Cập nhật lúc: 22:44 11-09-2018 Mục tin: LỚP 9
MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC
1] Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy về phương trình một ẩn.
+ Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải chọn một biểu thức \[f[x]\] để đặt \[f[x] = t\] sao cho phần còn lại phải biểu diễn được theo ẩn \[t\].
Những bài toán dạng này nói chung là dễ.
+ Trong nhiều trường hợp ta cần thực hiện phép chia cho một biểu thức có sẵn ở phương trình từ đó mới phát hiện ẩn phụ. Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta có thể chia cho \[g[x]\] phù hợp [thông thường ta chia cho \[{x^k}\] với k là số hữu tỷ]
+ Đối với những bài toán mà việc đưa về một ẩn dẫn đến phương trình mới phức tạp như: Số mũ cao, căn bậc cao .. thì ta có thể nghỉ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy về hệ phương trình hoặc dựa vào các hằng đẳng thức để giải toán.
Ta xét các ví dụ sau:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an alternative browser.
- Người khởi tạo Học Lớp
- Ngày gửi 1/7/18
Phương pháp giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
+ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là phương pháp chọn một số hạng trong phương trình để đặt làm ẩn sau đó ta quy phương trình ban đầu về dạng một phương trình bậc 2: \[m{t^2} + g[x]t + h[x] = 0\] [ phương trình này vẫn còn ẩn \[x\]]
+ Vấn đề của bài toán là phải chọn giá trị \[m\] bằng bao nhiêu để phương trình bậc 2 theo ẩn \[t\] có giá trị \[\Delta \] chẵn \[\left[ {\Delta = {{\left[ {A[x]} \right]}^2}} \right]\] như thế viêc tính \[t\] theo \[x\] sẽ được dễ dàng.
+ Thông thường khi gặp các phương trình dạng:
$a{x^2} + bx + c + [dx + e]\sqrt {p{x^2} + qx + r} = 0$ thì phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn tỏ ra rất hiệu quả:
+ Để giải các phương trình dạng này ta thường làm theo cách:
- Đặt \[\sqrt {f[x]} = t \Rightarrow {t^2} = f[x]\]
- Ta tạo ra phương trình: \[m{t^2} + g[x]t + h[x] = 0\]
Ta có \[\Delta = {\left[ {g[x]} \right]^2} - 4m.h[x] = {f_1}[m]{x^2} + {g_1}[m]x + {h_1}[m]\].
Để \[\Delta \]có dạng ${\left[ {A[x]} \right]^2}$ thì điều kiện cần và đủ là
\[{\Delta _m} = {\left[ {{g_1}[m]} \right]^2} - 4{f_1}[m].{g_1}[m] = 0 \Rightarrow m\]
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a] \[{x^2} + 1 - [x + 1]\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 0\] b] \[2\sqrt {2x + 4} + 4\sqrt {2 - x} = \sqrt {9{x^2} + 16} \]
\[[2x + 7]\sqrt {2x + 7} = {x^2} + 9x + 7\] [Trích đề TS lớp 10 Chuyên Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội 2009]
Giải:
a] Đặt \[t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} > 0 \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 2x + 3\] Phương trình đã cho trở thành: \[{x^2} + 1 - [x + 1]t = 0\] Ta sẽ tạo ra phương trình: \[m{t^2} - [x + 1]t + {x^2} + 1 - m[{x^2} - 2x + 3] = 0\] [Ta đã thêm vào \[m{t^2}\] nên phải bớt đi một lượng \[m{t^2} = m[{x^2} - 2x + 3]\]] Phương trình được viết lại như sau: \[m{t^2} - [x + 1]t + [1 - m]{x^2} + 2mx + 1 - 3m = 0\] \[ \Rightarrow \Delta = {[x + 1]^2} - 4m\left[ {[1 - m]{x^2} + 2mx + 1 - 3m} \right]\] \[ = [4{m^2} - 4m + 1]{x^2} + [2 - 8{m^2}]x + 12{m^2} - 4m + 1\] Ta mong muốn \[\Delta = {[{\rm{Ax}} + B]^2} \Leftrightarrow {\Delta _m} = {[1 - 4{m^2}]^2} - [12{m^2} - 4m + 1][4{m^2} - 4m + 1] = 0 \Leftrightarrow m = 1\] Phương trình mới được tạo ra là: \[{t^2} - [x + 1]t + 2x - 2 = 0\] Ta có \[\Delta = {x^2} - 6x + 9 = {[x - 3]^2}\] Từ đó ta có: \[\left[ \begin{array}{l}t = \frac{{x + 1 - [x - 3]}}{2} = 2\\t = \frac{{x + 1 + [x - 3]}}{2} = x - 1\end{array} \right.\]
+ Trường hợp 1: \[t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \]
+ Trường hợp 2: \[t = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 3 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\] Phương trình vô nghiệm. Tóm lại: Phương trình có 2 nghiệm là: \[x = 1 \pm \sqrt 2 \]
b] Điều kiện: \[ - 2 \le x \le 2\] Bình phương 2 vế phương trình và thu gọn ta được: \[9{x^2} - 16\sqrt {8 - 2{x^2}} + 8x - 32 = 0\]. Đặt \[t = \sqrt {8 - 2{x^2}} \] ta tạo ra phương trình là: $\begin{array}{*{20}{l}}
{m{t^2} - 16t - m[8 - 2{x^2}] + 9{x^2} + 8x - 32 = 0}&{}\\
{ \Leftrightarrow m{t^2} - 16t + [9 + 2m]{x^2} + 8x - 8m - 32 = 0}&{}
\end{array}$ $\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ' = 64 - m\left[ {[9 + 2m]{x^2} + 8x - 8m - 32} \right]}&{}\\
{ = [ - 2{m^2} - 9m]{x^2} + 8mx + 8{m^2} + 32m + 64}&{}
\end{array}$
Ta mong muốn \[\Delta ' = {[Ax + B]^2} \Leftrightarrow \]\[\Delta = 0\] phải có nghiệm kép .
Tức là: \[{\Delta '_m} = 16{m^2} - [ - 2{m^2} - 9m][8{m^2} + 32m + 64] = 0 \Leftrightarrow m = - 4\]
Từ đó suy ra phương trình mới là: \[ - 4{t^2} - 16t + {x^2} + 8x = 0\]
Tính được: \[\Delta ' = 4{x^2} + 32x + 64 = {[2x + 8]^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{8 - [2x + 8]}}{{ - 4}} = \frac{x}{2}\\t = \frac{{8 + [2x + 8]}}{{ - 4}} = - \frac{x}{2} - 4\end{array} \right.\]
+ Trường hợp 1: \[t = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4[8 - 2{x^2}] = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\]
+ Trường hợp 2: \[t = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \sqrt {8 - 2{x^2}} = - \frac{x}{2} - 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 8\\4[8 - 2{x^2}] = {[x + 8]^2}\end{array} \right.VN\]
Tóm lại phương trình có nghiệm duy nhất \[x = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\]
c]. Đặt \[\sqrt {2x + 7} = t\] ta tạo ra phương trình: \[m{t^2} - \left[ {2x + 7} \right]t + {x^2} + \left[ {9 - 2m} \right]x + 7 - 7m = 0\]
Làm tương tự như trên ta tìm được \[m = 1\].
Nên phương trình có dạng
\[{t^2} - \left[ {2x + 7} \right]t + {x^2} + 7x = 0 \Rightarrow \Delta = {\left[ {2x + 7} \right]^2} - 4\left[ {{x^2} + 7x} \right] = 49 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = x + 7\\t = x\end{array} \right.\] giải theo các trường hợp của \[t\] ta tìm được \[x = 1 + 2\sqrt 2 \] là nghiệm của phương trình.
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bình luận.
Video liên quan