Để chứng minh đường thẳng \[d\] song song với mặt phẳng \[[\alpha]\] ta chứng minh \[d\] không nằm trong \[[\alpha]\] và \[d\] song song với một đường thẳng \[a\] nào đó trong \[[\alpha].\]
\[ \left. \begin{array}{c} d\not\subset [\alpha] \\ d \parallel a \\ a\subset [\alpha] \end{array} \right\} \Rightarrow d \parallel [\alpha] \]
Đó là nội dung một định lý trong SGK.
1. Kiến thức cần nhớ
a] Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\], ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
- \[d//\left[ \alpha \right]\] nếu \[d\] và \[\left[ \alpha \right]\] không có điểm chung.
- \[d \subset \left[ \alpha \right]\] nếu mọi điểm nằm trong \[d\] đều nằm trong \[\left[ \alpha \right]\].
- \[d\] cắt \[\left[ \alpha \right]\] nếu \[d\] và \[\left[ \alpha \right]\] có duy nhất một điểm chung.
b] Các định lý và tính chất
Định lý 1: Nếu đường thẳng \[d\] không nằm trong mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] mà \[d\] song song với một đường thẳng \[d'\] nằm trong \[\left[ \alpha \right]\] thì \[d\] song song với \[\left[ \alpha \right]\].
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset \left[ \alpha \right]\\d//d'\\d' \subset \left[ \alpha \right]\end{array} \right. \Rightarrow d//\left[ \alpha \right]\]
Định lý 2: Cho đường thẳng \[d\] song song với mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\], nếu mặt phẳng \[\left[ \beta \right]\] chứa \[d\] mà cắt \[\left[ \alpha \right]\] theo giao tuyến \[d'\] thì \[d//d'\].
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}d//\left[ \alpha \right]\\\left[ \beta \right] \cap \left[ \alpha \right] = d'\\d \subset \left[ \beta \right]\end{array} \right. \Rightarrow d//d'\]
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy \[\left\{ \begin{array}{l}d//\left[ \alpha \right]\\d//\left[ \beta \right]\\\left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right] = d'\end{array} \right. \Rightarrow d//d'\].
Định lý 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng toán: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Phương pháp:
Cách 1: Tìm một đường thẳng thuộc mặt phẳng mà song song với đường thẳng đã cho.
Cách 2: Chứng minh đường thẳng đó là giao của hai mặt phẳng mà lần lượt cắt mặt phẳng đã cho theo hai giao tuyến song song.
Ví dụ: Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[{G_1},{G_2}\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[SBC,ABC\]. Chứng minh \[{G_1}{G_2}//\left[ {SAC} \right]\]
Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[SC,AC\].
Khi đó \[\dfrac{{B{G_1}}}{{BM}} = \dfrac{{B{G_2}}}{{BN}} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {G_1}{G_2}//MN\]
Mà \[M \in SC,N \in AC\] nên \[MN \subset \left[ {SAC} \right]\]
Vậy \[{G_1}{G_2}//\left[ {SAC} \right]\]
Bạn đã biết làm dạng bài chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng chưa? Nếu chưa thì bài viết này dành cho bạn. Mời bạn xem nội dung sau đây
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta có 2 cách làm sau
Cách 1: Chứng minh đường thẳng d không nằm trong [α] và song song với đường thẳng a nằm trong [α].
Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt này sẽ song song với mặt kia.
2. Bài tập
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng [ABC] và [ABD]
Lời giải
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD.
Khi đó, ta có: $\frac{{QM}}{{MA}} = \frac{{QN}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN||AB$
Vì $\left\{ \begin{gathered} MN \not\subset \left[ {ABC} \right] \hfill \\ AB \subset \left[ {ABC} \right] \hfill \\ MN||AB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ nên MN || [ABC]
Tương tự $\left\{ \begin{gathered} MN \not\subset \left[ {ABD} \right] \hfill \\ AB \subset \left[ {ABD} \right] \hfill \\ MN||AB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ nên MN || [ABD]
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng trong không gian
Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng a // [P], ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng [P] [a và [P] không có điểm chung]
Bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
- Chứng minh MN // [SBC] , MN // [SAD]
- Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC đều song song với [MNP]
- Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔSBC. Chứng minh G1G2 // [SAB]
Bài giải
Chứng minh MN // [SBC], MN // [SAD]
- NM//BC, BC⊂[SBC] → MN // [SBC]
- AD // MN, AD ⊂ [SAD] → MN// [SAD]
Chứng minh SB // [MNP]
MP//SB, MP⊂[MNP] →SB // [MNP
Chứng minh SC // [MNP]
Tìm giao tuyến của [MNP] và [SAD]
Ta có : P là điểm chung của [MNP] và [SAD] MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD tại Q . PQ = [MNP] ∩ [SAD]
Xét ΔSAD , Ta có : PQ // AD. P là trung điểm SA → Q là trung điểm SD
Xét ΔSCD, Ta có : QN // SC , QN ⊂ [MNP] ⇒ SC // [MNP]
Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của ΔABC và ΔSBC. Chứng minh G1G2 // [SAB]
2 tam giác ABC và SBC có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm BC theo tính chất trọng tâm ta có
IG1/IA = IG2/IS = 1/3 →G1G2 // SA, SA ⊂ [SAB] ⇒ G1G2 // [SAB]
Bài tập áp dụng
Bài 01:
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3 AM
Đường thẳng qua M và song song với AB cắt Cl tại Chứng minh rằng NG // [SCD]. .
Chứng minh rằng MGII [SCD].
Hướng dẫn giải.
Đường thẳng qua M và song song với AB cắt Cl tại Chứng minh rằng NG // [SCD].
Chứng minh rằng MGII [SCD].
Bài 02:
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
- Chứng minh rằng OGII [SBC].
- Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // [SAB].
- Giả sử điếm I nằm trong đoạn SC sao cho SC =3/2 SI. Chứng minh rằng SA // [BỈD]
Hướng dẫn giải toán theo từng câu.
- Chứng minh rằng OGII [SBC].
2. Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // [SAB].
Bài 03:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J.
- a] CMR: I J // [ ADF] và I J// [BCE]
- b] Gọi M, N là trọng tâm ABC và ABE. CMR: MN//[CEF]
Bài 04: Hiểu được bài 03. Thì bài này quá dễ. kakak
Cho hai hình bình hành ABCD, ABEF, không cùng nằm trong mặt phẳng
- Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD, ABEF. Chứng minh OO’// [ADF], OO’//[BCE]
- Gọi M, N là hai điểm trên AE, BD sao cho AM = 1/3AE, BN = 1/3BD . Chứng minh MN // [CDEF]