Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là gì

Phương trình mặt phẳng trung trực

admin      01/06/2021

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng trong không gian Oxyz được viết như thế nào? Bài viết dưới đây tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách để viết phương trình một mp trung trực của đoạn thẳng trong không gian. Đồng thời tôi cũng sẽ hướng dẫn các bạn cách để nhẩm ngay được phương trình mp trung trực của đoạn thẳng. Cùng theo dõi nhé!

I. MẶT PHẲNG TRUNG TRỰC LÀ GÌ?

Trước tiên chúng ta cùng ôn lại khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng [đã học từ lớp 11].

Bạn đang xem: Phương trình mặt phẳng trung trực

Trong không gian cho đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của AB. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng [P] đi qua I và vuông góc với đoạn thẳng AB. Mặt phẳng [P] được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Nếu phát biểu dưới dạng quỹ tích thì mặt phẳng trung trực là quỹ tích các điểm cách đều hai điểm cho trước.

Như vậy chúng ta có thể thấy khái niệm mặt phẳng trung trực cũng tương tự như khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng.

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

Từ định nghĩa nêu trên ta có thể thấy rằng nếu [P] là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Thì véc tơ AB chính là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng [P]. Còn trung điểm I của đoạn AB chính là 1 điểm nằm trên mặt phẳng [P].

Do đó cách viết phương trình mặt phẳng trung trực [P] của đoạn thẳng AB như sau:

Tính véc tơ AB là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng [P]. [Cách tính véc tơ AB là lấy tọa độ điểm cuối B trừ đi tọa độ điểm đầu A tương ứng].Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. [Cách tìm tọa độ trung điểm là lấy tọa độ điểm A cộng tọa độ điểm B tương ứng, xong chia cho 2] Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm I nhận véc tơ AB là véc tơ pháp tuyến.

Ví dụ minh họa [Tự luận]:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A[1;2;3] và điểm B[3;6;1]. Biết mặt phẳng [P] là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy viết phương trình tổng quát của [P].

Xem thêm: Gen Là Một Đoạn Adn Mang Thông Tin Di Truyền Mã Hóa Cho Một Sản Phẩm Xác Định Là

Lời giải:

Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là [2;4;2].

Véc tơ AB có tọa độ [2;4;−2] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng [P].

Do đó phương trình mặt phẳng [P] là:

2[x−2]+4[y−4]−2[z−2]=0

⇔2x+4y−2z−16=0

⇔x+2y−z−8=0.

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Phương trình mặt phẳng trung trực

Ví dụ minh họa [Trắc nghiệm]:

Lời giải:

Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là [0;4;1].

Véc tơ AB có tọa độ [2;4;−4] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình là:

2[x−0]+4[y−4]−4[z−1]=0

⇔x+2y−2z−6=0

⇔−x−2y+2z+6=0.

Chọn đáp án A.

III. CÁCH NHẨM NHANH PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRUΝG TRỰC

Thông thường khi tính toán viết ptmp trung trực ta thường lược bớt các bước biến đổi để cho ra kết quả ngay. Ta xét lại ví dụ bên trên:

“Trong không gian Oxyz, cho điểm A[1;2;3] và điểm B[3;6;1]. Biết mặt phẳng [P] là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy viết phương trình tổng quát của [P].”

Ta sẽ tiến hành nhẩm véc tơ AB=[2;4;-2]. Khi đó ta sẽ viết được “phần đầu” của phương trình là:

2x+4y-2z+….=0

Đến đây ta nhẩm tọa độ trung điểm AB là I[2;4;2] ta thay luôn vào “phần đầu” phương trình vừa tìm được. Bài nào phân số hay số to ta có thể dùng chức năng CALC của máy tính để tính.

Ta được: 2.2+4.4-2.2=16. Ta lấy “phần đầu” trừ đi 16 [kết quả vừa nhẩm được] là được kết quả:

2x+4y-2z-16=0

Trên đây là định nghĩa mặt phẳng trung trực, cách viết và cách nhẩm phương tri`nh mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng. Các bạn hãy luyện tập để thành thạo nhé. Chúc các bạn thành công!

Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng cũng như tính chất đường trung trực của đoạn thẳng là chủ đề quan trọng trong chương trình toán học THCS. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về chủ đề định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng cũng như một số kiến thức liên quan nhé!. 

Mục lục

Định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Đường trung trực của đoạn thẳng là 1 đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng đó

Các tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Từ việc tìm hiểu định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, dưới đây là tính chất đường trung trực của đoạn thẳng:

Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB

Định lý đảo: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Ta có điểm I cách đều 2 đâu mút của đoạn thẳng AB [IA = IB] nên I nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

Từ định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất đã có, hãy chứng minh đường trưng trực của đoạn thẳng?

• Xét trường hợp I thuộc AB. Vì IA = IB nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Suy ra I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
• Xét trường hợp I không thuộc AB. Kẻ đoạn thẳng nối I với trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Ta có:

\[\Delta AMI=\Delta BMI\] [c.c.c].

Suy ra \[\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}\]

Mặt khác: \[\widehat{M_{1}}+\widehat{M_{2}}=180^{0}\]

Suy ra: \[\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}=90^{0}\]

=> \[IM\perp AB\]

=> IM là đường trung trực của AB

=> I nằm trên đường trung trực AB

* Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có:

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Các dạng toán về đường trưng trực của đoạn thẳng

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Để chứng minh đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, ta cần chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc có thể sử dụng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải:

Để giải dạng toán này, ta cần dùng định lý sau: “Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai mút của đoạn thẳng đó”.

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải:

• Ta cần sử dụng tính chất của đường trung trực nhằm thay độ dài của đoạn thẳng thành độ dài của đoạn thẳng khác bằng với nó.
• Ta sử dụng bất đẳng thức của tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Phương pháp giải:

• Ta cần dùng tính chất giao điểm của các đường trung trực của tam giác.
• Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác sẽ cùng đi qua một điểm. Điểm này sẽ cách đều ba đỉnh của tam giác đã cho.

Xem chi tiết >>> Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 5: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp giải:

Ta cần lưu ý ở tam giác cân thì đường trung trực của cạnh đáy đồng thời chính là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy.

Dạng 6: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp giải:

Ta cần ghi nhớ ở tam giác vuông thì giao điểm các đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.

Một số câu hỏi về đường trung trực của đoạn thẳng

Mỗi đoạn thẳng có bao nhiêu đường trung trực?

Trả lời: Bởi đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm đoạn thẳng đó. Mặt khác, mỗi đoạn thẳng chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm thỏa mãn điều kiện là trung điểm của đoạn thẳng đó => Mỗi đoạn thẳng có duy nhất 1 đường trung trực.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Khi tìm hiểu về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, ta cũng cần biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng như sau:

• Bước 1: Ta tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.
• Bước 2: Ta dựa vào tính chất “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nghĩa là nếu điểm E thuộc đường thẳng AB thì thì EA = EB.

Bài tập về đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C đã cho đó.

Cách giải: 

Ta có:

• Điểm O cách đều hai điểm A, B nên suy ra điểm O nằm trên đường phân trung trực của đoạn thẳng AB.
• Điểm O cách đều hai điểm B, C nên O nằm trên đường trung trực của đoạn  thẳng BC.
• Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên suy ra O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2:  Một tam giác ABC có

A^

là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở P và ở E. Đường tròn tâm O bán kính OA sẽ đi qua những điểm nào trong hình vẽ.

Cách giải

Nhìn hình ta thấy O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra OA=OB[1]

OA=OB[1]

 

Lại có O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra OA=OC[2]

OA=OC[2]

 

Từ [1] và [2] suy ra OA = OB = OC.

Vậy đường tròn [O, OA] đi qua các điểm A, B, C.

Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác tam giác ABK trùng với giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Hãy tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Cách giải

Trên đây là bài viết về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, rất mong nhận được ý kiến góp ý cũng như bình luận của các bạn. Nếu có bất cứ câu hỏi hay thắc mắc gì về chủ đề định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, đừng quên để lại trong nhận xét nhé. Chúc bạn luôn học tốt!.