1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh [4 góc]. Ta chọngóc không tùlà góc giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
- Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau avà b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
- Cách 2: Cho hai đường thẳng avà b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// bthì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º - α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng a và b. Giả sử véctơ u1, u2lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Để tính góc của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta so sánh góc của chúng với 2 vectơ chỉ phương của chúng. Ta có thể dễ dàng thấy góc giữa 2 đường thẳngbằng hoặc bùso với góc giữa hai vectơ chỉ phương. Do đó nếu gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng. Thì ta cócông thức tính giữa hai đường thẳngnhư sau:
Ví dụ 1:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
Tính góc giữa hai đường thẳng đó.
Lời giải:
4. Bài tập có lời giải chi tiết
Bài tập 1:
Bài tập 2.
Bài tập 3. Phương trình của hai đường thẳng có dạng
Trong hình học không gian, bài toán tính góc giữa 2 vecto trong không gian là một bài toán khó trong chương trình toán lớp 12. Nó phụ thuộc vào nhiều kiến thức khác nhau liên quan đến mặt phẳng, thiết diện. Hiểu được những khó khăn khi làm dạng bài này, Verbalearn sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn ngay trong bài viết dưới đây.
Định nghĩa góc giữa hai vecto trong không gian
Góc giữa hai vecto trong không gian có cùng định nghĩa với góc giữa hai vecto trong mặt phẳng. Ta có 2 định lý như sau:
- Góc không xác định nếu tồn tại 1 vecto không [Có thể nói góc bằng 0]
- Cả 2 vecto đều khác không, tiến hành đưa về chung gốc để có thể tính toán
Tính chất góc giữa hai vecto
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai vecto bất kì trong không gian. Ta có các tính chất sau:
- $\alpha = {0^0}$ khi hai vecto đó cùng chiều
- $\alpha = {90^0}$ khi hai vecto vuông góc
- $\alpha = {180^0}$ khi hai vecto ngược chiều
Công thức tính góc giữa hai vecto
Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto giúp bạn có thể tính được các bài toán cơ bản một cách nhanh chóng nhất. Dưới đây là công thức tổng quát ứng dụng cho các vecto trong không gian. Để tính được góc giữa hai vecto, sử dụng công thức sau để tính cosin của góc rồi từ đó đổi thành số đo nếu đề bài yêu cầu.
Lưu ý
Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng: ${\rm{[}}{0^0};{180^0}{\rm{]}}$
Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Tích vô hướng của hai vecto trong không gian là một kiến thức quan trọng. Với công thức tích vô hướng, bạn không chỉ tính được cosin của góc mà còn xác định được nhiều yếu tố khác.
1. Góc giữa hai vecto chung gốc
2. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
3. Tìm hiểu các ví dụ
Bài toán 1: Tính góc tạo bởi vecto là các cạnh của một tứ diện đều.
Trên đây là bài toán cơ bản nhất về tính góc giữa hai vecto. Với bài toán này, bạn cần lưu ý các tính chất của tứ diện đều để không bỏ sót qua các dữ kiện. Tiếp theo chúng ta cùng đến với một bài toán tính góc giữa hai vecto với đề bài cho trước là hình chóp có nhiều yếu tố vuông góc.
Tính góc giữa hai vecto bằng Casio
Từ khi toán học chuyển sang thi trắc nghiệm thì việc vận dụng máy tính Casio vào giải bài tập là điều cần thiết. Không chỉ riêng đại số, mà ngay cả hình học việc vận dụng máy tính cầm tay vẫn hiệu quả. Lưu ý rằng, để sử dụng thuần thục casio trước tiên bạn hãy nắm vững lý thuyết để không làm mất bản chất của môn học.
1. Các lệnh nhập Casio có liên quan đến dạng bài
- Lệnh đăng nhập khi làm dạng toán về vecto: MODE 8
- Nhập thông số vecto: MODE 8 1 1
- Tính tích vô hướng của 2 vecto: VectoA SHIFT 5 7 VectoB
- Tính tích có hướng của hai vecto: VectoA x VectoB
- Lệnh giá trị tuyệt đối: SHIFT HYP
- Lệnh tính độ lớn một vecto: SHIFT HYP
- Lệnh dò nghiệm của bất phương trình: MODE 7
- Lệnh dò nghiệm của phương trình: SHIFT SOLVE
Sau khi tìm hiểu các lệnh nhập Casio có liên quan đến vecto. Để tính góc bằng Casio, cách nhanh nhất là bạn hãy cùng theo dõi các ví dụ sau và thực hiện lại.
2. Các ví dụ minh họa
Câu 1: Tính góc giữa hai vecto cho trước đã có tọa độ
Nhập hai vecto $[\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} ]$ vào máy tính:
→ Đáp số chính là là câu B
Câu 2: Tìm điều kiện của tham số để góc giữa hai vecto thỏa mãn yêu cầu cho trước
Câu 3: Tìm tham số m để thỏa mãn số đo góc
Trên đây là toàn bộ các kiến thức về góc giữa hai vecto trong không gian và một số phương pháp tính. Ngoài kĩ năng sử dụng máy tính, để làm thuần thục dạng bài tập này học sinh cần hiểu bản chất vecto trong không gian, các công thức lượng giác cơ bản. Cuối cùng, Verbalearn chúc các em học tốt và học thật chắc chắn các dạng bài tập này.
Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc độ nào đó, chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong cuộc sống và cần phải hiểu rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm giác rất may mắn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy có thể tiếp cận nhiều học sinh hơn.