1. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \[y = a{x^2} + bx + c\left[ {a \ne 0} \right]\]
- TXĐ: \[D = R\].
b. Đồ thị hàm số bậc hai
- Có dáng là đường Parabol có đỉnh \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right],\Delta = {b^2} - 4ac\].
- Trục đối xứng là đường thẳng \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
- Bề lõm hướng lên trên khi \[a > 0\] và hướng xuống dưới khi \[a < 0\]
- Cách vẽ:
+] Xác định đỉnh \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right]\].
+] Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
+] Xác định một số điểm cụ thể của parabol [chẳng hạn giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng].
+] Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại.
2. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
- Nếu \[a > 0\] thì hàm số đồng biến trên \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\], nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\], đạt được GTNN trên \[R\] tại \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
- Nếu \[a < 0\] thì hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right]\], đồng biến trên \[\left[ { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right]\], đạt được GTLN trên \[R\] tại \[x = - \dfrac{b}{{2a}}\].
3. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc hai, xác định các yếu tố liên quan trong đồ thị hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng dạng của hàm số bậc hai, các kiến thức về đỉnh parabol, trục đối xứng, điểm đi qua,…
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về GTLN, GTNN của hàm số bậc hai khi hệ số \[a > 0,a < 0\].
Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số bậc hai.
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{m{x^2} + nx + p}}$ với $m{x^2} + nx + p > 0\forall x$.
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
Lời giải:
Phương pháp:
Gọi ${y_0}$ là một giá trị của biểu thức: Khi đó ${y_0} = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{m{x^2} + nx + p}} \Leftrightarrow \left[ {{y_0}m - a} \right]{x^2} + \left[ {{y_0}n - b} \right]x + {y_0}p - c = 0$. [*]
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu ${y_0}m - a = 0 \Leftrightarrow {y_0} = \frac{a}{m}$ thay vào $\left[ * \right]$ ta tìm được x suy ra ${y_0} = \frac{a}{m}$ là một giá trị của biểu thức.
+ Nếu ${y_0}m - a \ne 0 \Leftrightarrow {y_0} \ne \frac{a}{m}$ thì $[*]$ là phương trình bậc 2 ẩn x. Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta \ge 0$. Từ đó ta suy ra điều kiện của ${y_0}$. Trên cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN [nếu có] của biểu thức.
+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả sau: Ta có: $a.f\left[ x \right] = {a^2}\left[ {{{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] = {a^2}{\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]^2} - \frac{\Delta }{4}$. Từ đó suy ra Nếu $\Delta \le 0$ thì $a.f\left[ x \right] \ge 0 \Leftrightarrow a,f\left[ x \right]$ luôn cùng dấu. Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0,\Delta \le 0 \Rightarrow f\left[ x \right] \ge 0,\forall x$.”
Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}xy + yz + zx = 8\\x + y + z = 5\end{array} \right.$.
Tìm GTLN, GTNN của x.Lời giải:
Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l}yz = 8 - x\left[ {y + z} \right]\\y + z = 5 - x\end{array} \right.$ [*] hay $\left\{ \begin{array}{l}yz = 8 - x\left[ {5 - x} \right]\\y + z = 5 - x\end{array} \right.$[*]. Vì $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $\left[ * \right]$ nên suy ra $y,z$ là hai nghiệm của phương trình: ${t^2} - \left[ {5 - x} \right]t + 8 - 5x - {x^2} = 0$ [**]. Điều kiện để phương trình $[**]$ có nghiệm là: $\Delta = {\left[ {5 - x} \right]^2} - 4\left[ {8 - 5x + {x^2}} \right] = - 3{x^2} + 10x - 7 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {7 - 3x} \right]\left[ {1 - x} \right] \ge 0$ hay $1 \le x \le \frac{7}{3}$. Khi $x = 1 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow y = z = 2$ nên GTNN của x là 1. Khi $x = \frac{7}{3} \Rightarrow t = \frac{4}{3} \Rightarrow y = z = \frac{4}{3}$ suy ra GTLN của $x = \frac{7}{3}$.Ví dụ 3] Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của biểu thức: $P = 9xy + 10yz + 11zx$.
Lời giải: Thay $z = 1 - x - y$ vào $P$ ta có: $P = 9xy + z\left[ {10y + 11x} \right] = 9xy + \left[ {1 - x - y} \right]\left[ {10y + 11x} \right]$ $ = - 11{x^2} + \left[ {11 - 12y} \right]x - 10{y^2} + 10y$ hay $11{x^2} + \left[ {12y - 11} \right]x + 10{y^2} - 10y + P = 0$. Để phương trình có nghiệm điều kiện là $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left[ {12y - 11} \right]^2} - 4.11\left[ {10{y^2} - 10y + P} \right] \ge 0$ hay $ - 296{y^2} + 176y + 121 - 44P \ge 0$ $ \Leftrightarrow P \le - \frac{{74}}{{11}}\left[ { - {y^2} + \frac{{22}}{{37}}y - \frac{{121}}{{296}}} \right] = - \frac{{74}}{{11}}{\left[ {y - \frac{{11}}{{27}}} \right]^2} + \frac{{495}}{{148}} \le \frac{{495}}{{148}}$. Do đó GTLN của $P$ là $\frac{{495}}{{148}}$ đạt được khi $x = \frac{{25}}{{74}};y = \frac{{11}}{{37}};z = \frac{{27}}{{74}}$.
Ví dụ 4] Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng: $a + ab + 2abc \le \frac{9}{2}$.
Lời giải: Từ giả thiết ta suy ra $b = 3 - a - c$. Ta biến đổi bất đẳng thức thành: $a + a\left[ {3 - a - c} \right] + 2ac\left[ {3 - a - c} \right] - \frac{9}{2} \le 0 \Leftrightarrow \left[ {2c + 1} \right]{a^2} + \left[ {2{c^2} - 5c - 4} \right]a + \frac{9}{2} \ge 0$ coi đây là hàm số bậc 2 của a. Xét $f\left[ a \right] = \left[ {2c + 1} \right]{a^2} + \left[ {2{c^2} - 5c - 4} \right]a + \frac{9}{2}$ ta có hệ số của ${a^2}$ là $2c + 1 > 0$ và ta có: $\Delta = {\left[ {2{c^2} - 5c - 4} \right]^2} - 18\left[ {2c + 1} \right] = {\left[ {2c - 1} \right]^2}\left[ {{c^2} - 4c - 2} \right] = $ ${\left[ {2c - 1} \right]^2}\left[ {c\left[ {c - 3} \right] - c - 2} \right] \le 0$ do $0 < c < 3$.
Suy ra $f\left[ a \right] \ge 0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = \frac{3}{2},b = 1,c = \frac{1}{2}$.