � BM P SCD , gọi O BM �AC nên









d B, SCD d O, SCD .

Hai điểm A và O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SCD] tại C nên
Ta có:


OC 1
d A , SCD AC 2
d O, SCD



Kết luận d B, SCD a 3 .

4

b]. Tính khoảng cách từ AD đến [SBC].

73



� d O, SCD

1
a 3
d A , SCD
.
2
4






Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì AD PBC � AD Pmp SBC � d AD, SBC d A , SBC
�BC AK

Trong mp[ABCD] dựng AK BC K �BC , có �

�BC SA


� BC SA K mà

BC �[SBC] � SBC SAK hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến

SK



,

trong

mp[SAK]

dựng

A J SK J �SK � AJ SBC



� d A , SBC AK .
2

�a � a 3
.
2
�2 �


Tính AK: A K AB2 BK 2 a2 � �
Trong tam giác vuông SAK:
Kết luận d A D, SBC

1
1
1
1
4
a 3 a 21



� AJ

.
7
AJ 2 SA 2 AK 2 a2 3a2
7

a 21
.
7

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và vuông
góc với mặt phẳng [ABCD]. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, DC. Góc giữa
mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] bằng 45 0. Tính khoảng cách từ D đến
mặt phẳng [SBM].
LỜI GIẢI


�1 A
� , Mà
�Gọi H là giao điểm của BM và AN. Ta có A BM DAN c.g.c � B
1
� M
� 900 � A
� M
� 900 . Vậy BM AN
B
1
1
1
1
�BM AN
� BM SAN � BM SH .
�BM SA

Ta có �

BM là giao tuyến của mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] và có
BM AN , BM SH nên góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng AN
� 450 .
và SH là góc SHA

Tam giác SAH vuông cân tại A � AH AS a
Trong tam giác vuông ABM:

74



1
1
1


2
2
AB AM
AH 2
� AB2 5AH 2 � AB AH 5 a 5

Có BM SAN mà BM �[SBM] � [SBM ] [SAN] , hai mặt phẳng [SBM] và
[SAN] vuông góc nhau theo giao tuyến SH , trong [SAN] dựng A I SH I �SH
suy ra A I SBM � d A ,mp SMB AI .
Trong tam giác SAH vuông cân tại A có A I

SH A H. 2 a 2
.


2
2
2

Hai điểm A và D cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SBM] tại M
nên có :


DM 1

d A , SMB AD
d D, SMB









� d D, SMB d A , SMB

a 2
.
2

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy [ABCD] là hình vuông tâm O cạnh a , SA
vuông góc với đáy [ABCD] và SA = a. Gọi I , J là trung điểm của SC và AB.
a]. Chứng minh IO [ABCD].

b]. Tính khoảng cách từ I đến CJ.

LỜI GIẢI
a]. Chứng minh IO [ABCD].
Trong tam giác SAC có OI là đường trung
bình của tam giác. Nên có :
�
OI PSA
�

� OI mp ABCD .
�
SA mp ABCD
�

b]. Tính khoảng cách từ I đến CJ.
Trong [ABCD] dựng OH CJ tại H. Ta có
�
CJ SO
� CJ IOH � CJ IH .
�
CJ OH
�

Khoảng cách từ I đến CJ là HI . Gọi G BO �CJ nên G là trọng tâm của tam
1
3

giác ABC ,với OG OB

a 2
.
6

Trong COG vuông tại O có

75

1
1

1
2 18 20
a





� OH
.
OH 2 OC 2 OG2 a2 a2 a2
20


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

a2 a2 a 30
Trong OIH vuông tại O : IH OH 2 OI 2
.


20

4

10

Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = a, đáy ABC là tam giác
vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 .
a]. Tính khoảng cách từ AA' đến [BCC'B'].

b]. Tính khoảng cách từ A đến [A'BC].
c]. Chứng minh AB [ACC'A'] và tính khoảng cách từ A' đến [ABC'].

LỜI GIẢI
a]. Tính khoảng cách từ AA' đến mp[BCC'B'].
do ABC.ABC là lăng trụ đứng nên các đường thẳng
AA, BB, CC vuông góc với các đáy [ABC] và
[ABC].
Dựng A H BC tại H. có
�AH BC
� AH BCC'B' � d A , BCC 'B' AH
�
�AH BB'





Tam giác ABC vuông tại A có AC BC 2 AB2 a
và A H.BC A B.AC � AH

a 3.a a 3
.

2a
2

Kết luận d A ,mp BCC 'B'

a 3

2

Vì AA' // BB'









� AA ' P BCC'B' � d AA ', BCC 'B' d A , BCC'B' AH

a 3
.
2

b]. Tính khoảng cách từ A đến [A'BC].
Có BC A H và BC AA ' � BC A 'AH mà BC �[A'BC]
� A 'BC A 'AH , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến

A'H trong [AAH] dựng A K A 'H K �A 'H � AK A 'BC .
Vậy d A , A 'BC AK .
Trong A 'AH có :

1
1
1
1

4
7
a 21
.


2 2 2 � AK
2
2
2
7
AK
AA ' AH
a 3a
3a

76


Kết luận d A , A 'BC

a 21
.
7
�AB A C
� AB ACC 'A '
�AB A A '

c]. Chứng minh AB [ACC'A'] , vì �


Vì A B ACC'A ' � ABC' ACC 'A ' , hai mặt phẳng này vuông góc với
nhau

theo



giao

tuyến

AC',

A 'I AC ' � A 'I ABC' .

dựng

Vậy



d A ', ABC ' A 'I

Trong A A 'C ' có

1
1
1
1 1
2

a


2 2 2 � A 'I
.
2
2
2
A 'I
AA ' A 'C'
a a
a
2

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA đáy
và SA = a 3 .
a]. Tính khoảng cách từ A tới mp[SBC].
b]. Tính khoảng cách từ O đến mp[SBC].
c]. Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp[SAC].
LỜI GIẢI
a]. Tính khoảng cách từ A tới mp[SBC].
�BC AB
�BC SA

Ta có �

� BC SAB � SBC SAB , hai mặt phẳng

này vuông góc với nhau theo giao tuyến SB trong


mp[SAB] dựng AH SB tại H � AH SBC . Vậy





d A , SBC AH

Trong SA B có

1
1
1
1
1


2 2 � AH a 3 .
2
2
2
AH
A B AS
a 3a
2

Kết luận d A , SBC

a 3
.

2

b]. Tính khoảng cách từ O đến mp[SBC].
Hai điểm A và O nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SBC] tại C, nên có:


OC 1
d A , SBC AC 2
d O, SBC





� d O, SBC

a 3
.
4

c]. Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp[SAC].

77


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

�BO A C

Ta có �


�BO SA





� BO SAC � d B, SAC BO

BD a 2

.
2
2

Hai điểm B và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với [SAC] tại I với I trung
điểm của SA , nên có:


GI 1
d B, SAC BI 3

d G, SAC

1
a 2
� d G, SAC d B, SAC
.
3
6










Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
SA = a và SA vuông góc với đáy [ABCD] . Gọi I , M là trung điểm của SC , CD .
a]. Tính khoảng cách từ A đến [SBD]. b]. Tính khoảng cách từ I đến [SBD].
c]. Tính khoảng cách từ A đến [SBM].
LỜI GIẢI
a]. Tính khoảng cách từ A đến [SBD].
Trong mp[ABCD] dựng A O BD tại O
Có BD AO và BD SA � BD SA O
mà BD �[SBD] � SBD SAO , hai
mặt phẳng này vuông góc với nhau theo
giao tuyến SO, trong [SAO] dựng
A H SO tại H � AH SBD .

Vậy d A , SBD AH .
Trong A BD có
1
1
1
1
1
5

2a





� AO
.
AO 2 AB2 AD 2 a2 4a2 4a2
5

Trong SAO có

1
1
1
5
1
9
2a





� AH
.
3
AH 2 A O 2 AS2 4a2 a2 4a2


Kết luận d A , SBD AH

2a
.
3

b]. Tính khoảng cách từ I đến [SBD]
Gọi N AC �BD . Vì hai điểm A và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với
mp[SBD] tại N, nên có:


CN 1 � d C, SBD d A , SBD

d A , SBD AN
d C, SBD

Vì hai điểm I và C nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SBD] tại S , nên có:

78



IS 1
d C, SBD CS 2
d I, SBD






� d I, SBD

1
a
d C, SBD .
2
3





c]. Tính khoảng cách từ A đến [SBM].
�BM AK
� BM [SAK ] mà
�BM SA

Trong mp[ABCD] dựng A K BM ,K �BM , có �

BM �[SBM] � [SAK ] [SBM] hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao

tuyến SK, trong [SAK] dựng A J SK ,J �SK � A J SBM � d A , SBM AJ .
Có BM BC 2 CM 2 4a2

a2 a 17
.

4
2
1

2

1
2

Có SABCD SABM 2SBCM � 2a2 AK.BM 2. BC.CM
1 a 17
a2
6a
2a2 .
AK
� AK
.
2 2
2
17

Trong SAK có

1
1
1
17
1
53
6a



2

� AJ
.
2
2
2
2
2
AJ
AK
AS
36a a
36a
53

Kết luận d A , SBM A J

6a
53

.

Câu 17: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a và AC = a. Từ trung điểm H của
AB dựng SH vuông góc với [ABCD] với SH = a.
a]. Tính khoảng cách từ H đến [SCD].
b]. Tính khoảng cách từ O đến [SCD].
c]. Tính khoảng cách từ A đến [SBC].
LỜI GIẢI
a]. Tính khoảng cách từ H đến [SCD].
Trong [ABCD] dựng HK CD tại K .
�

CD HK
� CD SHK
CD SH
�

Ta có �

mà CD �[SCD] � SCD SHK hai mặt
phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến
SK , trong [SHK] dựng HI SK tại I
� HI SCD .

Vậy d H ,mp SCD HI .

79


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Vì A B PCD � d H ,CD d A ,CD
Trong SHK vuông tại H :

a 3
[ A CD đều ]
2

1
1
1
4

1
7
a 21
.


2 2 2 � HI
2
2
2
7
HI
HK
HS
3a a
3a

Kết luận d H ,mp SCD HI

a 21
.
7

b]. Tính khoảng cách từ O đến [SCD].
Gọi M là giao điểm của HO và CD, O là tâm đối xứng của đáy suy ra O trung
điểm của HM. Nên


OM 1 � d O, SCD a 21
14 .

d H , SCD HM 2
d O, SCD

c]. Tính khoảng cách từ A đến [SBC].
Muốn tính khoảng cách từ A đến mp[SBC] , ta phải tính khoảng cách từ H đến
mp[SBC] trước sau đó sử dụng công thức tính tỉ lệ khoảng cách
�BC HL
� BC SHL
�BC SH

Trong [ABCD] dựng HL BC tại L , có �

� SBC SHL , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau theo giao tuyến SL,

trong mp[SHL] dựng HJ SL tại J � HJ SBC � d H , SBC HJ .
� 600 . Trong HBL: HL BH.sin600 a 3 .
Ta có A BC đều nên HBL
4

Trong SHL vuông tại H :

1
1
1
16 1 19
a 57


2 2 2 � HJ
2

2
2
19
HJ
HL HS
3a a
3a

Hai điểm A và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SBC] tại B nên có


AB 2 � d A , SBC 2a 57
19 .
d H , SBC HB
d A , SBC

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 2a và SA đáy [ABCD] , đáy là
hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a, AD = 2a.
a]. Tính khoảng cách từ A , B đến [SCD]. b]. Tính khoảng cách từ AD đến [SBC].
LỜI GIẢI

80


a]. Đáy được vẽ lại ở hình 2 . Dễ dàng chứng minh CD AC .
�
CD AC
� CD SAC � SCD SAC hai mặt phẳng này vuông góc
CD SA
�


Có �

với nhau theo giao tuyến SC, trong [SAC] dựng A H SC,H �SC � AH SCD .
Vậy d A , SCD AH .
Trong SA C có

1
1
1
1
1
3





AH 2 AC 2 AS2 2a2 4a2 4a2
2a

Kết luận d A , SCD AH

3

� AH

2a
3


.

.

Gọi M là trung điểm của AD, thì BCDM là hình vuông � BM PCD . Gọi









O BM �AC . Vì MB PCD � BM Pmp SCD � d B, SCD d O, SCD .

Hai điểm O và A nằm trên đường thẳng có giao điểm với mp[SCD] tại C nên có


OC 1
d A , SCD AC 2
d O, SCD





� d O, SCD

Kết luận d B, SCD


a
3

1
a
d A , SCD
.
2
3





.

b]. Tính khoảng cách từ AD đến [SBC].







A D P BC � AD P SBC � d AD, SBC d A , SBC



Ta có BC mp SAB � SBC SAB , hai mặt phẳng này vuông góc với nhau

theo giao tuyến SB, trong [SAB] dựng A I SB I �SB � AI SBC .
Vậy d A , SBC AI .
Trong SA B có

1
1
1
1
1
5
2a





� AI
.
AI 2 AB2 AS2 a2 4a2 4a2
5

Kết luận d A D, SBC AI

2a
5

.

� 1200 , BD = a ,
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với BAD


SA đáy [ABCD], góc giữa mp[SBC] và mp đáy là 600 . Tính:
a]. Đường cao của hình chóp.
b]. Khoảng cách từ A đến [SBC].
LỜI GIẢI

81


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

a]. Gọi

O AC �BD ,

trong [ABCD] dựng

�BC AH
A H BC,H �BC . Có �
�BC SA
� BC SAH � BC SH .
�
SBC � ABCD BC
�
Có �SH BC , AH BC
�
SH � SBC ,AH � ABCD
�
�HS 600
��

SBC , ABCD � A
�
�
�

Dễ thấy ABC là tam giác đều A H BO

AB. 3
a
a
� AB
, và BO
.
2
2
3

� SA � SA tan600.AH a 3 .
Trong SA H có: tan AHS
AH

2

b]. Theo câu a] có BC SAH mà BC �[SBC] � [SBC] [SAH] , trong [SAH]
dựng A I SH ,I �SH � AH SBC . Vậy d A , SBC AI .
1
1
1
4
4

16
a 3
.





� AI
4
AI 2 AH 2 AS2 a2 3a2 3a2

Kết luận d A , SBC AI

a 3
.
4

Câu 20: ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
�BC BAD
� 900 , BA = BC = a,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang. A

AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính [ theo a]
khoảng cách từ H đến mặt phẳng [SCD].
LỜI GIẢI

82



1
2

Gọi M trung điểm của AD có MA MC M D � MC AD ,vậy tam giác
�
CD AC
� CD SAC � CD SC . Kết luận tam giác
CD SA
�

ACD vuông tại C. Có �
SCD vuông tại C.

�AI SC
� AI SCD
�AI CD

Trong [SAC] dựng A I SC tại I . Có �





� d A , SCD AI .
1
1
1
1
1

1


2 2 2 � AH a
2
2
2
AI
AC
AS
2a 2a
a
Gọi G BM �AC .Ta có BM PCD nên BM P[SCD]

Trong SA C vuông tại A có

Vậy d B, SCD d G, SCD .
Hai điểm A và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SCD] tại
C nên:


GC 1 � d G,mp SCD 1d A ,mp SCD a

2

2.

d A ,mp SCD AC 2
d G,mp SCD


Trong SA B vuông tại A có :
SH.SB SA 2 �

SH.SB SA 2
SH
SA 2
2a2
2

�

2 2 .
2
2
2
2
SB
3
SB
SB
SA A B
2a a

Hai điểm B và H nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng [SCD] tại S
nên:


HS 2
BS 3
d B,mp SCD


d H ,mp SCD





� d H ,mp SCD

2
a
d B,mp SCD .
3
3





Câu 21: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc
�
= 600 và SA=SB = SD = a.
BAD
a]. Chứng minh [SAC] vuông góc với [ABCD].
b]. Chứng minh tam giác SAC vuông.
c]. Tính khoảng cách từ S đến [ABCD].
LỜI GIẢI
a]. Chứng minh [SAC] vuông góc với [ABCD]
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có SBD cân tại S có O là trung điểm

của BD nên SO BD ; ABCD là hình thoi nên
BD AC � BD SAC .

mà BD � ABCD � SAC ABCD .
b]. Chứng minh tam giác SAC vuông:
Ta chứng minh SO = AO = OC.

83


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

� 600 � ABD đều.
Do A BD cân tại A có BAD

A BD đều cạnh a có AO là đường trung tuyến � AO a 3 .
2

2

a�
3a2 a 3
Xét SOD vuông tại O, ta có : SO SD2 OD2 a2 �
.


��
�2 �

� SO AO OC


4

2

a 3
, mà SO là đường trung tuyến của SA C � SAC
2

vuông tại S.
Chú ý : Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến
A BC vuông tại A � AM MB MC .
Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền
c]. Tính khoảng cách từ S đến [ABCD]
Xét hình chóp S.ABD :
Ta có : SA = SB = SD = a , AB = BD = DA = a nên
S.ABD là hình chóp đều.
Gọi H là trọng tâm của A BD � SH ABD [Theo
tính chất của hình chóp đều].





� SH ABCD tại H � d S, ABCD SH .
2
3

2 a 3 a 3

.

3 2
3

Vì H là trọng tâm ABD nên A H AO .
Trong SHA vuông tại H, ta có :
2

2

�a 3 �
�a 3 �
SH SA AH a �
� a2 �
�
�3 �
�3 �
�
�
�
�
2



2




2

� d S, ABCD SH

2a2 a 6
.

3
3

a 6
.
3

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ABCD ,
SA AB a,AD a 2 , Gọi H là trung điểm SB.

a]. Chứng minh: SCD SAD ,A H SC.
b]. Xác định và tính góc giữa SC và ABCD .
c]. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Tính khoảng cách từ G đến SA C .
LỜI GIẢI

84


�
CD AD

a]. Có �


CD SA
�

� CD [SAD] ,

mà CD �[SAC] � [SCD] [SAD] .
�BC AB
� BC [SAB]
�BC SA

Có �

� BC AH do A H �[SA B] [1].

Vì SA B vuông cân tại A � AH SB

[2].

Từ [1] và [2] suy ra AH [SBC] � AH SC do SC �[SBC] .
b]. AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp[ABCD] do đó góc giữa SC và
� .
mp[ABCD] là góc SCA
�
Trong SA C vuông tại A có tanSCA

SA
a
1
� 300



� CSH
.
AC a 3
3

c]. Gọi E trung điểm của AB. Dựng EF AC,F �AC
� EF [SAC] do EF AC,EF SA .Vậy d E,[SAC] EF .
a
FE
AE
a 6.
Có AFE ~ABC g.g �

� FE 2 .a 2
BC AC
6
a 3

Hai điểm E và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với [SAC] tại S, có:
d G,[SAC]
d E,[SAC]



GS 2
2
a 6
� d G,[SAC] d E,[SAC]
ES 3

3
9

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
A B a;BC a 6,SA ABC và SA a . Gọi E là hình chiếu vuông góc của A

trên cạnh SB và G là trọng tâm của SA B .
a]. Chứng minh: AEC SBC .
b]. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và SAB .
c]. Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC .
d]. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng SA C .
LỜI GIẢI
�BC AB
� BC [SAB]
�BC SA

a]. Có �

� BC AE do AE �[SAB] [1]

Theo đề A E SB [2].

85


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Từ [1] và [2] suy ra A E [SAB] ,
mà A E �[ACE] � [ACE] [SAB]
Có SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp[SAB], do đó góc giữa SC và

� .
[SAB] là góc CSB
�
Trong SBC vuông tại B có tanCSB

BC a 6
� 600

3 � CSB
.
SB a 2

�
[SBC] �[ABC] BC
�
�
�
�
� SB,AB
��
[SBC],[ABC]
SBA
c]. Có �SB BC;AB BC
.
�
�
�
SB
�
[SBC];AB

�
[A
BC]
�





SA a
� 450
1� SBA
.
AB a
d]. Theo giả thuyết có SA B vuông cân tại A � E trung điểm của SB
Gọi H trung điểm của AB. Dựng HI AC,I �AC
�
Trong SA B vuông tại A có tanSBA

� HI [SAC] do HI AC,HI SA .Vậy d H,[SAC] HI .
a
IH
AH
a 42 .
Có AIH ~ABC g.g �

� IH 2 .a 6
BC AC
14
a 7


Hai điểm H và G nằm trên đường thẳng có giao điểm với [SAC] tại S, có:
d G,[SAC]

d H,[SAC]



GS 2
2
a 42
� d G,[SAC] d E,[SAC]
.
HS 3
3
21

Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a.
Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, SA a.
a]. Chứng minh: BD SO; SAD SCD .
b]. Xác định và tính góc giữa SB và mặt phẳng SAC .
c]. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD .
d]. Xác định và tính góc giữa SBC và SCD .
LỜI GIẢI
�
[SAB] �[SAD] SA
�
a]. Theo đề bài �[SAB] [ABCD]
�
[SAD] [ABCD]

�
� SA [ABCD] .

86