Cho phương trình \[{x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\] [\[m\] là tham số].
Lời giải:
a]
Vì \[\Delta=[m-1]^2+4[m^2+2]>0, \forall m\in\mathbb{R}\] nên pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
Áp đụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=1-m\\ x_1x_2=-[m^2+2]\end{matrix}\right.[*]\]
Vì \[m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow m^2+2>0\Rightarrow -[m^2+2]< 0\]
\[\Leftrightarrow x_1x_2< 0\].
Do đó pt luôn có hai nghiệm trái dấu [đpcm]
b]
Sử dụng hằng đẳng thức và $[*]$ để biến đổi:
\[T=\left[\frac{x_1}{x_2}\right]^3+\left[\frac{x_2}{x_1}\right]^3=\left[\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right]^3-3.\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_1}\left[\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right]\]
\[T=\left[\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right]^3-3\left[\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right]\]
Đặt \[\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=t\Rightarrow T=t^3-3t\]
Có: \[t=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{[x_1+x_2]^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{[x_1+x_2]^2}{x_1x_2}-2=\frac{[1-m]^2}{-[m^2+3]}-2\]
Vì \[[1-m]^2\geq 0; -[m^2+3]< 0\Rightarrow t=\frac{[1-m]^2}{-[m^2+3]}-2\leq 0-2=-2\]
Khi đó:
\[T=t^3-3t=t[t^2-4]+t=t[t-2][t+2]+t\]
Vì \[t\leq -2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t[t-2][t+2]\leq 0\\ t\leq -2\end{matrix}\right.\Rightarrow T\leq -2\]
Vậy \[T_{\max}=-2\]. Dấu bằng xảy ra khi \[t=-2\Leftrightarrow \frac{[1-m]^2}{-[m^2+3]}-2=-2\Leftrightarrow m=1\]
Cho phương trìnhx^2-2[m+3]x+m^2-1=0
a]Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b]Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn [x1+x2]^2-x1.x2+97