10. Tìm m để phương trình :
11. Tìm m để phương trình :
12. Tìm giá trị k nguyên lớn nhất để phương trình
13. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm nguyên
15. CMR với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt :
denta = b^2 - 4ac
= m^2 + 8m + 16
= [m+4]^2 >=0 nên pt luôn có nghiệm. Áp dụng vi-ét
S = 3m-2
P = 2m^2 - 5m - 3
ít nhất một nghiệm âm thì có các TH sau
TH1. Pt có hai nghiệm trái dấu
P < 0
2m^2 - 5m - 3 < 0
-1/2 < m < 3
TH2. Pt có hai nghiệm âm
S0
m>2/3 và [ m3]
m>3
TH3. Pt có một nghiệm bằng 0, một nghiệm âm
S0\]
– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.
Kết luận: \[m\le 2\].
Cách 3: Giải phương trình [1]: \[\Delta ={{m}^{2}}-4[2m-4]={{[m-4]}^{2}}\ge 0\forall m\]
Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-[m-4]}{2}=2-m\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m+[m-4]}{2}=-2\]
Do \[{{x}_{2}}=-2
Ví dụ 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2[m+3]x+4m-1=0\] [2]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
Giải
Phương trình [2] có hai nghiệm dương
II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ
Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta
có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] [1]
Cách 1: Đặt y = x – 2 \[\Rightarrow x=y+2\] thay vào phương trình [1], ta được:
\[{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+m\left[ y+2 \right]-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left[ 4+m \right]y+3-2m=0\] [2]
Ta cần tìm nghiệm m để phương trình [2] có ít nhất một nghiệm không âm.
\[\Delta ={{\left[ m+4 \right]}^{2}}-4\left[ 2m+3 \right]={{m}^{2}}+4>0\forall m\]
\[P=2m+3;S=-\left[ m+4 \right]\]. Điều kiện để phương trình [2] có 2 nghiệm đều âm là :
Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình [2] có ít nhất một nghiệm không âm tức là [1] có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2:
Giải phương trình [1] ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].
Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:
\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] [3]
- Nếu \[m\le -4\] thì [3] có vế phải âm, vế trái dương nên [3] đúng.
- Nếu \[m>-4\] thì [3] \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].
Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.
Ví dụ 2:
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:
\[3{{x}^{2}}-4x+2\left[ m-1 \right]=0\] [1]
Giải
Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào [1] ta được:
\[3{{\left[ y+2 \right]}^{2}}-4\left[ y+2 \right]+2\left[ m-1 \right]=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] [2]
Cần tìm m để phương trình [2] có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:
Kết luận: Với \[-1
Cách 2:
Xét phương trình [1]. Giải điều kiện:
Giải [2] được \[m0\Leftrightarrow \frac{2\left[ m-1 \right]}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]
Giải [4]: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4
Vậy ra được \[-1
Cách 3: giải phương trình [1]: \[{{\Delta }^{'}}=4-6\left[ m-1 \right]=10-6m\]
Nếu \[{{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m
\[{{x}_{1}}=\frac{2-\sqrt{10-6m}}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{2+\sqrt{10-6m}}{3}\]
Do \[{{x}_{1}}
\[{{x}_{2}}-1\]
Vậy ta được: \[-1
III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm
\[{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0\] [1]
Giải
Đặt \[{{x}^{2}}=y\ge 0\]. Điều kiện để phương trình [1] có nghiệm là phương trình \[{{y}^{2}}+my+2m-4=0\] có ít nhất một nghiệm không âm.
Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là \[m\le 2\]
Ví dụ 2: TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình
\[x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=m\] [1] chỉ có 1 phần tử
Giải
Do đó tập nghiệm của phương trình [1] chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình [2] thoản mãn điều kiện \[x\ge m\]. Đặt x –m =y. Khi đó phương trình [2] trở thành \[2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0\] [3]
Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình [3] thỏa mãn \[y\ge 0\].
Có 3 trường hợp xảy ra:
a] Phương trình [3] có nghiệm kép không âm
b] Phương trình [3] co s2 nghiệm trái dấu:
\[P
c] Phương trình [3] có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
Kết luận \[m=-\sqrt{2}\] hoặc \[-1
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
\[x\left[ x-2 \right]\left[ x+2 \right]\left[ x+4 \right]=m\] [1]
Giải
[1] \[\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}+2x \right]\left[ {{x}^{2}}+2x-8 \right]=m\]
Đặt \[{{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0\], khi đó [1] trở thảnh \[\left[ y-1 \right]\left[ y-9 \right]=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+\left[ 9-m \right]=0\] [2]
Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x.
Do đó:
[1] có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \][2] có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở [2] ta phải có:
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: \[{{x}^{2}}-2x+\left[ m-2 \right]=0\]
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: \[{{x}^{2}}+2m\left| x-2 \right|-4x+{{m}^{2}}+3=0\]
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ m-5 \right]x+\left[ m-1 \right]=0\]
có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[{{x}^{2}}+mx-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.
Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình: \[{{x}^{4}}-2\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ m-3 \right]=0\]
a] Có 4 phần tử.
b] Có 3 phần tử.
c] Có 2 phần tử.
d] Có 1 phần tử.