- LG a
- LG b
- LG c
Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau
LG a
y = x3[1 + x4]3
Phương pháp giải:
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biếnu = 1 + x4
Lời giải chi tiết:
Đặt u = 1 + x4
\[\eqalign{
& \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4} \cr
& \int {{x^3}[1 + {x^4}]dx = {1 \over 4}} \int {{u^3}du} \cr &= {{{u^4}} \over {16}} + C \cr&= {1 \over {16}}{[1 + {x^4}]^4} + C \cr} \]
LG b
y = cosx sin2x
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác \[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {a + b} \right] + \sin \left[ {a - b} \right]} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\int {\sin 2x.\cos xdx = {1 \over 2}} \int {[\sin3x +\sin x]dx}\] \[= \frac{1}{2}\left[ { - \dfrac{{\cos 3x}}{3} - \cos x} \right] + C\]
\[= - {1 \over 6} \cos 3x - {1 \over 2}\cos x + C\]
Cách khác:
Tìm F[x] = cosx.sin2x dx=2 cos2x.sinxdx
Đặt cosx = u => -sinxdx=du => sinxdx=-du. Ta có:
\[F\left[ x \right] = 2\int {{u^2}.\left[ { - du} \right]} = - 2\int {{u^2}du} \] \[ = - \frac{2}{3}{u^3} + C = - \frac{2}{3}{\cos ^3}u + C\]
LG c
\[y = {x \over {{{\cos }^2}x}}\]
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = \tan x \hfill \cr} \right.\]
Do đó:
\[\eqalign{
& \int {{x \over {{{\cos }^2}x}}} dx = x\tan x - \int {\tan xdx } \cr
&= x\tan x - \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \cr &= x\tan x + \int {{{d[cosx]} \over {cosx}}} \cr &= x\tan x + \ln |cosx| + C \cr} \]