Đề bài - bài 34 trang 61 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho hình nón N có bán kính đáyR, đường caoSO. Gọi(P) là mặt phẳng vuông góc vớiSOtạiO1sao cho \(S{O_1} = {1 \over 3}SO.\) Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N nằm giữa(P)và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón N.

Lời giải chi tiết

Gọi thiết diện thu được là \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}{B_1}B\).

Vì \(S{O_1} = {1 \over 3}SO\) nên

\({A_1}{B_1} = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}.2R.\)

Mặt khác \(A{B_1} \bot {A_1}B\) tại I nên

\(IO = {1 \over 2}AB,I{O_1} = {1 \over 2}{A_1}{B_1}.\)

Vậy \(O{O_1} = R + {R \over 3} = {{4R} \over 3}.\)

Dễ thấy \(S{O_1} = {1 \over 2}O{O_1} = {{2R} \over 3}.\)

Từ đó \(SO = 2R.\)

Gọi thể tích phần hình nón phải tính là \(V^ * \) thì \(V^ * = {V_1} - {V_2}\), trong đó :

V1là thể tích của hình nón N.

V2là thể tích hình nón đỉnhSvà đáy là thiết diện của N. được cắt bởi(P).

Ta có thể tích phần hình nón phải tính là

\(\eqalign{ & V ^* = {V_1} - {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi .O{B^2}.SO - {1 \over 3}\pi .{O_1}{B_1}^2.S{O_1} \cr & = {1 \over 3}\pi ({R^2}.2R - {{{R^2}} \over 9}.{{2R} \over 3}) = {{52\pi {R^3}} \over {81}}. \cr} \)