Đề bài
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A[2;-1], phương trình một đường chéo là \[x - 7y + 15 = 0\] và độ dài cạnh AB=\[3\sqrt 2 \] . Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết \[{y_B}\] là số nguyên.
Lời giải chi tiết
Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng \[x - 7y + 15 = 0\] nên phương trình đường chéo BD là : \[x - 7y + 15 = 0\].
Tọa độ điểm B là \[B[7t - 15;t].\]
Ta có : \[AB = 3\sqrt 2 \] \[\Leftrightarrow {\left[ {7t - 17} \right]^2} + {\left[ {t + 1} \right]^2} = 18\]
Vậy B[-1 ; 2].
Ta có \[{\overrightarrow n _{AD}} = \overrightarrow {AB} = [ - 3;3] = - 3[1; - 1]\].
Phương trình đường thẳng AD là :
\[1.[x - 2] - 1.[y + 1] = 0 \] \[\Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\]
Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :
\[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x - 7y + 15 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 3.\end{array} \right.\]
Vậy D[6 ; 3].
Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I.
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_C} + {x_A}}}{2} = \frac{{{x_B} + {x_D}}}{2} = \frac{5}{2}\\\frac{{{y_C} + {y_A}}}{2} = \frac{{{y_B} + {y_D}}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 6.\end{array} \right.\]
Vậy C[3 ; 6].