Có bao nhiêu số hoàn chỉnh các số đó là năm 2024

Hãy để ý số 6, ngoài chính nó, nó chia hết cho 3 số nguyên dương là các số: 1, 2 và 3. Và thật khéo, nếu đem cộng 3 số đó lại 1 + 2 + 3 có tổng đúng bằng 6. Nghĩa là số 6 bằng tổng của các ước số nguyên dương của mình (không kể chính nó).

Hãy để ý số 28, tương tự như thế, có các ước số là 1, 2, 4, 7, 14. Và vừa khéo:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, không hơn không kém.

Hãy để ý số 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, nghĩa là nó cũng bằng đúng tổng của tất cả các ước số nguyên dương của mình (không kể chính số 496).

Các số 6, 28, 496, là những số nhỏ nhất, là những số đầu tiên mà người ta tìm thấy, có chung đặc điểm như vừa nêu trên – đúng bằng tổng các ước số nhỏ hơn chính chúng. Người ta gọi những số như thế là các số hoàn hảo (perfect numbers).

Vậy có một qui luật chung nào về số hoàn hảo không, làm thế nào để chúng ta “nhận diện” được ra các số hoàn hảo như thế này giữa bao nhiêu là số trong thế giới của các con số?? Từ thời cổ xưa, các nhà toán học Hy Lạp đã để mắt đến những số hoàn hảo đầu tiên. Nhưng mãi về sau người ta mới lần tìm được thêm các số hoàn hảo tiếp theo. Sau ba số kể trên, số tiếp theo là 8128, và số hoàn thảo thứ năm là một con số to tướng: 33.550.336. Phải tới cuối thế kỷ 16 một nhà toán học người Ý mới tìm ra số hoàn hảo thứ sáu: 8.589.869.056, và rồi số thứ bảy: 137.438.691.328. Nhưng chúng vẫn chưa là gì so với số thứ tám được tìm thấy, với 19 chữ số tất cả: 2.305.843.008.139.952.128. Không bé tin hin như ba số đầu tiên kể trên, số này đã vươn tới tận hàng… tỷ tỷ, và không khỏi khiến cho nhiều người trong chúng ta hoang mang…

May sao, ngay từ khoảng hai ngàn ba trăm năm trước, Euclid lập luận rằng nếu lấy số 2 luỹ thừa lên p lần rồi trừ kết quả đi 1 (viết theo kiểu toán học là: 2p−1) mà ta được một số nguyên tố (prime number) thì kết quả của phép tính sau đây sẽ cho ra một con số hoàn hảo: 2p−1(2p−1) – và đó sẽ là một số hoàn hảo chẵn (chia hết cho 2). Người ta cũng biết, để cho 2p−1 là một số nguyên tố (nghĩa là các số không chia hết cho bất kỳ con số nào khác ngoài 1 và chính bản thân nó), thì bắt buộc chính số p phải là một số nguyên tố. Cũng cần lưu ý rằng điều ngược lại chưa chắc đúng, nghĩa là cũng có khi số p là một số nguyên tố nhưng 2p−1 lại không phải là số nguyên tố. Các nhà toán học gọi những thứ như vậy là điều kiện “cần và đủ”, và người ta cũng gọi các số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng 2p−1 là các số nguyên tố Mersenne. Những người nghiên cứu Lý thuyết Số băn khoăn trong một thời gian dài, rằng ngoài cách làm của Euclid nói trên, liệu còn các số hoàn hảo chẵn nào khác, nằm ngoài qui luật đó không. Phải tới tận năm 1849, nhà toán học Euler mới chứng minh được chắc chắn rằng công thức của Euclid không những là đúng mà là duy nhất, không có số hoàn hảo chẵn nào nằm ngoài qui luật đó cả. Như vậy là có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các số nguyên tố Mersenne với các số hoàn hảo chẵn. Nghĩa là nếu ta tìm được một số nguyên tố Mersenne, thì sẽ lập tức tìm ra được một số hoàn hảo chẵn. Và loài người lại lao vào truy tìm các số nguyên tố Mersenne.

Tại hội nghị thường niên của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ năm 1903, nhà toán học Frank Cole đã bước lên bục trình bày và làm một việc khác thường. Trong nhiều năm trước đó người ta đã nghi ngờ rằng số M67 – cách gọi tắt số 267-1 hình như không phải là một số nguyên tố, nhưng chưa ai chứng minh nổi. Frank đã bước tới bảng và dùng phấn tính tay trước mặt mọi người trong khán phòng phép luỹ thừa đó, rồi trừ đi 1, cho ra kết quả:

147.573.952.589.676.412.927.

Rồi ông làm tiếp phép nhân hai con số khủng:

193.707.721 × 761.838.257.287

cho ra đáp án đúng bằng kết quả của phép tính 267-1 lúc trước, chứng minh được rằng số 267-1 hoá ra không phải là một số nguyên tố, bởi nó có hai ước số khổng lồ nói trên, ngoài 1 và chính nó. Sau hàng tiếng đồng hồ tính toán trên bảng, ông về chỗ ngồi, vẫn không nói một lời nào, và cả khán phòng vỗ tay vang dội. Có lẽ đó là một trong những bài trình bày vô tiền khoáng hậu trong lịch sử của Hội Toán học Hoa Kỳ. Mãi sau này, người ta mới biết rằng, để có thể tính tay ra con số đó, Frank đã phải tận dụng thời gian rảnh rỗi của tất cả các ngày chủ nhật trong 3 năm liên tiếp !. Chúng ta có thể hình dung rằng khi chưa tới kỷ nguyên của các máy tính điện tử thì việc tính tay như Frank đã làm đơn điệu, nhàm chán đến mức nào. Chả thế mà mỗi khi người ta tìm được một số nguyên tố Mersenne mới, chúng đều được nâng niu vô cùng. Số nguyên tố Mersenne thứ 23 là 211213-1 được tìm ra vào đầu tháng 6 năm 1963, mà so với nó thì số hoàn hảo thứ tám (với 19 chữ số, đã tới hàng tỷ tỷ kể trên) chỉ là một chú bé, bởi 211213-1 cho ta một kết quả khổng lồ, bao gồm 3.376 chữ số (!). Sau đó người ta làm hẳn một dấu bưu điện ghi nhớ sự kiện này tại Urbana, tiểu bang Illinois, Hoa Kỳ. Cho đến tận bây giờ, dù có các máy điện toán hiện đại hỗ trợ, người ta mới chỉ tìm được tới số hoàn hảo thứ 47 (gồm 25.956.377 chữ số). Và nữa, chưa có ai đoan chắc được rằng ngoài các số hoàn hảo chẵn này, liệu có tồn tại các số hoàn hảo nhưng là số lẻ hay không…

dấu bưu điện ở Urbana, Illinois (ảnh: Internet)

Vậy các số hoàn hảo có gì làm đắm đuối những nhà toán học đến vậy? Tôi định khi nào nhẩn nha tìm gặp một vài nhà toán học để hỏi cho rõ ngọn ngành. Nhưng dường như, những ý nghĩa văn hoá, tôn giáo của nó là sự động viên tinh thần nhiều hơn là một giá trị vật chất hay ứng dụng cụ thể nào đó trong khoa học kỹ thuật hay đời sống con người. Nhiều người nói rằng lẽ ra Chúa trời có thể tạo ra thế giới này một khoảng khắc, nhưng Ngài đã làm điều đó trong đúng 6 ngày (!) – và 6 chính là số hoàn hảo đầu tiên, số nhỏ nhất. Người Do Thái từ xa xưa đã cho rằng 28 ngày là một chu kỳ quan trọng – liên quan nhiều tới mặt trăng, và là một hằng số quan trọng thể hiện sự hoàn hảo của vũ trụ. Thật tài tình, 28 cũng chính là một số hoàn hảo. Ngoài các con số đó, những con số hoàn hảo hàng tỷ tỷ tỷ mà chúng ta đã biết không hiểu còn ấn giấu điều gì về những bí mật của vũ trụ, những hằng số nào đó của cuộc sống? Hay chẳng qua, chúng chỉ là những thách đố về tinh thần, về trí tuệ mà loài người tự đặt ra?

\=========

[ mở ngoặc :

nhà toán học Descartes từng nói rằng: “Các số hoàn hảo, cũng y như con người hoàn hảo, vô cùng hiếm hoi…” ( “just as perfect human are rare, so are perfect numbers”)

Những số hoàn hảo đều có một đặc điểm chung, như trên đã kể, chúng chính bằng tổng của tất cả các ước số của mình (trừ chính mình). Ít nhất là các nhà toán học đã cùng nhau xác quyết như vậy, từ hàng nghìn năm trước…

Nhưng bước ra cuộc đời, liệu có một định nghĩa chung nhất về một con người hoàn hảo, một cuộc đời hoàn hảo ? Dường như nhiều người cho rằng, một người hoàn hảo là một người khoẻ mạnh, diện mạo đẹp đẽ, tư chất thông minh sáng láng, khéo léo giỏi giang, nhiều tài năng, v.v. và v.v.. Và cuộc đời của một người được xem là hoàn hảo khi người đó đạt nhiều thành tựu mà xã hội coi là đáng kể, đủ đầy về mặt vật chất – giàu sang phú quý, sung sướng về mặt tinh thần, công danh sự nghiệp đều hoành tráng, lấy được chồng/ vợ ý hợp tâm đầu, vợ chồng thuỷ chung, hạnh phúc, con cái đuề huề, thành công, hiếu đễ, một đời được khoẻ mạnh, người đời trọng vọng, vẻ vang… ?

Khổ nỗi, trong cõi nhân gian, ngay từ lúc sinh ra chúng ta đã không tự chọn lựa được nơi sinh, quốc tịch, chủng tộc. Ngay đến hoàn cảnh xuất thân, tố chất của bản thân, cũng chẳng ai tự định đoạt nổi. Lớn lên thành người, ai cũng có những điểm mạnh điểm yếu riêng. Người thông minh, lanh trí thì lại thường nhanh quá, nhiều khi chưa chắc đã có lợi giữa một đám đông gồm phần nhiều những người kém trí tuệ hơn. Người giỏi về một mặt này thì thường lại yếu kém về một lĩnh vực khác. Người mơ màng với những ý tưởng trừu tượng, cao siêu, quan tâm tới an nguy của xã tắc, tương lai của loài người thì thường lại là những kẻ không màng tới những chuyện nhỏ mọn, có khi không thức thời để hòng giành giật được một cuộc sống sung túc… Người dám nghĩ, dám làm, thì nhiều khi lại thô ráp, cục mịch. Chưa kể, được ngoại hình thì có khi lại kém nội tâm. Ngay cả đến ngoại hình, nhiều khi cũng khó có ai toàn vẹn đến từng chi tiết… Bởi thế nên biết thế nào là người hoàn hảo, khi mà cái định nghĩa người hoàn hảo mơ hồ hơn nhiều các con số hoàn hảo nói trên?

Nếu cho rằng, những “ước số” của một con số nào đó chính là những những gì nó phải chăm sóc, bao bọc, thì phải chăng những “ước số” của một con người là những con người, những số phận, những khía cạnh trong cuộc đời của chính người đó, gần gũi nhất với cốt cách mà người đó phải giữ gìn, chở che. Phải chăng, người càng có sự hài hoà, cân đối giữa khát vọng cá nhân, sự nghiệp của bản thân với những trách nhiệm hết sức đời thường, sự quan tâm chăm sóc cho người thân quanh mình, thì càng có một cuộc đời hoàn hảo?

Không nhà toán học đương đại nào đoan chắc, chúng ta sẽ còn tìm thấy thêm những số hoàn hảo nào, dù dường như họ biết chắc, các con số bí ẩn này vẫn đang lang thang đâu đó trong lãnh địa vô hạn của các con số trong toán học.

Không có người nào là tuyệt đối hoàn hảo, dù nhiều người cố công để mình hoàn hảo hơn, hoặc thậm chí có khi dành cả đời kiếm tìm người hoàn hảo để làm bạn, làm bạn đời…

Các số hoàn hảo bằng tổng của tất cả các ước số của mình, ngoại trừ chính mình. Chúng là những con số đặc sắc, hiếm hoi, và khó tính ! nhất là khi chúng đi kèm với những con số nguyên tố Mersenne cũng hiếm hoi và khó lường…

Những người hoàn hảo, nếu thực sự có tồn tại trên đời, chắc hẳn cũng là những người khác thường, ấn chứa sự dữ dội, quyết sống một cuộc sống khắt khe theo những qui chuẩn của riêng họ đặt ra, không chịu nhân nhượng, không chấp nhận sự tầm thường. Và mặc dù họ không thể bỏ mặc bản thân mình không chăm sóc đến, nhưng cuộc sống của họ là để bao bọc những “ước số” của cuộc đời họ – những người cần họ chở che, chăm sóc, những khát vọng mà họ ấp ủ, những điều lớn lao hơn chính bản thân họ rất nhiều… Họ muốn mọi “ước số” đó đều hoàn hảo, mà không quá để ý đến chính mình…

Như thế, phải chăng những “người hoàn hảo” nên được xem là những người cố gắng không mệt mỏi để làm cho thế giới xung quanh họ hoàn hảo hơn, chứ không phải là những người vẹn toàn từ diện mạo cho đến tài năng, ứng xử…

…Các số hoàn hảo, cũng y như con người hoàn hảo, vô cùng hiếm hoi.

Các nhà toán học vẫn háo hức lùng tìm các số hoàn hảo, mà quả thực, tôi vẫn chưa hiểu hết được ý nghĩa sâu xa của nó. Trong khi đó, một số “người hoàn hảo” trên thế giới này vẫn đang đắm đuối đi theo những đích đến của riêng mình. Có người sáng tạo ra những đồ vật và công nghệ diệu kỳ. Có người bất chấp cả sự đe doạ tính mạng, tranh đấu cho dân chủ, bênh vực kẻ nghèo hèn. Có người cho chúng ta thấy cái đẹp bình dị và hài hoà của tạo hoá, của muôn loài. Cũng có người lay động chúng ta bằng vẻ đẹp tâm hồn, trí tuệ, và thậm chí là nghị lực sống, cho chúng ta thêm niềm tin vào con người. Chính họ đã làm thay đổi diện mạo thế giới mà ta đang sống…

Số hoàn hảo là số như thế nào?

Số hoàn hảo (hay còn gọi là số hoàn chỉnh, số hoàn thiện hoặc số hoàn thành) là một số nguyên dương mà tổng các ước nguyên dương thực sự của nó (các số nguyên dương bị nó chia hết ngoại trừ nó) bằng chính nó.

Đây hoàn hảo là gì?

Dãy số gồm số nguyên khác nhau từng đôi: , , ..., được gọi là hoàn hảo nếu như nó thỏa mãn tính chất sau: "Không tồn tại chỉ số p < q < r sao cho hoặc a p < a q < a r hoặc a p < a r < a q hoặc a q < a p < a r ".

Số lập phương hoàn hảo là gì?

Nói theo hình học, một số nguyên dương m là một số lập phương hoàn hảo nếu và chỉ khi nào có thể sắp xếp các khối hình khối rắn thành một khối rắn lớn hơn. Ví dụ, 27 khối nhỏ có thể được sắp xếp thành một khối lớn hơn với sự xuất hiện của một khối rubic lập phương, từ 3 × 3 × 3 = 27.

Có bao nhiêu số nguyên tố Mersenne?

Tính đến năm 2023 đã khám phá được 51 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 51 số hoàn hảo), 17 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS.