Đề bài - bài 14 trang 56 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn đường kínhAB = 2Rnằm trong mặt phẳng(P).GọiO1là điểm đối xứng vớiOquaA. Lấy điểmSsao choSO1vuông góc với(P)vàSO1= 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và điểmS.

Lời giải chi tiết

Gọi \(\Delta \) là trục của đường tròn đã cho thì \(\Delta // S{O_1}\).

Trong \(mp(S{O_1},\Delta ),\) đường trung trực củaSAcắt \(\Delta \) tạiO2thìO2là tâm mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểmS, bán kính mặt cầu này bằng \({O_2}A = {O_2}S\).

Xét các tam giác vuông \({O_2}AO\) và \({O_2}{\rm{IS}}\) ( ở đó \({O_2}I// A{O_1})\), ta có

\(\eqalign{ & {O_2}{S^2} = 4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2} \cr & {O_2}A^2 = {R^2} + OO_2^2. \cr} \)

Từ đó

\(4{R^2} + {(2R - O{O_2})^2} = {R^2} + OO_2^2,\) suy ra \(O{O_2} = {{7R} \over 4}\).

Vậy bán kính mặt cầu là \(\sqrt {{R^2} + {{49} \over {16}}{R^2}} = {{R\sqrt {65} } \over 4}\)

Và thể tích khối cầu phải tìm là \({{65} \over {48}}\sqrt {65} \pi {R^3}.\)