Lũy thừa của một thương được tính theo công thức

Table of Contents

Ở bài học trước, các em đã được làm quen với phép tính lũy thừa của một số hữu tỉ. Vậy để tính lũy thừa của một tích các số hữu tỉ ta làm thế nào? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ giúp chúng ta tìm hiểu về cách tính lũy thừa của một tích và làm quen với một số dạng bài tập liên quan đến phần này nhé.

1. Nhắc về lũy thừa của một số hữu tỉ

Với x là một số hữu tỉ, n là một số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó lũy thừa bậc n của x là tích của n thừa số x.

Trong đó:

x được gọi là cơ số,

n gọi là số mũ.

Quy ước:

x1=x

x0=1 [x≠0]

Ta có x là số hữu tỉ nên x viết được dưới dạng  nên từ đó ta có:

   [Tử số có n thừa số a, mẫu số có n thừa số b]

2. Các phép tính với lũy thừa

Với x là một số hữu tỉ, ta có công thức tính tích của hai lũy thừa cùng cơ số như sau: xm.xn = xm+n

Với a là một số hữu tỉ khác 0; m, n là các số tự nhiên và m ≥ n, ta có công thức tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số như sau: am: an = am-n  

3. Lũy thừa của một tích

Với a, b là các số hữu tỉ, n là số tự nhiên lớn hơn 1, ta có:

[a.b]n = an . bn

Cách ghi nhớ: Lũy thừa của một tích thì bằng tích các lũy thừa.

Ví dụ. Tính .

Giải.

Ta có .

4. Lũy thừa của một thương

Với a, b là các số hữu tỉ , b khác 0, n là số tự nhiên lớn hơn 1, ta có:

Cách ghi nhớ: Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

Ví dụ. Tính .

Giải.

5. Các dạng toán liên quan đến lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương

5.1. Dạng 1. Áp dụng công thức tính lũy thừa của một tích để tính nhanh các biểu thức

*Phương pháp giải:

Để tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa ta sử dụng các công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số kết hợp với công thức tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương để thu gọn biểu thức sau đó thực hiện tính toán.

Ở một số bài toán chúng ta nên biến đổi các số thành các lũy thừa cùng số mũ để việc tính toán được thuận tiện hơn.

Ví dụ. Tính:

a]

b]

c]

d]

Giải.

a]

b]

c]

d] .

5.2. Dạng 2: Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ

*Phương pháp giải:

Để viết gọn biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ ta có thể sử dụng các công thức sau:

[1]

[2] am.an = am+n

[3] am: an = am-n   [a≠0, m≥n]

[4] an.bn=[a.b]n

[5]

Ví dụ. Viết gọn biểu thức đã cho dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a]

b]

c]

d]

Giải. 

a]

b]

c]

d] .

5.3. Dạng 3: Áp dụng công thức tính lũy thừa để giải bài toán tìm x

*Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức về lũy thừa kết hợp với quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc để giải bài toán tìm x. Có thể sử dụng các tính chất sau:

[1] Nếu am = an thì m= n [a ∈ Q ,a≠1; m,n ∈ N],

[2] Nếu am = bn thì a = b [a, b ∈ Q; n ∈ N*].

Ví dụ. Tìm x, biết:

a]

b]

Giải.

6. Các bài tập vận dụng tính lũy thừa của một tích

Bài 1. Chọn câu trả lời đúng. Hãy cho biết trong các công thức sau đây công thức nào là công thức tính lũy thừa của một tích:

A. am.an = am+n

B. am: an = am-n

C.

D. an.bn=[a.b]n

A. am.an = am+n    Đây là công thức tính tích hai lũy thừa cùng cơ số.

B. am: an = am-n   Đây là công thức tính thương hai lũy thừa cùng cơ số.

C.     Đây là công thức tính lũy thừa của một thương.

D. an.bn=[a.b]n   Đây là công thức tính lũy thừa của một tích.

Chọn đáp án D.

Bài 2. Chọn câu trả lời đúng. Trong các công thức dưới đây, công thức nào viết đúng?

A. [a.b]n = an + bn

B.  am.an = am.n

C.

D. [am]n = am+n

A. [a.b]n = an. bn   nên đáp án A sai.

B. am.an = am+n   nên đáp án B sai.

C.   nên đáp án C đúng.

D. [am]n = am.n    nên đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 3. Chọn câu trả lời đúng. Phân số được viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là:

A.

B.  

C.

D. Cả B và C đều đúng

Ta có: hoặc

Chọn đáp án D.

Bài 4. Cho và a ≠ 0. Điền các lũy thừa của a thích hợp vào chỗ trống để được kết quả đúng:

a] a3. ....... = a7

b] ...... .b3 = [a.b]3

c]

d]

a] a3.a4 = a7

b] a3 .b3 = [a.b]3

c]

d] .

Bài 5. Tính các lũy thừa sau rồi xét dấu kết quả thu được, từ đó rút ra nhận xét về dấu của lũy thừa bậc chẵn và bậc lẻ của số hữu tỉ âm.

a]

b]

c]

d]

Ta có:

a]

b]

c]

d] .

Từ kết quả trên, ta thấy:

- Lũy thừa của số hữu tỉ âm với số mũ chẵn ta nhận được số hữu tỉ dương.

- Lũy thừa của số hữu tỉ âm với số mũ lẻ ta nhận được số hữu tỉ âm.

Bài 6. Tính:

a]

b]

c]

d]

a]

b]

c]

d] .

Bài 7. Tìm x: 

a]

b]

c]

d]

a]

2x = 32:2

2x =16

2x = 24

x=4

2x - 3 = 3

2x = 3 + 3 

2x = 6

x= 6:2

x= 3

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ kiến thức về lũy thừa, lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương và phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức về lũy thừa, lũy thừa của một tích từ đó có thể áp dụng vào giải các bài tập trên lớp cũng như ở nhà.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Viết các công thức:

lũy thừa của một lũy thừa

lũy thừa của một tích

lũy thừa của một thương

Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan

Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cúng như các dạng bài toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng chúng tôi tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!

I. Định nghĩa

1. Lũy thừa bậc n của a là gì?

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và n, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là \[{\displaystyle a^{n}}\], đọc là lũy thừa bậc n của a hay a mũ n, số a gọi là cơ số, số n gọi là số mũ.

Tập xác định của hàm số lũy thừa:

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \[y=x^α[α∈R]\]. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

• Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.
• Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R\{0}.
• Nếu α không nguyên thì tập các định là \[[0;+∞]\]

2. Tính chất cơ bản của lũy thừa

• \[a^n = a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times }... {\displaystyle \times } a\] n chữ số a
• \[{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}}\]
• \[0^n = 0 [n > 0]\]
• \[1^n = 1\]
• \[a^0 = 1\]
• \[a^1 = a\]
• \[{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}\]

3. Tính chất thường gặp

• \[a^{m + n} = a^m {\displaystyle \times } a^n\]
• \[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0
• \[{\displaystyle a^{m\cdot n}=[a^{m}]^{n}}\]
• \[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
• \[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
• \[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
• \[{\displaystyle a^{m/n}=\left[a^{m}\right]^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\]
• \[ {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\]
• \[ {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}\]

Hot: Logarit đầy đủ và chi tiết nhất

II. Công thức lũy thừa

1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên

\[{\displaystyle 0^{n}=0\,}\].[n > 0]

\[{\displaystyle 1^{n}=1\,}\].

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

\[{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}\]

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

\[{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} \]

\[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0

\[{\displaystyle [a^{m}]^{n}=a^{mn}}\]

\[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]

\[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]

\[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1: \[{\displaystyle a^{0}=1}\]

Chứng minh: \[{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}\]

2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ

• Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho \[x^n = a\].

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là \[\sqrt[n]a\], trong đó \[\sqrt{}\]  là ký hiệu căn.

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n [m, n là số nguyên, trong đó n dương], của số thực dương a được định nghĩa là

\[{\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\left[a^{m}\right]^{\dfrac{1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\] định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực

• Cách tính lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

\[{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}.}\]

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi \[{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {x}{n}}\right]^{n},}\] ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa \[{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}\]

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là \[e^k\] như sau:

\[{\displaystyle [e]^{k}=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}}\]

\[{\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{m}}\right]^{m}=e^{k}.}\]

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng \[e^{x+y}\] thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên \[{\displaystyle \ln {[x]}}\] là hàm ngược của hàm e-mũ \[e^x\]. Theo đó \[{\displaystyle \ln x}\] là số b sao cho \[x = e ^b\] .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

\[{\displaystyle a^{x}=[e^{\ln a}]^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}\]

Điều này dẫn tới định nghĩa: \[{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\] với mọi số thực x và số thực dương a.

Xem ngay: 

IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a] \[y=\sqrt{5x-2x^2-2}+ln\dfrac{1}{x^2-1}\]

Điều kiện: \[\left\{\begin{array}{cc}-2x^2+5x-1\ge0\\x^2-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2}\le x \le 2\\x1\end{array}\right. \Leftrightarrow 1