Tam thức bậc hai là gì

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai [đối với \[x\]] là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \[a,b,c\] là những số cho trước với \[a \ne 0\].

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c$; \[\Delta  = {b^2} - 4ac\] và \[\Delta ' = b{'^2} - ac\] theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left[ x \right] = a{x^2} + bx + c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí.

Cho tam thức bậc hai \[f[x] = ax^2 + bx + c[a \ne 0]\] có biệt thức \[∆ = b^2– 4ac\].

- Nếu \[∆ < 0\] thì \[f[x]\] luôn cùng dấu với hệ số \[a\] với mọi \[x \in R\].

- Nếu \[∆ = 0\] thì \[f[x]\] có nghiệm kép \[x = -\dfrac{b}{2a}\].

Khi đó \[f[x]\] có cùng dấu với hệ số \[a\] với mọi \[x ≠ -\dfrac{b}{2a}\].

- Nếu \[∆ > 0, f[x]\] có \[2\] nghiệm \[{x_1},{x_2}[{x_1} < {x_2}]\] và luôn cùng dấu với hệ số \[a\] với mọi \[x \in \left[ { - \infty ;{x_1}} \right] \cup \left[ {{x_2}; + \infty } \right]\] và luôn trái dấu với hệ số \[a\] với mọi \[x\in [{x_1};{x_2}]\]

Chú ý:

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \[a\], ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \[a\]

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$

$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

Cách xét dấu của tam thức bậc 2 và bài tập áp dụng

Lý thuyết về cách xét dấu của tam thức bậc 2. Và các bài tập xét dấu tam thức bậc 2 có lời giải giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập lại kiến thức.

Trước tiên chúng ta ôn lại lý thuyết định nghĩa tam thức bậc hai là gì?

Định nghĩa tam thức bậc 2

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $ \displaystyle f[x]=a{{x}^{2}} bx c$, trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a≠ 0$.

Ví dụ:

$ \displaystyle f[x]={{x}^{2}}-4x 5$ là tam thức bậc hai

$f[x] = {{x}^{2}}[2x-3]$ không phải là tam thức bậc hai.

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cho $ \displaystyle f[x]=a{{x}^{2}} bx c$, $Δ = {b^2} – 4ac$.

– Nếu $Δ0$ thì f[x] luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x{{x}_{2}}$; trái dấu với hệ số $a$ khi ${{x}_{1}} 0$ khi $\displaystyle x\in \left[ {1;\frac{5}{2}} \right]$ – Từ bảng xét dấu ta có:

$f[x] = 0$ khi $\displaystyle x=1\text{ };\text{ }x=\frac{5}{2}$

$f[x] < 0$ khi $\displaystyle x\in \left[ {\infty ;1} \right]\text{ }\cup \text{ }\left[ {\frac{5}{2}; \infty } \right]$

$\displaystyle c]\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left[ x \right]\text{ }=\text{ }{{x}^{2}}~ \text{ }12x\text{ } \text{ }36$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=~144~-144=~0$.

– Tam thức có nghiệm kép $x = –6$, hệ số $a = 1 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f[x] > 0$ với $∀x ≠ –6$

$f[x] = 0$ khi $x = –6$

$d] [2x – 3][x 5]$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left[ x \right]\text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}~ \text{ }7x\text{ }\text{ }15$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=49~ 120=169>0$.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}~=\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}~=5$, hệ số $a = 2 > 0$.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f[x] > 0$ khi $\displaystyle x\text{ }\in \text{ }\left[ {\infty ;\text{ }5} \right]\text{ }\cup \text{ }\left[ {3/2;\text{ } \infty } \right]$

$f[x] = 0$ khi $\displaystyle x=5\text{ };\text{ }x=\frac{3}{2}$

$ f[x] < 0$ khi $\displaystyle x\in \left[ {5;\frac{3}{2}} \right]$

• Cách tìm cực trị hình học bằng vectơ – Toán lớp 10

• Ứng dụng của vectơ trong giải toán hình học, đại số, giải tích

• Ứng dụng vectơ để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, đi qua điểm cố định – Toán lớp 10

• Ứng dụng vectơ để chứng minh hai đường thẳng song song, 3 đường thẳng đồng quy – Toán lớp 10

• Cách chứng minh đẳng thức véctơ – Toán lớp 10

• Đề cương ôn tập HK2 môn Toán lớp 10

• 244 câu trắc nghiệm Đại số lớp 10 chương 3 có lời giải

Tam thức bậc hai [đối với x] là biểu thức dạng ax2+bx+c trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0

Nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai.

f [x] = ax2+bx+c 

với ∆=b2-4ac [biệt thức của tam thức bậc hai f[x] = ax2+bx+c

và ∆'=b'2-ac [biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f[x] = ax2+bx+c.

Ví dụ: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai

1. f [x] = x2x-2
2. f [x] = x2-4
3. f [x] = x-3x-7
4. f [x] = x-52

Đáp án: 3 tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai

Định lý tam thức bậc hai [Nguồn: Internet]

Cho f [x] =  ax2+bx+c [a khác 0]

kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f [x] = 0 ta có

S = x1+x2=-ba

P = x1.x2=ca

Ta có mẹo ghi nhớ “Trong trái, ngoài cùng” [nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a]

∆0 với ∀x∈R∆=0→a.fx>0 với ∀x≠-ba hoặc a.fx≥0 với∀x∈R∆>0 thì fx có 2 nghiệm:

• Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f [x] trái dấu với a
• Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f [x] cùng dấu với a