Các phương pháp thường sử dụng:
+ Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương + Phương pháp 2: Tam thức bậc hai. + Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski + Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. + Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác. + Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ + Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
- Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến gồm 16 trang bao gồm các kiến thức về 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.
Cách tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 nhanh chóng nắm vững kiến thức để tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f[x]
Bước 1: Dự đoán và chứng minh %20%5Cgeq%20c%20%3B%20f[x]%20%5Cleq%20c]
Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f[x]=c
2. Các phương pháp thường sử dụng
Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương
Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.
Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski
Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của %3Dx%5E%7B2%7D%2B11%20y%5E%7B2%7D-6%20x%20y%2B8%20x-28%20y%2B21]
Giải.
Biến đổi biểu thức dưới dạng %3D[x-3%20y%2B4]%5E%7B2%7D%2B2[y-1]%5E%7B2%7D%2B3%20%5Cgeq%203]
Từ đó suy ra %3D3%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dy-1%3D0%20%5C%5C%20x-3%20y%2B4%3D0%5Cend%7Barray%7D%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dy%3D1%20%5C%5C%20x%3D-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.]
Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ]
Giải
%3D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%202%20x%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1-%5Ccos%202%20y%7D%7B2%7D%2B1-%5Ccos%20%5E%7B2%7D[x%2By]]
%20%5Ccos%20[x-y]-%5Ccos%20%5E%7B2%7D[x%2By]]
%20%5Ccos%20[x-y]%2B%5Ccos%20%5E%7B2%7D[x%2By]%5Cright%5D]
%2B%5Ccos%20[x%2By]%5Cright%5D%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5Csin%20%5E%7B2%7D[x-y]%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20.]
Với ] thì Max
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
]
GIẢI
%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cleft[x_%7B2%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20x_%7B3%7D%5Cright]%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%5Cleft[x_%7B3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20x_%7B4%7D%5Cright]%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%5Cleft[x_%7B4%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20x_%7B5%7D%5Cright]%5E%7B2%7D%2B]
%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B12%7D%5Cleft[x_%7B6%7D-%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20x_%7B7%7D%5Cright]%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B14%7D%5Cleft[x_%7B7%7D-%5Cfrac%7B7%7D%7B8%7D%20x_%7B8%7D%5Cright]%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D%5Cleft[x_%7B8%7D-%5Cfrac%7B8%7D%7B9%7D%5Cright]%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20%5Cgeq-%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D]
Với , thì Min
Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải.
Biến đổi %3D19%20x%5E%7B2%7D-2[8%20z-18%20y]%20x%2B54%20y%5E%7B2%7D%2B16%20z%5E%7B2%7D-24%20y]
Ta có %3D[8%20z-18%20y]%5E%7B2%7D-%5Cleft[54%20y%5E%7B2%7D%2B16%20z%5E%7B2%7D-24%20y%5Cright]%3D-702%20y%5E%7B2%7D%2B168%20z%20y-240%20z%5E%7B2%7D]
%5E%7B2%7D-702.240%20z%5E%7B2%7D%3D-161424%20z%5E%7B2%7D%20%5Cleq%200%20%5Cquad%20%5Cforall%20z%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BR%7D%20%5CRightarrow%20g[y]%20%5Cleq%200%20%5Cforall%20y%2C%20z%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BR%7D]
Suy ra %20%5Cgeq%200]. Với
Bài 6. Cho . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Giải
Xét y=0 là 1 giá trị của hàm số.
Xét , khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
%5E%7B2%7D-[x%20%2F%20y]%2B1%7D%7B[x%20%2F%20y]%5E%7B2%7D%2B[x%20%2F%20y]%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D-t%2B1%7D%7Bt%5E%7B2%7D%2Bt%2B1%7D%3Du%20v%E1%BB%9Bi%20t%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D]
%3Dt%5E2-t%2B1%5CLeftrightarrow[u-1]t%5E2%2B[u%2B1]t%2B[u-1]%3D0]
+ Nếu là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu , thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình [*] có nghiệm t
[3-u]%20%5Cgeq%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleq%20u%20%5Cneq%20%5Cmathbb%7B1%7D%20%5Cleq%203.]
Vậy tập giá trị của u là
Max
Bài 7. Cho thỏa mãn điều kiện %5E2%2B4%20x%5E2%20y%5E2-%5Cleft[x%5E2%2By%5E2%5Cright]%3D0] . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Giải Biến đổi %5E2%2B2%5Cleft[x%5E2-y%5E2%5Cright]%2B1%2B4%20x%5E2%20y%5E2-%5Cleft[x%5E2%2By%5E2%5Cright]%3D0]
%5E2-3%5Cleft[x%5E2%2By%5E2%5Cright]%2B1%2B4%20x%5E2%3D0]
%5E2-3%5Cleft[x%5E2%2By%5E2%5Cright]%2B1%3D-4%20x%5E2]
Do %5E2-3%5Cleft[x%5E2%2By%5E2%5Cright]%2B1%20%5Cleq%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B3-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%20%5Cleq%20x%5E2%2By%5E2%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D]
Với %3D%5Cfrac%7B3-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D.]
Với , thi %3D%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D]
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số %3Dx%2B%5Csqrt%7B4%20x%5E2%2B2%20x%2B1%7D]
Giải.
Gọi yo là 1 giá trị của hàm f[x]
tồn tại sao cho
%3D3%20x_0%5E2%2B2%5Cleft[1%2By_0%5Cright]%20x_0%2B1-y_0%5E2%3D0]. Ta có g[x]=0 có nghiệm
%5E2-3%5Cleft[1-y_0%5E2%5Cright]%3D2%5Cleft[2%20y_0%5E2%2By_0-1%5Cright]%3D2%5Cleft[y_0%2B1%5Cright]%5Cleft[2%20y_0-1%5Cright]%20%5Cgeq%200]
Do %5E2%7D%20%5Cgeq%20x_0%2B%5Csqrt%7B3%20x_0%5E2%7D%3Dx_0%2B%5Csqrt%7B3%7D%5Cleft%7Cx_0%5Cright%7C%20%5Cgeq%200] nên
Với thì %3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D]
..............
Mời các bạn tải File tài liệu về để xem thêm nội dung chi tiết