Tìm gtln gtnn của hàm 2 biến toán cao cấp
Các phương pháp thường sử dụng: + Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương + Phương pháp 2: Tam thức bậc hai. + Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski + Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. + Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác. + Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ + Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANPhương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến gồm 16 trang bao gồm các kiến thức về 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo. Cách tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 nhanh chóng nắm vững kiến thức để tìm GTLN - GTNN của hàm nhiều biến. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x) Bước 1: Dự đoán và chứng minh %20%5Cgeq%20c%20%3B%20f(x)%20%5Cleq%20c) Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f(x)=c 2. Các phương pháp thường sử dụng Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương Phương pháp 2: Tam thức bậc hai. Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ. II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của %3Dx%5E%7B2%7D%2B11%20y%5E%7B2%7D-6%20x%20y%2B8%20x-28%20y%2B21) Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng %3D(x-3%20y%2B4)%5E%7B2%7D%2B2(y-1)%5E%7B2%7D%2B3%20%5Cgeq%203) Từ đó suy ra %3D3%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dy-1%3D0%20%5C%5C%20x-3%20y%2B4%3D0%5Cend%7Barray%7D%20%5CLeftrightarrow%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dy%3D1%20%5C%5C%20x%3D-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5Cright.) Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ) Giải %3D%5Cfrac%7B1-%5Ccos%202%20x%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1-%5Ccos%202%20y%7D%7B2%7D%2B1-%5Ccos%20%5E%7B2%7D(x%2By)) %20%5Ccos%20(x-y)-%5Ccos%20%5E%7B2%7D(x%2By)) %20%5Ccos%20(x-y)%2B%5Ccos%20%5E%7B2%7D(x%2By)%5Cright%5D) %2B%5Ccos%20(x%2By)%5Cright%5D%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5Csin%20%5E%7B2%7D(x-y)%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20.) Với ) thì Max Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ) GIẢI %5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cleft(x_%7B2%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20x_%7B3%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%5Cleft(x_%7B3%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20x_%7B4%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%5Cleft(x_%7B4%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20x_%7B5%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B) %5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B7%7D%7B12%7D%5Cleft(x_%7B6%7D-%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7D%20x_%7B7%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B14%7D%5Cleft(x_%7B7%7D-%5Cfrac%7B7%7D%7B8%7D%20x_%7B8%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D%5Cleft(x_%7B8%7D-%5Cfrac%7B8%7D%7B9%7D%5Cright)%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D%20%5Cgeq-%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7D) Với , thì Min Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải. Biến đổi %3D19%20x%5E%7B2%7D-2(8%20z-18%20y)%20x%2B54%20y%5E%7B2%7D%2B16%20z%5E%7B2%7D-24%20y) Ta có %3D(8%20z-18%20y)%5E%7B2%7D-%5Cleft(54%20y%5E%7B2%7D%2B16%20z%5E%7B2%7D-24%20y%5Cright)%3D-702%20y%5E%7B2%7D%2B168%20z%20y-240%20z%5E%7B2%7D) %5E%7B2%7D-702.240%20z%5E%7B2%7D%3D-161424%20z%5E%7B2%7D%20%5Cleq%200%20%5Cquad%20%5Cforall%20z%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BR%7D%20%5CRightarrow%20g(y)%20%5Cleq%200%20%5Cforall%20y%2C%20z%20%5Cin%20%5Cmathrm%7BR%7D) Suy ra %20%5Cgeq%200). Với Bài 6. Cho . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: Giải Xét y=0 là 1 giá trị của hàm số. Xét , khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây %5E%7B2%7D-(x%20%2F%20y)%2B1%7D%7B(x%20%2F%20y)%5E%7B2%7D%2B(x%20%2F%20y)%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%7D-t%2B1%7D%7Bt%5E%7B2%7D%2Bt%2B1%7D%3Du%20v%E1%BB%9Bi%20t%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D) %3Dt%5E2-t%2B1%5CLeftrightarrow(u-1)t%5E2%2B(u%2B1)t%2B(u-1)%3D0) + Nếu là 1 giá trị của hàm số + Nếu , thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t (3-u)%20%5Cgeq%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cleq%20u%20%5Cneq%20%5Cmathbb%7B1%7D%20%5Cleq%203.) Vậy tập giá trị của u là Max Bài 7. Cho thỏa mãn điều kiện %5E2%2B4%20x%5E2%20y%5E2-%5Cleft(x%5E2%2By%5E2%5Cright)%3D0) . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Giải Biến đổi %5E2%2B2%5Cleft(x%5E2-y%5E2%5Cright)%2B1%2B4%20x%5E2%20y%5E2-%5Cleft(x%5E2%2By%5E2%5Cright)%3D0) %5E2-3%5Cleft(x%5E2%2By%5E2%5Cright)%2B1%2B4%20x%5E2%3D0) %5E2-3%5Cleft(x%5E2%2By%5E2%5Cright)%2B1%3D-4%20x%5E2) Do %5E2-3%5Cleft(x%5E2%2By%5E2%5Cright)%2B1%20%5Cleq%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B3-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D%20%5Cleq%20x%5E2%2By%5E2%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D) Với %3D%5Cfrac%7B3-%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D.) Với , thi %3D%5Cfrac%7B3%2B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D) Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số %3Dx%2B%5Csqrt%7B4%20x%5E2%2B2%20x%2B1%7D) Giải. Gọi yo là 1 giá trị của hàm f(x) tồn tại sao cho %3D3%20x_0%5E2%2B2%5Cleft(1%2By_0%5Cright)%20x_0%2B1-y_0%5E2%3D0). Ta có g(x)=0 có nghiệm %5E2-3%5Cleft(1-y_0%5E2%5Cright)%3D2%5Cleft(2%20y_0%5E2%2By_0-1%5Cright)%3D2%5Cleft(y_0%2B1%5Cright)%5Cleft(2%20y_0-1%5Cright)%20%5Cgeq%200) Do %5E2%7D%20%5Cgeq%20x_0%2B%5Csqrt%7B3%20x_0%5E2%7D%3Dx_0%2B%5Csqrt%7B3%7D%5Cleft%7Cx_0%5Cright%7C%20%5Cgeq%200) nên Với thì %3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D) .............. Mời các bạn tải File tài liệu về để xem thêm nội dung chi tiết |