Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thường gặp chuyển động lăn của các vật hình trụ trên mặt phẳng ngang. Ta cũng thấy rằng, có lúc bánh xe quay rất nhanh mà ki tiến lên được [xe bị lún sình]; hoặc bánh xe trượt mà không lăn; hoặc vừa lăn, vừa trượt,… Nguyên nhân của các hiện tượng trên là do ma sát. Bài này cung cấp thêm thông tin về đặc điểm của ma sát lăn; vai trò của ma sát trong các chuyển động lăn không trượt của các vật rắn có dạng hình trụ. Nói chung, ma sát trong chuyển động lăn rất phứt tạp. Có lúc ma sát đóng vài trò là lực phát động, nhưng cũng có lúc lại cản trở chuyển động. Sau đây chúng ta khảo sát ảnh hưởng của ma sát đối với chuyển động lăn của khối trụ trong các trường hợp cụ thể.
1] Trường hợp 1: Ở thời điểm tO = 0, khối trụ có chuyển động tịnh tiến với vận tốc \[ {{\vec{v}}_{O}} \]
Nếu giữa mặt ngang và khối trụ hoàn toàn không có ma sát thì phản lực \[ \overrightarrow{N}\] và trọng lực \[ \overrightarrow{P} \] triệt tiêu nhau [hình 3.24]. Do đó, khối trụ trượt theo quán tính với vận tốc \[ {{\vec{v}}_{O}} \]không đổi [điểm tiếp xúc A cũng trượt với vận tốc \[ {{\vec{v}}_{O}} \], vì không có lực tạo momen quay].
Thực tế luôn có ma sát tác dụng lên khối trụ và lực ma sát có hai tác dụng [hình 3.25]:
+ Cản trở chuyển động tịnh tiến theo phương trình: \[m\frac{dv}{dt}=-{{f}_{ms}}\] [3.66]
+ Tạo momen làm quay vật rắn theo phương trình: \[ I\frac{d\omega }{dt}={{f}_{ms}}.R \] [3.67]
Trong đó: v là vận tốc tịnh tiến của khối tâm; \[ \omega \] là vận tốc góc và I là momen quán tính đối với trục quay qua khối tâm.
Lúc này, vận tốc trượt của điểm tiếp xúc A là: \[ {{v}_{tr}}=v-\omega R \] [3.68]
Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng giảm còn vận tốc góc \[ \omega \] càng lúc càng tăng. Do đó, sau một khoảng thời gian t1 thì \[ {{v}_{tr}}=0 \]. Lúc đó điểm tiếp xúc A không còn trượt nữa, ta nói khối trụ lăn không trượt trên mặt phẳng ngang với vận tốc góc \[ {{\omega }_{1}} \] và vận tốc tịnh tiến \[ {{v}_{1}} \] được xác định như sau:
\[ m\frac{dv}{dt}=-{{f}_{ms}}\Rightarrow dv=-\frac{{{f}_{ms}}}{m}d \]t \[ \Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{O}}-\frac{1}{m}\int\limits_{0}^{{{t}_{1}}}{{{f}_{ms}}dt} \] [*]
\[I\frac{d\omega }{dt}={{f}_{ms}}.R\Rightarrow d\omega =\frac{R}{I}{{f}_{ms}}dt\]\[\Rightarrow {{\omega }_{1}}={{\omega }_{O}}+\frac{R}{I}\int\limits_{0}^{{{t}_{1}}}{{{f}_{ms}}dt}\] [**]
Khử tích phân trong [*] và [**] rồi kết hợp với điều kiện lăn không trượt: \[ {{v}_{1}}={{\omega }_{1}}R \], ta có:
\[ \left\{ \begin{align} & {{\omega }_{1}}=\frac{{{v}_{O}}}{R+\frac{I}{mR}} \\ & {{v}_{1}}=\frac{{{v}_{O}}}{1+\frac{I}{m{{R}^{2}}}} \\ \end{align} \right. \] [3.69]
Trên lý thuyết, khối trụ lăn không trượt với vận tốc góc \[ {{\omega }_{1}} \], nhưng trên thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa khối trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới [sẽ khảo sát trong mục 3].
2] Trường hợp 2: Ở thời điểm tO = 0, khối trụ có chuyển động quay với vận tốc góc \[ {{\omega }_{O}} \]:
Cho khối trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc \[ v \] rồi đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang. Nếu giữa hình trụ và mặt phẳng ngang không có ma sát thì tổng momen các ngoại lực bằng không [vì trọng lực và phản lực không tạo momen quay] nên momen động lượng được bảo toàn và vật tiếp tục quay lại chỗ với vận tốc góc \[ {{\omega }_{O}} \] không đổi.
Nếu giữa hình trụ và mặt phẳng ngang có ma sát thì tại điểm tiếp xúc A xuất hiện lực ma sát \[ {{\overrightarrow{f}}_{ms}} \] có khuynh hướng giữ chặt điểm A lại [hình 3.26]. \[ {{\overrightarrow{f}}_{ms}} \] có hai tác dụng:
+ Cản trở chuyển động quay theo phương trình: \[ I\frac{d\omega }{dt}=-{{f}_{ms}}.R \]
+ Kéo hình trụ chuyển động sang phải với phương trình: \[ m\frac{dv}{dt}={{f}_{ms}} \]
Vận tốc trượt của điểm tiếp xúc A: \[ {{v}_{tr}}=\omega R-v \].
Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng tăng còn vận tốc góc \[ \omega \] càng lúc càng giảm. Do đó, sau một khoảng thời gian t1 thì \[ {{v}_{tr}}=0 \]. Lúc đó điểm tiếp xúc A không còn trượt nữa, ta nói khối trụ lăn không trượt trên mặt phẳng ngang với vận tốc góc \[ {{\omega }_{1}} \] và vận tốc tịnh tiến v1 được xác định như sau:
\[ m\frac{dv}{dt}={{f}_{ms}}\Rightarrow dv=\frac{{{f}_{ms}}}{m}dt \] \[ \Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{1}{m}\int\limits_{0}^{{{t}_{1}}}{{{f}_{ms}}dt} \] [*]
\[I\frac{d\omega }{dt}=-{{f}_{ms}}.R\Rightarrow d\omega =-\frac{R}{I}{{f}_{ms}}dt\]\[\Rightarrow {{\omega }_{1}}={{\omega }_{O}}-\frac{R}{I}\int\limits_{0}^{{{t}_{1}}}{{{f}_{ms}}dt}\] [**]
Khử tích phân trong [*] và [**] rồi kết hợp với điều kiện lăn không trượt: \[ {{v}_{1}}={{\omega }_{1}}R \], ta có:
\[ \left\{ \begin{align} & {{\omega }_{1}}=\frac{{{\omega}_{O}}}{1+\frac{m{{R}^{2}}}{I}} \\ & {{v}_{1}}=\frac{R{{\omega }_{O}}}{1+\frac{m{{R}^{2}}}{I}} \\ \end{align} \right. \] [3.70]
Trên lý thuyết, khối trụ lăn không trượt với vận tốc góc \[ {{\omega }_{1}}\], nhưng trên thực tế, kể từ lúc t1 trở đi, khối trụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa khối trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới.
3] Chuyển động lăn không trượt của khối trụ – ma sát lăn
Trong các mục 1 và 2, ta thấy, sau thời điểm t1, muốn duy trì chuyển động của khối trụ thì phải tác dụng lực \[ \overrightarrow{F} \] vào khối trụ. Điều đó chứng tỏ giữa hình trụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mới. Nguyên nhân của lực cản này là do khối trụ tiếp xúc với mặt phẳng ngang không phải tại một điểm A mà cả một mặt, một cung AB. Khi khối trụ lăn sang phải, trọng lượng của nó hầu như đặt tại B, nghĩa là phản lực \[ \overrightarrow{N} \] đặt tại B, lệch ra phía trước một khoảng nhỏ \[{{{\mu }’}_{L}}\] so với khối tâm [hình 3.27]. Trọng lực \[ \overrightarrow{P} \] và phản lực pháp tuyến \[ \overrightarrow{N} \] tạo thành một ngẫu lực, cản trở sự quay, do đó khối trụ sẽ lăn chậm dần. Muốn cho khối trụ tiếp tục lăn, ta phải tác dụng vào khối trụ một lực \[\overrightarrow{F}\] sao cho momen của cặp lực \[ \left[ \overrightarrow{F},{{\overrightarrow{f}}_{ms}} \right] \] phải lớn hơn momen của cặp lực \[ \left[ \overrightarrow{P},\overrightarrow{N} \right] \]:
\[ F.R\ge N.{{{\mu }’}_{L}}\Rightarrow F\ge \frac{{{{{\mu }’}}_{L}}}{R}N \] [3.71]
Vậy, giới hạn của lực F để khối trụ lăn đều là: \[ {{F}_{\min }}=\frac{{{{{\mu }’}}_{L}}}{R}N \] [3.72]
Khi đó, lực ma sát lăn là: \[ {{f}_{ms}}={{F}_{\min }}=\frac{{{{{\mu }’}}_{L}}}{R}N \] [3.73]
Trong đó: \[ {{{\mu }’}_{L}} \] có thứ nguyên chiều dài, được gọi là “hệ số ma sát lăn” [ở chương 2, ta đã kí hiệu hệ số này là \[ {{{\mu }’}_{L}} \]].
Đặt \[ \frac{{{{{\mu }’}}_{L}}}{R}={{\mu }_{L}} \] là hư số [không thứ nguyên] thì ta có \[ {{f}_{\text{ma sát lăn}}}={{\mu }_{L}}.N \], giống như trường hợp ma sát trượt: \[ {{f}_{mst}}=\mu N \].
Vì thế, đôi khi ta cũng gọi \[ {{\mu }_{L}} \] là hệ số ma sát lăn.
Để thống nhất cách gọi, trong giáo trình này, ta quy ước hệ số ma sát lăn là \[ {{{\mu }’}_{L}} \] [có thứ nguyên là mét].
4] Phân biệt ma sát nghỉ và ma sát lăn
Trong chuyển động lăn của khối trụ thì lực ma sát nghỉ luôn có xu hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A, ngăn không cho nó trượt về phía sau. Chính lực này đóng vi tròn lực phát động làm cho điểm tiếp xúc A chuyển động đi tới.
Khi khối trụ lăn, thì xuất hiện lực ma sát lăn, cản trở chuyển động lăn của khối trụ. Lực này gây ra momen cản trở chuyển động quay của khối trụ.
Để hình dung vai trò của ma sát nghỉ đối với chuyển động lăn, ta xét chuyển động của bánh xe sau của xe mô tô [bánh phát động]. Khi nổ máy và vào số, nhơ có hệ thống nhông, sên, đĩa, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướng quay và điểm tiếp xúc A có khuynh hướng trượt về phía sau. Khi đó xuất hiện lực ma sát nghỉ [chính là ngoại lực] có khuynh hướng giữ chặt điểm tiếp xúc A. Lực ma sát nghỉ có độ lớn tăng dần, cuối cùng kéo điểm tiếp xúc A đi tới, nhờ đó toàn bộ xe và người chuyển động. Khi bánh xe lăn, xuất hiện ma sát lăn cản trở chuyển động lăn. Nếu lực ma sát nghỉ cân bằng với ma sát lăn thì xe chuyển động đều.
Như vậy, trong chuyển động của ô tô nói riêng và các vật rắn khác nói chung, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động. Vì lực ma sát nghỉ có giá trị lớn nhất là \[ \mu N \] [bằng ma sát trượt], nên khi lực ma sát nghỉ đạt giá trị cực đại, dù công suất của động cơ đốt trong có tăng đến máy cũng không thể làm cho xe chuyển động nhanh hơn được!
Đối với bánh xe trước, lúc t = 0, nó nhận được vận tốc tịnh tiến vO và tiếp xúc bị trượt tới. Chính lực ma sát nghỉ đã làm cho nó có chuyển động quay.
Vậy, trong các lực ma sát thì ma sát nghỉ đóng vai trò tích cực, hữu ích trong mọi chuyển động lăn của vật.
5] Ma sát của dây quấn vào khối trụ
Một dây vắt lên khối trụ, bán kính R, phần tiếp xúc với khối trụ là một cung tròn \[ \alpha \]. Hệ số ma sát giữa dây và khối trụ là \[ \mu \]. Đặt vào một đầu dây một lực có độ lớn P, ta chứng minh được, dây sẽ cân bằng nếu đặt vào đầu kia một lực có độ lớn Q thỏa điều kiện: \[ Q=P.{{e}^{-\mu \alpha }} \] [3.74]
Để chứng minh [3.74], ta xét một mẩu dây chắn góc ở tâm \[ d\alpha \]. Lực tác dụng lên mẩu dây này gồm: lực căng dây \[\overrightarrow{T}\] và \[\overrightarrow{{{T}’}}\]; lực ma sát \[ {{\overrightarrow{f}}_{ms}} \]; phản lực pháp tuyến \[ \overrightarrow{N} \] của khối trụ.
Từ điều kiện cân bằng của mẩu dây, ta có: \[ \overrightarrow{T}+\overrightarrow{{{T}’}}+{{\overrightarrow{f}}_{ms}}+\overrightarrow{N}=\vec{0} \] [*]
Chiếu [*] lên phương tiếp tuyến với mặt trụ: \[ T-{T}’-{{f}_{ms}}=0 \]
Hay \[ dT={T}’-T=-{{f}_{ms}}=-\mu N \] [**]
Chiếu [*] lên phương pháp tuyến của mặt trụ và lưu ý \[ {T}’\approx T \], ta có:
\[ N=T.d\alpha \Rightarrow dT=-\mu Td\alpha \]
\[ \Rightarrow \frac{dT}{T}=-\mu d\alpha \Rightarrow \int\limits_{P}^{Q}{\frac{dT}{T}}=-\mu \alpha \] \[ \Rightarrow \ln \left[ \frac{Q}{P} \right]=-\mu \alpha \]
\[ \Rightarrow Q=P.{{e}^{-\mu \alpha }} \] [đpcm]
Nếu dây quấn hơn một vòng, \[ Q