đề thi hsg toán lớp 7 huyện hoằng hóa
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [228.17 KB, 12 trang ]
đề thi HSG toán 7 huyện hoằng hoá
Năm học: 2012-2013
Câu 1[4,5 điểm]
a/ Tính giá trị biểu thức : M = 2 + 3,5 ữ: 4 + 3 ữ+ 7,5
7
3
6
1
1
1
b/ Tìm x biết : [ 2 x 3] = 16
2
c/ Tìm x, y biết rằng : [ 2 x 5]
2012
+ [ 3 y + 4]
2014
0
Câu 2 [4,5 điểm]
2
2
2
a/ Tìm đa thức M biết rằng : M + [ 5 x 2 xy ] = 6 x + 9 xy y
x2 + y 2 + 3
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 2 2
x + y +2
c/ Tìm x, y, z biết :
x y y z
= ; = và x y + z = 49
2 3 5 4
Câu 3 [5,0 điểm]
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết a b = 2 [ a + b ] = a : b
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M = 2012 x + 2013 x
c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng.
Câu 4 [4,0 điểm] : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các
tam giác vuông tại A : ABD, ACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông
góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.
a/ Chứng minh DM = AH
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5 [2,0 điểm] : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao
cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB.
Hết
Đáp án Toán 7
Nội dung
Câu
Điểm
1
1
1
7 7 25 22 15
+ ữ+
a/ M = 2 + 3,5 ữ: 4 + 3 ữ+ 7,5 = + ữ:
Câu 1
4,5
7
7 2
3
6
3 2 6
35 43 15 35 42 15 245 15 490 645 155
69
M= :
+ = .
+ =
+ =
+
=
=1
6 42 2
6 43 2
43
2
86
86
86
86
2
[ 2 x 3 ] = 4 2
2 x 3 = 4
x = 3,5
2
2
x
3
=
16
=>
=>
=>
]
b/ [
x = 0,5 .
2 x 3 = 4
[ 2 x 3 ] 2 = [ 4 ] 2
1,5
1,5
Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5
2012
2014
c/ [ 2 x 5] + [ 3 y + 4 ] 0
[ 2 x 5 ] 2012 0
2012
2014
=> [ 2 x 5 ]
+ [ 3y + 4]
0
Ta có :
2014
0
[ 3 y + 4 ]
2012
2014
2012
2014
Mà [ 2 x 5] + [ 3 y + 4 ] 0 => [ 2 x 5] + [ 3 y + 4 ] = 0
1
[ 2 x 5 ] 2012 = 0
x = 2 2
=>
=>
. Vậy
2014
=0
[ 3 y + 4 ]
y = 1 1
3
1,5
1
x = 2 2
y = 1 1
3
2
2
2
2
2
2
a/ M + [ 5 x 2 xy ] = 6 x + 9 xy y => M = 6 x + 9 xy y [ 5 x 2 xy ]
Câu 2 => M = 6 x 2 + 9 xy y 2 5 x 2 + 2 xy = x 2 + 11xy y 2
4,5
x2 + y 2 + 3 x2 + y 2 + 2 + 1
1
= 2
= 1+ 2
b/ B = 2 2
2
2
1,5
x + y +2
x + y +2
x + y +2
2
2
B lớn nhất khi x + y + 2 nhỏ nhất.
x 2 0
=> x 2 + y 2 + 2 2 => x 2 + y 2 + 2 nhỏ nhất bằng 2, khi x =
Ta có 2
y 0
1,5
y=0
3
1
=1
2
2
x y y z
x
y y
z
c/ = ; = => = ; =
=>
2 3 5 4
10 15 15 12
Khi đó B lớn nhất =
1,5
x
y
z
x y+z
49
= =
=
=
= 7
10 15 12 10 15 + 12
7
=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
Câu 3 a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: a b = 2 [ a + b ] = a : b [1]
5,0
Từ a b = 2 [ a + b ] => a b = 2a + 2b => a = 3b => a = 3b
Mặt khác : a b = a : b => 3b b = 3b : b => 4b = 3 => b =
3
4
=> a = 3. =
9
.
4
2,0
3
4
Vậy : a =
9
3
;b =
4
4
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : M = 2012 x + 2013 x
Sử dụng : A + B A + B . Dấu = xảy ra khi A,B cùng dấu. [*]
Ta có :
1,5
M = 2012 x + 2013 x = 2012 x + x 2013 2012 x + x 2013 = 1 = 1
Vậy M [min] = 1 khi [ 2012 - x][x 2013] 0 => 2012 x
2013
Nhận xét :
Nếu số chính phơng chia hết cho a [ là số nguyên tố] thì nó chia
hết cho a2
Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phơng.
- Xét trờng hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k
=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002
Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho
2 => A chia hết cho 4.
Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không
chia hết cho 4[loại]
- Xét trờng hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1
=> A là số chính phơng lẻ, có dạng [2b + 1]2 = 4b2 + 4b + 1 chia
cho 4 d 1.
Mà : A = [2k + 1]2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 d 3 [ loại]
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phơng
Câu 4 Hình vẽ
4,0
E
N
1
I
M
D
3
1
1
A
4
2
B
H
a/ Chứng minh DM = AH
Xét MAD và HBA có
ãAMD = BHA
ã
= 900 [gt] [1]
AD = AB [gt] [2]
C
1,5
2,0
ả +à
D
A1 = 900
1
à
ả
=> D1 = A2 [3]
0
à
ả
A1 + A2 = 90
Từ 1,2,3 => MAD = HBA [Cạnh huyền góc nhọn]
=> DM = AH [ Hai cạnh tơng ứng][ĐPCM] [4]
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Chứng minh tơng tự câu a => EN = AH [5]
Gọi giao điểm của MN và DE là I
C/m đợc : MID = NIE [Cạnh góc vuông góc nhọn]
2,0
ID = IE [Hai cạnh tơng ứng]
I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE
[ĐPCM]
A
Do MA : MB : MC = 3 : 4 : 5
=> Đặt
MA MB MC
=
=
=a
3
4
5
1
N
=> MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều
AMN => AM = AN = MN = 3a và ãAMN = 600
Xét ABN và ACM có
AB = AC [gt] [1] ; AN = AM = 3a [2]
Câu 5
2,0
à
ả = 60
A1 + A
2
à à
=> A1 = A3 [3]
0
ảA + à
A3 = 60
2
3
2
3a
M
0
4a
5a
2,0
Từ 1,2,3 => ABN = ACM [c.g.c]
=> BN = CN = 5a.
Xét BMN có BN2 = [5a]2 = 25a2
B
BM2 + MN2 = [4a]2 + [3a]2 = 25a2
=> BN2 = BM2 + MN2 => BMN vuông tại M [đ/l pytago đảo]
ã
=> NMB
= 900
ã
Suy ra : ãAMB = ãAMN + NMB
= 900 + 600 = 1500
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Hoằng hóa
C
đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012
Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phú t[ không kể thời gian giao đề]
Bài 1[ 4.0 điểm]:
a] Cho biểu thức : M = a + 2ab b . Tính giá trị của M với a = 1,5 ; b = - 0,75.
b] Xác định dấu của c, biết rằng 2a 3bc trái dấu với 3a 5b 3 c 2 .
Bài 2[ 4.0 điểm]:
x
y y
z
a] Tìm các số x, y, z biết rằng: 3 = 4 ; 3 = 5 và 2x 3y + z = 6.
b] Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
.
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
Tính giá trị của biểu thức M, với M = c + d + d + a + a + b + b + c .
Bài 3[ 3.0 điểm]: Cho hàm số y = f[x] = 2 x2.
1
a] Hãy tính : f[0] ; f[ 2 ]
b] Chứng minh : f[x 1] = f[1 x]
Bài 4[ 4.0 điểm]: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng trung tuyến AM. Qua A
kẻ đờng thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đờng thẳng vuông góc với AB
và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng:
a] BD // CE.
b] DE = BD + CE.
Bài 5[ 3.0 điểm]: Tìm tỉ số của A và B, biết rằng:
1
1
1
1
+
+ ... +
+ ... +
1.1981 2.1982
n.[1980 + n]
25.2005
1
1
1
1
B=
+
+ ... +
+ ... +
1.26 2.27
m.[25 + m]
1980.2005
A=
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng.
Bài 6[ 2.0 điểm]: Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy
1 ã BC lấy điểm D sao
ã
BAD
0 tức là mang dấu dương.
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
a[ 2.0đ].
0.5đ
⇔ −6a8b 4 c 3 < 0 ⇔ a8b 4 c 3 > 0
⇔ c 3 > 0 ⇔ c > 0 [ vì a8b4 > 0 với mọi a ≠ 0; b ≠ 0 ]
Câu
2
[4,0
đ]
x y
x y y z
y
z
vì = ⇒ = ; = ⇒ =
3 4
9 12 3 5 12 20
x y
z
2x 3y
z
⇒ =
=
⇒
=
=
9 12 20
18 36 20
0.5đ
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y
z
2x − 3 y + z 6
=
=
=
= =3
18 36 20 18 − 36 + 20 2
0.5đ
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60.
b.[2đ] Từ giả thiết suy ra
2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
−1 =
−1 =
−1 =
−1
a
b
c
d
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
⇒
=
=
=
a
b
c
d
0.25đ
0.25đ
* Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b = - [c + d]; b + c = - [d + a];
c + d = - [ a + b]; d + a = - [ b + c]
Khi đó M = [- 1] + [- 1] +[- 1] +[- 1] = - 4
0.25đ
0.5đ
* Nếu a + b + c + d ≠ 0 thì
1 1 1 1
= = =
nên a = b = c = d
a b c d
Khi đó M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
Câu
3.
[3,0
đ]
0.5đ
0.25đ
0.5đ
1.0đ
1.0đ
a.[2.0đ] f[0] = 2 – 02 = 2;
1
2
1
2
f[ − ] = 2 – [− ] 2 =
7
4
b.[1.0đ] f[x – 1] = 2 – [ x – 1 ]2; f[1 – x ] = 2 – [ 1 – x ]2
do [x – 1] và [1 – x] là hai số đối nhau nên bình phương bằng nhau.
Vậy 2 – [ x – 1 ]2 = 2 – [ 1 – x ]2 hay f[x – 1] = f[1 – x].
0.25
đ
0.25
đ
0.5đ
Câu
4
[4,0
đ]
Câu
5
[3,0
đ]
a. [2,5đ] Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền của tam giác vuông: MA = MB.
Gọi H là giao điểm của MD và AB.
Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy
A
nên là đường trung trực, suy ra : DA = DB.
D
Chứng minh được ∆MBD = ∆MAD[c.c.c]
suy ra góc MBD = góc MAD = 900;
H
do đó DB ⊥ BC
M
B
Tương tự ta có : EC ⊥ BC
Vậy BD // CE [vì cùng vuông góc với BC], đpcm.
d
0.5đ
E
0.5đ
0.25đ
C
b. [1,5đ] Theo câu a, DB = DA.
Tương tự, EC = EA.
Suy ra DE = DA + AE = BD + CE.
Ta có :
1
1 1
1
=
[ −
]
n[1980 + n] 1980 n 1980 + n
1
1 1
1
=
[ −
]
m[25 + m] 25 m 25 + m
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Áp dụng tính A và B ta được:
1 1
1
1
1
1
1
[ −
+ −
+ ... + −
]
1980 1 1981 2 1982
25 2005
1
1 1
1
1
1
1
=
[[ + + ... + ] − [
+
+ ... +
]]
1980 1 2
25
1981 1982
2005
1 1 1 1 1
1
1
B= [ − + −
+ ... +
−
]
25 1 26 2 27
1980 2005
1 1 1
1
1
1
1
= [[ + + ... +
]−[ +
+ ... +
]]
25 1 2
1980
26 27
2005
1 1 1
1
1
1
1
= [[ + + ... + ] − [
+
+ ... +
]]
25 1 2
25
1981 1982
2005
A
1
1
5
:
=
Vậy =
B 1980 25 396
A=
Câu
6
[2,0
đ]
Gọi M là trung điểm của DC. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm E sao cho ME = MA.
Ta có hai tam giác AMC và EMD bằng nhau
·
Vì MD = MC, MA = ME, ·AMC = EMD
.
·
Nên DE = AC, và góc µA3 = DEM
.
B
Mặt khác ,
¶ >B
µ [ theo tính chất góc ngoài tam giác]
D
1
mà Bµ = Cµ [ vì tam giác ABC cân, đáy BC]
¶ >C
µ suy ra AC > AD.
nên D
1
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
A
0.25đ
1 23
1
M
C
0.25đ
D
0.25đ
E
0.25đ
0.25đ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
0.25đ
thi: 16/03/2015
·
Từ đó DE > DA, suy ra ¶A2 > DEM
,hay ¶A2 > µA3 Ngày
.
Thời gian: 120 phút [ Không kể thời gian giao đề]
Vì µA3 = µA1 [ do ∆ABD = ∆ACM ]
µ