Lý thuyết:
Lý thuyết về đại cương về phương trình
Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình một ẩn
+ Phương trình một ẩn số \[x\] là mệnh đề chứa biến có dạng:
\[f[x] = g[x]\] [1]
trong đó \[f[x], g[x]\] là các biểu thức cùng biến số \[x\]. Ta gọi \[f[x]\] là vế trái, \[g[x]\] là vế phải của phương trình.
+ Điều kiện xác định [ĐKXĐ] của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
+ Nếu có số \[x_0\] thỏa mãn ĐKXĐ và \[f[x_0]= g[x_0]\] là mệnh đề đúng thì ta nói số \[x_0\] nghiệm đúng phương trình [1] hay \[x_0\] là một nghiệm của phương trình [1]. Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm. Ví dụ: \[2\] là một nghiệm của phương trình: \[2 = 3x - x^2\].
2. Phương trình trương đương
Hai phương trình
\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\] [1]
\[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\] [2]
được gọi là tương đương, kí hiệu \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]⇔ {f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\] nếu các tập nghiệm của [1] và [2] bằng nhau.
Định lí:
a] Nếu \[h[x]\] là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình \[f[x] = g[x]\] thì
\[f[x] + h[x] = g[x] + h[x] \]\[⇔ f[x] = g[x]\].
b] Nếu \[h[x]\] thỏa mãn ĐKXĐ và khác \[0\] với mọi \[x\] thỏa mãn ĐKXĐ thì
\[f[x].h[x] = g[x].h[x] ⇔ f[x] = g[x]\]
\[\dfrac{f[x]}{h[x]}=\dfrac{g[x]}{h[x]} ⇔ f[x] = g[x]\].
3. Phương trình hệ quả
Phương trình \[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\] là phương trình hệ quả của phương trình \[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\], kí hiệu
\[{f_1}\left[ x \right] = {g_1}\left[ x \right]\] \[\Rightarrow \]\[{f_2}\left[ x \right] = {g_2}\left[ x \right]\]
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: \[2x = 3 - x \Rightarrow [x - 1][x + 2] = 0\].
BÀI 8. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
VẤN ĐỀ 1: Thử nghiệm,xét tính tương đương, xét dấu của nhị thức bậc nhất
Bài 1. Cho bất phương trình:
Kiểm tra xem các nghiệm giá trị x sau đây có phải là nghiệm của BPT trên hay không?
a. x = 0 b. x = -2 c. x = 3 d. x = -4
Bài 2. Xét từng cặp bất phương trình sau có tương đương không ?
Bài 3. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm :
Bài 4. Bài 2 – Trang 88 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
Bài 5. Bài 3 – Trang 88 – SGK – Đại số 10 – Cơ bản
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm các giá trị x thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn - Thầy Lê Thành Đạt [Giáo viên VietJack]
1. Bất phương trình một ẩn
Quảng cáo
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f[x] < g[x] [f[x] ≤ g[x]] [1]
trong đó f[x] và g[x] là những biểu thức của x.
Ta gọi f[x] và g[x] lần lượt là vế trái của bất phương trình [1]. Số thực x0 sao cho f[xo] < g[xo], [f[xo] ≤ g[xo]] là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình [1].
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
Chú ý:
Bất phương trình [1] cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g[x] > f[x] [g[x] ≥ f[x]].
2. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f[x] và g[x] có nghĩa là điều kiện xác định [hay gọi tắt là điều kiện] của bất phương trình [1].
3. Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
Quảng cáo
1. Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm [có thể rỗng] là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình [hệ bất phương trình] ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình [hệ bất phương trình] tương đương cho đến khi được bất phương trình [hệ bất phương trình] đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
3. Cộng [trừ]
Cộng [trừ] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P[x] < Q[x] P[x] – f[x] < Q[x] – f[x]
4. Nhân [chia]
Nhân [chia] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương [mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình] ta được một bất phương trình tương đương. Nhân [chia] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm [mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình] và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P[x] < Q[x] P[x].f[x] < Q[x].f[x], f[x] > 0, ∀x
P[x] < Q[x] P[x].f[x] > Q[x].f[x], f[x] < 0, ∀x
5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P[x] < Q[x] P2[x] < Q2[x], P[x] ≥ 0, Q[x] ≥ 0, ∀x
Quảng cáo
6. Chú ý
Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau
Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
Khi nhân [chia] hai vế của bất phương trình P[x] < Q[x] với biểu thức f[x] ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f[x]. Nếu f[x] nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
Khi giải bất phương trình P[x] < Q[x] mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp
P[x], Q[x] cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
P[x], Q[x] cùng có giá trị âm ta viết
P[x] < Q[x] –Q[x] < –P[x]
rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh.jsp