- LG a
- LG b
Cho hàm số\[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,neu\,x \ge 0\\{x^2} - 1\,neu\,x < 0\end{array} \right.\]
LG a
a] Vẽ đồ thị của hàm số f[x]. Từ đó dự đoán về giới hạn của f[x] khi x 0
Lời giải chi tiết:
Vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] và \[y = {x^2} - 1\] trên cùng một hệ trục tọa độ.
Khi \[x \ge 0\] thì \[f\left[ x \right] = {x^2}\] nên xóa nhánh đồ thị \[y = {x^2}\] bên trái trục tung đi.
Khi \[x < 0\] thì \[f\left[ x \right] = {x^2} - 1\] nên xóa nhánh đồ thị \[y = {x^2} - 1\] bên phải trục tung đi.
Ta được đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\].
Từ đồ thị ta thấy hàm số không có giới hạn khi \[x \to 0\].
LG b
b] Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Lấy dãy \[\left\{ {{x_n}} \right\}\] và \[\left\{ {{y_n}} \right\}\] thỏa mãn \[{x_n} = \dfrac{1}{n}\] và \[{y_n} = - \dfrac{1}{n}\]
Dễ thấy \[\lim {x_n} = 0,\lim {y_n} = 0\].
Ta có:
Vì \[{x_n} = \dfrac{1}{n} > 0\] nên \[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim x_n^2 = \lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\]
Vì \[{y_n} = - \dfrac{1}{n} < 0\] nên \[\lim f\left[ {{y_n}} \right] = \lim \left[ {y_n^2 - 1} \right]\]\[ = \lim \left[ {{{\left[ { - \dfrac{1}{n}} \right]}^2} - 1} \right]\] \[ = \lim \left[ {\dfrac{1}{{{n^2}}} - 1} \right] = 0 - 1 = - 1\]
Do \[\lim f\left[ {{x_n}} \right] \ne \lim f\left[ {{y_n}} \right]\] nên không tồn tại giới hạn hàm số khi \[x \to 0\].