Hướng dẫn gioi han ham nhieu bien
0% found this document useful (0 votes) 88 views 24 pages Original TitleGiới hạn hàm nhiều biến.pdf Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?0% found this document useful (0 votes) 88 views24 pages Giới hạn hàm nhiều biến PDFBài 4: Hàm nhi ề u bi ế n MAT101_Bai 4_v2.3013101225 71 BÀI 4: HÀM NHI Ề U BI Ế N M ụ c tiêu N ộ i dung N ắ m đượ c các khái ni ệ m v ề hàm nhi ề u bi ế n, đạ o hàm riêng, vi phân, c ự c tr ị nhi ề u bi ế n . Làm đượ c bài t ậ p v ề hàm nhi ề u bi ế n, đặ c bi ệ t là ph ầ n c ự c tr ị hàm nhi ề u bi ế
ề hàm s ố nhi ề u bi ế n s ố , phép tính gi ớ i h ạ n, tính ch ấ t liên t ụ c và phép tính đạ o hàm, vi phân c ủ a hàm nhi ề u bi ế
đ ó áp d ụ ng các ki ế n th ứ c này vào bài toán c ự c tr ị , bài toán này có ý ngh ĩ a r ấ t l ớ n v ề m ặ t ứ ng d ụ ng, t ạ o c ơ s ở toán h ọ c cho các bài toán t ố i ư u hoá trong kinh t ế . H ướ ng d ẫ n h ọ c Các b ạ n c ầ n xem k ỹ các ví d ụ và làm ph ầ n bài t ậ p kèm theo. Th ờ i l ượ ng Bài này đượ c trình bày trong 3 ti ế t lý thuy ế t và 6 ti ế t bài t ậ
ạ n nên dành kho ả ng 3 đế n 4 gi ờ đồ ng h ồ m ỗ i tu ầ n để h ọ c bài này. Các ki ế n th ứ c c ầ n có Các b ạ n c ầ n có ki ế n th ứ c v ề tính gi ớ i h ạ n hàm s ố (bài 1), phép tính đạ o hàm vi phân (bài 2). Bài 4: Hàm nhi ề u bi ế n 72 MAT101_Bai 4_v2.3013101225 4.1. Gi ớ i h ạ n và tính liên t ụ c c ủ a hàm s ố 4.1.1. Khái ni ệ m hàm nhi ề u bi ế n Khái ni ệ m hàm s ố m ộ t bi ế n s ố ph ả n ánh s ự ph ụ thu ộ c c ủ a m ộ t đố i t ượ ng (hàm s ố ) vào m ộ t đố i t ượ ng khác (bi ế n s ố ), s ự ph ụ thu ộ c này không ph ổ bi ế n trong th ự c t ế . Ví d ụ nh ư s ả n l ượ ng c ủ a m ộ t nhà s ả n xu ấ t luôn ph ụ thu ộ c vào nhi ề u y ế u t ố g ồ m có lao độ ng, v ố n…; giá c ả c ủ a m ộ t hàng hoá trên th ị tr ườ ng không ch ỉ ph ụ thu ộ c vào chi phí s ả n xu ấ t mà còn ph ụ thu ộ c vào y ế u t ố cung – c ầ u… Để ph ả n ánh chính xác các hi ệ n t ượ ng th ự c t ế , trong ph ầ n này chúng ta s ẽ xét khái ni ệ m hàm s ố nhi ề u bi ế n s ố , ph ả n ánh s ự ph ụ thu ộ c c ủ a m ộ t đố i t ượ ng (hàm s ố ) vào nhi ề u đố i t ượ ng khác (nhi ề u bi ế n s ố ). Đố i v ớ i hàm m ộ t bi ế n s ố , m ỗ i giá tr ị c ủ a bi ế n độ c l ậ p s ẽ đặ t t ươ ng ứ ng v ớ i m ộ t giá tr ị c ủ a hàm. Đố i v ớ i hàm s ố nhi ề u bi ế n, m ỗ i b ộ giá tr ị xác đị nh c ủ a n bi ế n s ố đặ t t ươ ng ứ ng v ớ i m ộ t giá tr ị c ủ a hàm s ố . N ế u ta coi m ỗ i m ộ t b ộ n bi ế n s ố là m ộ t đ i ể m (bi ế n đ i ể
ạ i quay v ề đị nh ngh ĩ a hàm nhi ề u bi ế n nh ư hàm s ố c ủ a m ộ t bi ế n đ i ể
ầ n tìm hi ể u m ộ t s ố khái ni ệ m v ề b ộ n bi ế n s ố . 4.1.1.1. Không gian n chi ề u Trong ch ươ ng trình ph ổ thông, chúng ta đ ã bi ế t trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Descartes vuông góc Oxy cho tr ướ c, m ỗ i m ộ t đ i ể m M đượ c đặ t t ươ ng ứ ng v ớ i m ộ t b ộ hai s ố s ắ p th ứ t ự (x,y) c ũ ng chính là to ạ độ c ủ a M trong h ệ to ạ độ đ ã ch ọ n; trong không gian ba chi ề u v ớ i h ệ t ọ a độ Descartes vuông góc Oxyz cho tr ướ c, m ỗ i m ộ t đ i ể m M đượ c đặ t t ươ ng ứ ng v ớ i m ộ t b ộ ba s ố s ắ p th ứ t ự (x,y,z). Khái quát lên chúng ta c ũ ng có khái ni ệ m đ i ể m trong không gian n chi ề Đị nh ngh ĩ a: M ỗ i b ộ n s ố th ự c s ắ p th ứ t ự 12n (x,x,...,x) đượ c g ọ i là m ộ t đ i ể m n chi ề
ệ u đ i ể m b ở i ch ữ in hoa 12n M(x,x,...,x). Đị nh ngh ĩ a: Không gian đ i ể m n chi ề u (không gian n chi ề
ậ p h ợ p t ấ t c ả các đ i ể m n chi ề u, trong đ ó kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m 12n M(x,x,...,x) và 12n N(y,y,...,y) đượ c cho b ở i công th ứ c: 2221122nn d(M,N)(xy)(xy)...(xy) . Không gian n chi ề u đượ c ký hi ệ u b ở i n Trong tr ườ ng h ợ p n2,n3 ta th ấ y r ằ ng công th ứ c tính kho ả ng cách nói trên c ũ ng chính là kho ả ng cách Euclide đ ã bi ế t trong m ặ t ph ẳ ng và không gian. 4.1.1.2. Hàm nhi ề u bi ế n Đị nh ngh ĩ a: M ộ t hàm n bi ế n s ố là m ộ t quy t ắ c f:D , v ớ i D là m ộ t t ậ p h ợ p con c ủ a không gian n chi ề u n , cho t ươ ng ứ ng m ỗ i đ i ể m 12n M(x,x,...,x)D v ớ i m ộ t và ch ỉ m ộ t giá tr ị f(M) . D đượ c g ọ i là mi ề n xác đị nh c ủ a hàm s ố . Ta c ũ ng s ử d ụ ng ký hi ệ u 12n12n uf(x,x,...,x);(x,x,...,x)D để ch ỉ hàm s ố này. Bài 4: Hàm nhi ề u bi ế n MAT101_Bai 4_v2.3013101225 73 Ví d ụ 1: Cho hàm s ố n f: , 22212n12n f(x,x,...,x)1xx...x . Mi ề n xác đị nh c ủ a hàm s ố này là: 2221n12n DM(x,...,x):xx...x1 . Mi ề n xác đị nh t ự nhiên c ủ a m ộ t hàm nhi ề u bi ế n là các b ộ n s ố sao cho khi thay vào bi ể u th ứ c c ủ a hàm s ố thì các phép toán đề u có ý ngh ĩ
ộ i dung c ủ a giáo trình chúng ta th ườ ng xét các hàm s ố hai bi ế n làm ví d ụ , các hàm s ố này ký hi ệ u b ở i z(x,y);f(x,y);u(x,y)..., v ớ i 2 (x,y)D . Đị nh ngh ĩ a: Mi ề n giá tr ị c ủ a hàm s ố 12n uf(x,x,...,x) là t ậ p h ợ p t ấ t c ả các giá tr ị c ủ a hàm s ố khi đ i ể m 12n M(x,x,...,x) bi ế n thiên trong mi ề n xác đị nh D. Ví d ụ 2: Hàm s ố f:D , trong đ ó 22 D:xy1 , 22 zf(x,y)1xy , mi ề n giá tr ị là: z0 . Hàm s ố f:D trong đ ó D:xy1 , f(x,y)ln(1xy) , mi ề n giá tr ị là: , . 4.1.1.3. Ý ngh ĩ a hình h ọ c c ủ a hàm hai bi ế n Đị nh ngh ĩ a: Đồ th ị c ủ a hàm s ố zz(x,y) là t ậ p h ợ p t ấ t c ả các đ i ể m M'(x,y,z) trong không gian 3 , trong đ ó (x,y) là to ạ độ c ủ a đ i ể m M thu ộ c mi ề n xác đị nh D và z là giá tr ị c ủ a hàm s ố t ạ i đ i ể m đ ó. Đồ th ị c ủ a hàm hai bi ế n s ố là m ộ t m ặ t trong không gian ba chi ề u 3 . Ví d ụ 3: Đồ th ị c ủ a hàm s ố 22 zz(x,y)1xy là n ử a m ặ t c ầ u có tâm t ạ i g ố c to ạ độ O và bán kính R1 n ằ m trong n ử a không gian z0 . Đồ th ị c ủ a hàm s ố 22 zxy là m ặ t nón tròn xoay tr ụ c Oz, n ằ m trong n ử a không gian z0 . 4.1.2. Gi ớ i h ạ n c ủ a hàm nhi ề u bi ế n 4.1.2.1. Đị nh ngh ĩ a Đị nh ngh ĩ a: Ta nói dãy đ i ể m kkk k12n {M(x,x,...,x)} có gi ớ i h ạ n là (h ộ i t ụ đế đ i ể m 000012n M(x,x,...,x) n ế u k k limd(M,M)0 ; hay t ươ ng đươ ng k0iik limxx;1in . Ví d ụ 4 : Dãy đ i ể m n n1M,n1n h ộ i t ụ v ề đ i ể m (1,0) khi n , vì: |
