Điều kiện để phương trình đẳng cấp có nghiệm

332 lượt xem

Giải hệ phương trình đẳng cấp là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

1. Hệ phương trình đẳng cấp

- Hệ phương trình đẳng cấp là những hệ chứa những yếu tố đẳng cấp hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia thì tạo ra phương trình đẳng cấp

Ta thường gặp dạng hệ này dưới các dạng như sau:

2. Cách giải hệ đẳng cấp

Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y = 0 thay vào để tìm x

y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y

3. Bài tập giải hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Biến đổi hệ phương trình như sau:

Nhận thấy rằng nếu nhân chèo hai phương trình cua hệ ta được:

đây là phương trình đẳng cấp bậc 3

Từ đó ta có lời giải như sau:

Vì x = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên ta đặt y = tx. Khi đó hệ phương trình trở thành:

Với

thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được

Với

thay vào hệ phương trình ban đầu ta tìm được

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm [x; y] = [3; 1] = [-3; -1] =

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

Từ phương trình thứ nhất ta có:

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Đây là phương trình đẳng cấp đối với

Đặt

phương trình trở thành

Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất cuat hệ ta thu được x = -1 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [1; -3]

4. Bài tập luyện tập giải hệ đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình

Bài 2: Tìm tập nghiệm của các hệ phương trình:

5. Giải hệ phương trình đối xứng

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

------------------------------------------------

Hy vọng tài liệu Hướng dẫn giải hệ phương trình đẳng cấp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức về tương giao đồ thị, hàm số bậc hai đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

• Luyện tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Cập nhật: 16/03/2022

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình thường gặp trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? Khái niệm về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2? Cách giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm \[ 2 \] phương trình \[ 2 \] ẩn mà ở mỗi phương trình thì bậc của mỗi ẩn là bẳng nhau :

\[\left\{\begin{matrix} f[x;y]=a_1\\ g[x;y]=a_2 \end{matrix}\right.\] với \[ f,g \] là các hàm số có bậc của hai biến \[ x;y \] bằng nhau

Ví dụ:

\[\left\{\begin{matrix} x^2+3xy-2y^2=3\\ x^2-xy+y^2=4 \end{matrix}\right.\]

Ở ví dụ trên thì đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc \[ 2 \]

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

\[\left\{\begin{matrix} f[x;y]=a_1\\ g[x;y]=a_2 \end{matrix}\right.\] với \[ f,g \] là các hàm số có bậc của hai biến \[ x;y \] bằng nhau

Nhìn chung để giải phương trình đẳng cấp thì chúng ta tiến hành các bước sau đây:

• Bước 1: Nhân phương trình trên với \[ a_2 \] và phương trình dưới với \[ a_1 \] rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự do
• Bước 2: Đặt \[ x=ky \]. Thay vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình có dạng :
• Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường hợp \[\left[\begin{array}{l} y=0\\y \neq 0 \end{array}\right.\]. Với trường hợp \[ y \neq 0 \] thì giải ra \[ k \]
• Bước 4: Thay \[ x=ky \] vào một trong hai phương trình, giải ra \[ y \] rồi từ đó giải ra \[ x \]

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\[\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ x^2-2xy+y^2=1 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Phương trình đã cho tương đương với :

\[\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ 3x^2-6xy+3y^2=3 \end{matrix}\right.\]

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

\[ 2x^2+4y^2-6xy =0 \]

Đặt \[ x=ky \]. Thay vào phương trình trên ta được :

\[ 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 \]

\[\Leftrightarrow 2y^2[k^2-3k+2]=0 \;\;\;\;\; [1] \]

Thay vào hệ ta được:

\[\left\{\begin{matrix} x^2=3\\ x^2=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] vô lý [ loại ]

• Trường hợp \[ y \neq 0 \]

Từ phương trình \[ [1] \Rightarrow k^2+3k-2 =0 \]

 \[\Leftrightarrow [k-1][k-2]=0\]

\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\ k=2 \end{array}\right.\]

Nếu \[ k=1 \] thay vào hệ phương trình ta được :

\[\left\{\begin{matrix} 0=3\\0=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] vô lý [ loại ]

Nếu \[ k=2 \] thay vào hệ phương trình ta được :

\[\left\{\begin{matrix} 3y^2=3\\y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y^2=1 \Leftrightarrow y=\pm 1\]

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \[ [x;y] =[2;1] ; [-2;-1] \]

Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 

Hệ phương trình đẳng cấp bậc \[ 2 \] là hệ phương trình có dạng :

\[\left\{\begin{matrix} a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{matrix}\right.\]

Đây là dạng toán thường gặp trong phần hệ phương trình đẳng cấp lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài này thì ngoài cách trên ta có thể sử dụng một cách khác như sau :

• Bước 1: Từ hai phương trình, nhân hệ số thích hợp để hệ số của \[ x^2 \] ở hai phương trình là bằng nhau:
• Bước 2: Trừ hai vế của hai phương trình, ta được phương trình dạng :
  • \[ Ay^2+Bxy=C \]
  • \[\Rightarrow x=\frac{C-Ay^2}{By}\]
• Bước 3: Thay vào một trong hai phương trình rồi giải tìm ra \[ x;y \]

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\[\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ x^2+xy-3y^2=3 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

\[\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ 2x^2+2xy-6y^2=6 \end{matrix}\right.\]

Trừ hai vế hai phương trình ta được :

\[ 5y^2-3xy =2 \]

• Nếu \[ y=0 \] thay vào hệ phương trình đã cho ta được:

\[\left\{\begin{matrix} 2x^2=8\\x^2=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] vô lý [ loại ]

• Nếu \[ y \neq 0 \] thì ta có:

\[x= \frac{5y^2-2}{3y}\]

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\[2.[\frac{5y^2-2}{3y}]^2-y.\frac{5y^2-2}{3y}-y^2=8\]

\[\Leftrightarrow 2[25y^4-20y^2+4]-3y^2[5y^2-2]-9y^4=72y^2\]

\[\Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0\]

\[\Leftrightarrow 2[y^2-4][13y^2-1] =0\]

\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2=4\\y^2=\frac{1}{13} \end{array}\right.\]

Thay vào ta được : hệ phương trình đã cho có \[ 4 \] cặp nghiệm :

\[[x;y]= [3;2];[-3;-2]; [-\frac{111}{2197};\frac{1}{13}];[\frac{111}{2197};-\frac{1}{13}]\]

Hệ phương trình đẳng cấp lớp 10 

Trong chương trình toán 10 thì bài toán hệ phương trình sẽ nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh cần có thêm một vài kĩ năng biến đổi để xử lý.

Dạng bài biến đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những bài toán này, hệ phương trình ban đầu bài toán đưa ra sẽ không phải là những phương trình đẳng cấp. Nhưng chúng ta sẽ biến đổi, đặt ẩn phụ để đưa hệ đã cho trở thành hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\[\left\{\begin{matrix} x^2-y^2+2y=9\\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Ta sẽ biến đổi để đưa phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình đã cho tương đương với :

\[\left\{\begin{matrix} x^2-[y^2-2y+1]=8\\ x^2+x[y-1]+[y^2-2y+1]=13\end{matrix}\right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-[y-1]^2=8\\ x^2+x[y-1]+[y-1]^2=13 \end{matrix}\right.\]

Đặt \[ z=y+1 \], phương trình đã cho trở thành :

\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-z^2=8\\ x^2+xz+z^2=13 \end{matrix}\right. \;\;\;\;\; [1] \]

Đây là phương trình đẳng cấp bậc \[ 2 \] với hai ẩn \[ x;z \]

Hệ phương trình trên tương đương với :

\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 13x^2-13z^2=104\\ 8x^2+8xz+8z^2=104 \end{matrix}\right.\]

Trừ hai vế của hai phương trình ta được :

\[5x^2-8xz-21z^2=0\]

Đặt \[ x=tz \]. Thay vào ta được :

\[ z^2[5t^2-8t-21] =0 \]

Nếu \[ z=0 \] thay vào hệ \[ [1] \] ta được :

\[\left\{\begin{matrix} x^2=8\\ x^2=13 \end{matrix}\right. \Rightarrow\] vô lý [ loại ]

Nếu \[ z \neq 0 \] thì ta có :

\[ 5t^2-8t-21 =0 \]

\[\Leftrightarrow [5t+7][t-3]=0\]

\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=3\\t=-\frac{5}{7} \end{array}\right.\]

Nếu \[ t=3 \] , thay vào ta được :

\[8z^2=8 \Leftrightarrow z= \pm 1\]

\[\left[\begin{array}{l} z=1 \Rightarrow x=3; y=2\\ z=-1 \Rightarrow x=-3; y=0\end{array}\right.\]

Nếu \[ t=-\frac{5}{7} \] thay vào ta được :

\[-\frac{24}{49}z^2=8\Leftrightarrow z^2=-\frac{49}{3}\Rightarrow\] vô lý [ loại ]

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \[ [x;y] = [ 3;2] ; [-3;0] \]

Dạng bài hệ phương trình có một phương trình đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình mà trong đó có một phươn trình có dạng \[ f[x;y] =0 \] với \[ f \] là phương trình hai ẩn \[ x;y \] có bậc bằng nhau

Để giải bài toán này thì từ phương trình đẳng cấp đó, chúng ta đặt \[ x=ky \], giải ra \[ k \] rồi thay vào phương trình thứ hai, tìm ra \[ x;y \]

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

\[\left\{\begin{matrix} x^2-3xy+2y^2=0\\ \sqrt{5x-y}-x=1 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

ĐKXĐ: \[ y \leq 5x \]

Dễ thấy nếu \[ y=0 \] thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy \[ y \neq 0 \]

Đặt \[ x=ky \]. Thay vào phương trình đầu tiên ta được :

\[ y^2[k^2-3k+2] =0 \]

Do \[ y \neq 0 \] nên \[\Rightarrow k^2-3k+2=0\]

\[\Leftrightarrow [k-1][k-2]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\k=2 \end{array}\right.\]

Nếu \[ k=1 \] thay vào phương trình dưới ta được :

\[2y-y=1\Leftrightarrow y=1\] và \[ x=1 \]

Nếu \[ k=2 \] thay vào phương trình dưới ta được :

\[3y-2y=1\Leftrightarrow y=1\] và \[ x=2 \]

Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm \[ [x;y] = [1;1] ; [2;1] \]

Dạng bài hệ phương trình có tích hai vế đẳng cấp

Đây là những hệ phương trình có dạng:

\[\left\{\begin{matrix} f_1[x;y]=f_2[x;y]\\g_1[x;y]=g_2[x;y] \end{matrix}\right.\] với \[ f_1;f_2;g_1;g_2 \] là các hàm số đẳng cấp thỏa mãn:

Bậc của \[ f_1.g_1 \] bằng bậc của \[ f_2.g_2 \]

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ để được một phương trình đẳng cấp:

\[ f_1[x;y].g_1[x;y] =f_2[x;y].g_2[x;y] \]

Đến đây ta đặt \[ x=ky \], thay vào giải ra \[ k \]. Sau đó thay \[ k \] vào hệ phương trình ban đầu giải ra \[ x;y \]

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\[\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3-2x-y=0 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

\[\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3=2x+y \end{matrix}\right.\]

Nhân chéo hai vế của hệ phương trình ta được :

\[ [2x+y][x^2+xy+y^2] = 3[x^3+2y^3] \]

\[\Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0\]

Dễ thấy nếu \[ y=0 \] thì hệ đã cho vô nghiệm. Vậy nên \[ y \neq 0 \]

Đặt \[ x=ky \] . Thay vào phương trình trên ta được :

\[ y^3[k^3-3k^2-3k+5]=0 \]

Do \[ y\neq 0 \] nên \[ k^3-3k^2-3k+5=0 \]

\[\Leftrightarrow [k-1][k^2-2k-5]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k=1 \\ k=1-\sqrt{6}\\ k=1+\sqrt{6}\end{array}\right.\]

• Nếu \[ k=1 \] thay vào ta được:

\[3y^2=3 \Leftrightarrow y^2=1 \Rightarrow x=y=1\] hoặc \[ x=y=-1 \]

• Nếu \[ k=1-\sqrt{6} \] thay vào ta được:

\[y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

Vậy ta có hai cặp nghiệm :

\[[x;y]= [\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}];[\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}]\]

• Nếu \[ k=1+\sqrt{6} \] thay vào ta được:

\[y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

Vậy ta có hai cặp nghiệm:

\[[x;y]= [\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}];[-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}}]\]

Vậy phương trình đã cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

\[ [x;y]=[1;1];[-1;-1]; [\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}];[\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}];[\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}}];[-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}}] \]

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm:

Tu khoa lien quan:

• giải phương trình đẳng cấp lớp 9
• phương trình đẳng cấp bậc 2 lớp 10
• dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp

Please follow and like us: