Bài toán cực trị dòng điện xoay chiều năm 2024

Chuyên đề cực trị điện xoay chiều là chuyên đề hay và khó trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia môn Vật Lý. Trước khi học dạng bài tập này các bạn nên trang bị cho mình những kiến thức cơ bản về lý thuyết, những dạng bài tập cơ bản, nâng cao về điện xoay chiều. Edusmart chúc các bạn học tốt !

Tin cùng chuyên mục

\[P = UIc{\rm{os}}\varphi {\rm{ = }}{{\rm{I}}^2}R = \frac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}R = \frac{{{U^2}}}{{R + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}}}\]

Để \[{P_{max}} \to {\left[ {R + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\]

Ta có: \[R + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R\frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}} = 2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\]

Dấu “=” xảy ra \[ \leftrightarrow {R^2} = {[{Z_L} - {Z_C}]^2} \to R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\]

1. Mạch RLC có cuộn dây không thuần cảm [r≠0]

- Công suất trên toàn mạch:

\[P{\rm{ = }}{{\rm{I}}^2}[R + r] = \frac{{{U^2}}}{{{{[R + r]}^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}[R + r] = \frac{{{U^2}}}{{R + r + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{{R + r}}}}\]

Để \[{P_{max}} \to {\left[ {R + r + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{{R + r}}} \right]_{\min }}\]

Ta có: \[[R + r] + \frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{{R + r}} \ge 2\sqrt {[R + r]\frac{{{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{{R + r}}} = 2\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right|\]

Dấu “=” xảy ra \[ \leftrightarrow {[R + r]^2} = {[{Z_L} - {Z_C}]^2} \to R + r = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| \to R = \left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| - r\]

Chú ý: Nếu \[r > {Z_L} - {Z_C} \to {P_{{\rm{max}}}} \leftrightarrow R = 0,{P_{{\rm{max}}}} = \frac{{{U^2}}}{{{r^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}}}r\]

- Công suất trên R: \[P{\rm{ = }}\frac{{{U^2}}}{{{{[R + r]}^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}R = \frac{{{U^2}}}{{R + 2r + \frac{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}}}\]

\[\begin{array}{l}A = R + 2r + \frac{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}\\{A_{\min }} \leftrightarrow {\left[ {R + \frac{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}} \right]_{\min }}\\R + \frac{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R} \ge 2\sqrt {R.\frac{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}{R}} = 2\sqrt {{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}} \end{array}\]

Dấu “=” xảy ra: \[ \leftrightarrow {R^2} = {r^2} + {\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]^2},{P_{{\rm{max}}}} = \frac{{{U^2}}}{{2{\rm{r}} + 2\sqrt {{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}} }}\]

- Công suất trên r: \[{P_r}{\rm{ = }}\frac{{{U^2}r}}{{{{[R + r]}^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}\]

\[{P_{r{\rm{ }}max}} = \frac{{{U^2}r}}{{{r^2} + {{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}^2}}}\] xảy ra khi R=0

2. KHI R=R1 HOẶC R=R2 THÌ P CÓ CÙNG 1 GIÁ TRỊ [P XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG \[{\varphi _{{\bf{U}}/{\bf{I}}}} = {\bf{0}}\] VÀ \[{{\bf{I}}_{{\bf{MAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{RMAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{LMAX}}}},{\rm{ }}{{\bf{U}}_{{\bf{LCMIN}}}}\]

\[{Z_L} = {Z_C}\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l}{Z_{\min }} = R\\{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R}\\{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\end{array}\]

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\[{U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{[{U_L} - {U_C}]}^2}} = {U_R}\]

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: φ=0

2. C THAY ĐỔI ĐỂ UCMAX VÀ ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU ĐOẠN MẠCH VUÔNG PHA VỚI URL

Ta có: \[{U_C} = I{Z_C} = \dfrac{{U{Z_C}}}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }}\]

Chia cả tử và mẫu cho ZL, ta được: \[{U_C} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2}}}{{{Z_C}^2}} + \frac{{{{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}}}{{{Z_C}^2}}} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {\dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_C}^2}} - \dfrac{{2{Z_L}}}{{{Z_C}}} + 1} }}\]

Đặt \[y = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_C}^2}} - \dfrac{{2{Z_L}}}{{{Z_C}}} + 1 = [{R^2} + Z_L^2]{x^2} - 2{Z_L}x + 1\] với $x = \dfrac{1}{{{Z_C}}}$

Ta có UCmax khi ymin

\[{y_{\min }} \leftrightarrow x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{{2{Z_L}}}{{2[{R^2} + Z_L^2]}} \to {Z_C} = \dfrac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_L}}}\]

Khi đó: \[{U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{U_R^2 + U_L^2}}{{{U_L}}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{R}\]

Hệ quả: \[\left\{ \begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{AB}}\\U_{C\max }2 = {U^2} + U_{RL}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_L^2\\U_{C\max }{}.{U_R} = U.{U_{RL}}\\\dfrac{1}{{U_R^2}} = \dfrac{1}{{{U^2}}} + \dfrac{1}{{U_{RL}^2}}\end{array} \right.\]

3. C THAY ĐỔI ĐỂ URCMAX

Ta có: \[{U_{RC}} = I{Z_{RC}} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }} = \dfrac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2 - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2} }} = \dfrac{U}{{\sqrt {1 + \dfrac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}} }}\]

\[{U_{RLmax}} \leftrightarrow {\left[ {1 + \dfrac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}} \right]_{\min }}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \dfrac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}2}}{{{R^2} + Z_C^2}}}\\{y' = {{[1 + \dfrac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_L}^2}}{{{R^2} + Z_C^2}}]}\prime } = \dfrac{{2{Z_C}^2 - 2{R^2} - 2{Z_L}{Z_C}}}{{{{[{R^2} + Z_C^2]}^2}}}}\\{y' = 0 \leftrightarrow 2{Z_C}^2 - 2{R^2} - 2{Z_L}{Z_C} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}{Z_C} > 0\\{Z_C} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{{Z_L} + \sqrt {4{R^2} + Z_L^2} }}{2}\end{array} \right.}\end{array}\]

Khi đó:

\[{{U}_{RC\max }}=\frac{2UR}{\sqrt{4{{R}{2}}+Z_{L}{2}}-{{Z}_{L}}}\]

4. C THAY ĐỔI ĐỂ URL KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO R

URL không phụ thuộc vào R

\[ \leftrightarrow {U_{RL}} = {U_{AB}}\]

Từ giản đồ:

\[\begin{array}{l} \to {U_C} = 2{U_L}\\ \to {Z_C} = 2{Z_L}\end{array}\]

5. C THAY ĐỔI ĐỂ \[{U_{RC}} \bot {U_{RL}}\]

\[\begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{RC}}\\ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {\varphi _1} = c{\rm{os}}{\varphi _2}\\c{\rm{os}}{\varphi _1} = \left| {\sin {\varphi _2}} \right|\end{array} \right. \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1\\ \leftrightarrow \frac{{{U_L}}}{{{U_R}}}\frac{{{U_C}}}{{{U_R}}} = 1 \leftrightarrow {U_L}{U_C} = {U_R}^2 \leftrightarrow {Z_L}{Z_C} = {R^2}\end{array}\]

6. C=C1 HOẶC C=C2 THÌ UC CÓ CÙNG GIÁ TRỊ

\[{C_1} + {C_2} = 2{C_{max}} = 2{C_0} \to {C_0} = \dfrac{{{C_1} + {C_2}}}{2}\]

7. C THAY ĐỔI CÓ 2 GIÁ TRỊ LÀM CHO: \[{{\bf{I}}_{\bf{1}}} = {{\bf{I}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{P}}_{\bf{1}}} = {{\bf{P}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{\bf{cos}}{\varphi _{\bf{1}}} = {\bf{cos}}{\varphi _{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{Z}}_{\bf{1}}} = {{\bf{Z}}_{\bf{2}}}\]

- Z1=Z2

\[{R^2} + {[{Z_L} - {Z_{C1}}]^2} = {R^2} + {[{Z_L} - {Z_{C2}}]^2} \to \left| {{Z_L} - {Z_{C1}}} \right| = \left| {{Z_L} - {Z_{C2}}} \right|\]

Với ZC2>ZC1 \[ \to {Z_{C1}} + {Z_{C2}} = 2{Z_L}\]

- I1=I2 hoặc P1=P2 => L=? để cộng hưởng điện

\[ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = {I_{{\rm{max}}}}\\{\varphi _u} = {\varphi _i}\\\left| {{\rm{cos}}\varphi } \right| = 1\end{array} \right. \to 2{Z_{Cm{\rm{ax}}}} = {Z_{C1}} + {Z_{C2}}\]

III. L thay đổi

1- L THAY ĐỔI => XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG \[{\varphi _{{\bf{u}}/{\bf{i}}}} = {\bf{0}}\] VÀ IMAX, URMAX, UCMAX, ULCMIN

\[{Z_L} = {Z_C}\]

Khi đó:

\[{Z_{\min }} = R,{\rm{ }}{I_{{\rm{max}}}} = \frac{U}{R},{\rm{ }}{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \frac{{{U^2}}}{R}\]

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\[{U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{[{U_L} - {U_C}]}^2}} = {U_R}\]

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: φ=0I

2 - L THAY ĐỔI ĐỂ ULMAX VÀ ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU ĐOẠN MẠCH VUÔNG PHA VỚI URC

Ta có: \[{U_L} = I{Z_L} = \frac{{U{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }}\]

Chia cả tử và mẫu cho ZL, ta được: \[{U_L} = \frac{U}{{\sqrt {\frac{{{R^2}}}{{{Z_L}^2}} + \frac{{{{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}}}{{{Z_L}^2}}} }} = \frac{U}{{\sqrt {\frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_L}^2}} - \frac{{2{Z_C}}}{{{Z_L}}} + 1} }}\]

Đặt \[y = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_L}^2}} - \frac{{2{Z_C}}}{{{Z_L}}} + 1 = [{R^2} + Z_C^2]{x^2} - 2{Z_C}x + 1\] với $x = \frac{1}{{{Z_L}}}$

Ta có ULmax khi ymin

\[{y_{\min }} \leftrightarrow x = - \frac{b}{{2{\rm{a}}}} = \frac{{2{Z_C}}}{{2[{R^2} + Z_C^2]}} \to {Z_L} = \frac{{{R^2} + Z_C^2}}{{{Z_C}}}\]

Khi đó: \[{U_{Lm{\rm{ax}}}} = \frac{{U_R^2 + U_C^2}}{{{U_C}}} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + Z_C^2} }}{R}\]

Hệ quả: \[\left\{ \begin{array}{l}{U_{RC}} \bot {U_{AB}}\\U_{L\max }2 = {U^2} + U_{RC}^2 = {U^2} + U_R^2 + U_C^2\\U_{L\max }{}.{U_R} = U.{U_{RC}}\\\frac{1}{{U_R^2}} = \frac{1}{{{U^2}}} + \frac{1}{{U_{RC}^2}}\end{array} \right.\]

3 - L THAY ĐỔI ĐỂ URLMAX

Ta có: \[{U_{RL}} = I{Z_{RL}} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }} = \frac{{U\sqrt {{R^2} + Z_L^2} }}{{\sqrt {{R^2} + {Z_L}^2 - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2} }} = \frac{U}{{\sqrt {1 + \frac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}} }}\]

URLmax \[ \leftrightarrow {\left[ {1 + \frac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + {Z_C}^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}} \right]_{\min }}\]

\[\eqalign{& y = 1 + \frac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + Z_C^2}}{{{R^2} + Z_L^2}} \cr & y' = \left[ {1 + \frac{{ - 2{Z_L}{Z_C} + Z_C^2}}{{{R^2} + Z_L^2}}} \right]' = \frac{{2Z_L^2 - 2{R^2} - 2{Z_L}{Z_C}}}{{{{[{R^2} + Z_L^2]}^2}}} \cr & y' = 0 \leftrightarrow 2Z_L^2 - 2{R^2} - 2{Z_L}{Z_C} = 0 \cr} \]

\[{Z_L} > 0,{Z_L} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{{Z_C} + \sqrt {4{R^2} + Z_C^2} }}{2}\]

Khi đó:

\[{U_{R{L_{\max }}}} = \frac{{2UR}}{{\sqrt {4{R^2} + Z_C^2} - {Z_C}}}\]

4 - L THAY ĐỔI ĐỂ URC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO R

URC không phụ thuộc vào R

\[ \leftrightarrow {U_{RC}} = {U_{AB}}\]

Từ giản đồ:

\[\begin{array}{l} \leftrightarrow {U_C} = {U_L} - {U_C}\\ \to {U_L} = 2{U_C}\\ \to {Z_L} = 2{Z_C}\end{array}\]

5 - L THAY ĐỔI ĐỂ \[{U_{RC}} \bot {U_{RL}}\]

\[\begin{array}{l}{U_{RL}} \bot {U_{RC}}\\ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {\varphi _1} = c{\rm{os}}{\varphi _2}\\c{\rm{os}}{\varphi _1} = \left| {\sin {\varphi _2}} \right|\end{array} \right. \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1\\ \leftrightarrow \frac{{{U_L}}}{{{U_R}}}\frac{{{U_C}}}{{{U_R}}} = 1 \leftrightarrow {U_L}{U_C} = {U_R}^2 \leftrightarrow {Z_L}{Z_C} = {R^2}\end{array}\]

6 - L=L1HOẶC L=L2 THÌ UL CÓ CÙNG GIÁ TRỊ

\[\frac{1}{{{L_{{\rm{max}}}}}} = \frac{1}{2}[\frac{1}{{{L_1}}} + \frac{1}{{{L_2}}}]\]

7 - L THAY ĐỔI, CÓ 2 GIÁ TRỊ CỦA L LÀM CHO \[{{\bf{I}}_{\bf{1}}} = {{\bf{I}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{P}}_{\bf{1}}} = {{\bf{P}}_{\bf{2}}},{\rm{ }}{\bf{cos}}{\varphi _{\bf{1}}} = {\bf{cos}}{\varphi _{\bf{2}}},{\rm{ }}{{\bf{Z}}_{\bf{1}}} = {{\bf{Z}}_{\bf{2}}}\]

- Z1=Z2

\[{R^2} + {[{Z_{L1}} - {Z_C}]^2} = {R^2} + {[{Z_{L2}} - {Z_C}]^2} \to \left| {{Z_{L1}} - {Z_C}} \right| = \left| {{Z_{L2}} - {Z_C}} \right|\]

Với ZL2>ZL1 \[ \to {Z_{L1}} + {Z_{L2}} = 2{Z_C}\]

- I1=I2 hoặc P1=P2 => L=? để cộng hưởng điện

\[ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I = {I_{{\rm{max}}}}\\{\varphi _u} = {\varphi _i}\\\left| {{\rm{cos}}\varphi } \right| = 1\end{array} \right. \to L = \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\]

IV. \[\omega\] thay đổi

1. \[\omega \] THAY ĐỔI ĐỂ XẢY RA HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỞNG ĐIỆN: \[{Z_{min}},{\rm{ }}{I_{max}},{\rm{ }}{U_{Rmax}},{\rm{ }}{P_{ABmax}},{\rm{ }}cos\varphi \] CỰC ĐẠI

\[{Z_L} = {Z_C} \to {\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}{\rm{ hay }}\omega = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}\]

Khi đó:

\[{Z_{\min }} = R,{\rm{ }}{I_{{\rm{max}}}} = \dfrac{U}{R},{\rm{ }}{P_{{\rm{max}}}} = {I^2}R = \dfrac{{{U^2}}}{R}\]

+ Điện áp giữa hai đầu điện trở cực đại và bằng điện áp toàn mạch

\[{U_L} = {U_C} \to U = \sqrt {U_R^2 + {{[{U_L} - {U_C}]}^2}} = {U_R}\]

+ Điện áp hai đầu đoạn mạch cùng pha với cường độ dòng điện trong mạch: \[\varphi = 0\]

2. \[\omega \] THAY ĐỔI ĐỂ UCMAX

\[{U_C} = I{Z_C} = \dfrac{{U{Z_C}}}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }} = \dfrac{U}{{\omega C\sqrt {{R^2} + {\omega ^2}{L^2} - 2\dfrac{L}{C} + \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} }} = \dfrac{U}{{C\sqrt {{\omega ^4}{L^2} + [{R^2} - 2\dfrac{L}{C}]{\omega ^2} + \dfrac{1}{{{C^2}}}} }}\]

UC max mẫu min

Đặt \[{\omega ^2} = x\] , \[ \to {x^2}{L^2} + [{R^2} - 2\dfrac{L}{C}]x + \dfrac{1}{{{C^2}}} = y\]

\[{y_{\min }} \leftrightarrow x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}},{y_{\min }} = - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{{R^2}}}{{LC}} - \dfrac{{{R^4}}}{{2{L^2}}}\]

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l}{Z_L} = \omega L = \sqrt {\dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}}} L \to Z_L^2 = \dfrac{L}{C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow Z_L^2 = {Z_L}{Z_C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \to \dfrac{{{R^2}}}{2} = {Z_L}\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right]\\ \to \dfrac{{{Z_L}}}{R}\dfrac{{\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right]}}{R} = \dfrac{1}{2} \leftrightarrow \tan {\varphi _{RL}}\tan \varphi = -\dfrac{1}{2}\end{array}\]

Vẽ giản đồ ta được:

Từ giản đồ, ta có:

\[\begin{array}{l}{Z^2} = {R^2} + {\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right]^2} = 2{Z_L}\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right] + {\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right]^2}\\ \leftrightarrow {Z^2} = Z_C^2 - Z_L^2\end{array}\]

Kết luận: \[\omega \] biên thiên để \[{U_{{C_{max}}}}\], khi đó:

\[{U_{Cm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }},{\rm{ }}{\omega ^2}{\rm{ = }}\dfrac{1}{{LC}} - \dfrac{{{R^2}}}{{2{L^2}}}\]

\[\tan {\varphi _{RL}}\tan \varphi = -\dfrac{1}{2}\] và \[Z_C^2 = {Z^2} + Z_L^2\]

3. \[\omega \] THAY ĐỔI ĐỂ ULMAX

\[{U_L} = I{Z_L} = \dfrac{{U{Z_L}}}{{\sqrt {{R^2} + {{[{Z_L} - {Z_C}]}^2}} }} = \dfrac{{U\omega L}}{{\sqrt {{R^2} + {\omega ^2}{L^2} - 2\dfrac{L}{C} + \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}}} }} = \dfrac{{UL}}{{\sqrt {{L^2} + \dfrac{{[{R^2} - 2\dfrac{L}{C}]}}{{{\omega ^2}}} + \dfrac{1}{{{\omega ^4}{C^2}}}} }}\]

\[{U_{L{\rm{ }}max}}\] mẫu min

Đặt \[\dfrac{1}{{{\omega ^2}}} = x\], \[ \to {L^2} + [{R^2} - 2\dfrac{L}{C}]x + {x^2}\dfrac{1}{{{C^2}}} = y\]

\[{y_{\min }} \leftrightarrow x = - \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = \dfrac{{2LC - {R^2}{C^2}}}{2},{y_{\min }} = - \dfrac{\Delta }{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{4L{{\rm{R}}^2} - {R^4}C}}{4}C\]

Khi đó ta có:

\[\begin{array}{l} \to Z_C^2 = \dfrac{1}{{{\omega ^2}{C^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{2}{{2LC - {R^2}{C^2}}}{C^2}}} = \dfrac{L}{C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow Z_C^2 = {Z_L}{Z_C} - \dfrac{{{R^2}}}{2}\\ \leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{2} = {Z_C}\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right] \leftrightarrow \dfrac{{{Z_C}}}{R}\dfrac{{\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]}}{R} = \dfrac{1}{2}\\ \leftrightarrow \tan {\varphi _{RC}}\tan \varphi = -\dfrac{1}{2}\end{array}\]

Vẽ giản đồ ta được:

Từ giản đồ, ta có:

\[\begin{array}{l}{Z^2} = {R^2} + {\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right]^2} = 2{Z_C}\left[ {{Z_L} - {Z_C}} \right] + {\left[ {{Z_C} - {Z_L}} \right]^2}\\ \leftrightarrow {Z^2} = Z_L^2 - Z_C^2\end{array}\]

Kết luận: \[{U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }},{\rm{ }}{\omega ^2}{\rm{ = }}\dfrac{2}{{2LC - {R^2}{C^2}}}\]

\[\tan {\varphi _{RC}}\tan \varphi =- \dfrac{1}{2}\] và \[Z_L^2 = {Z^2} + Z_C^2\]

Khi \[\omega \] thay đổi để \[{U_{Cmax}},{\rm{ }}{U_{Lmax}}\]

\[\begin{array}{l}{U_{Cm{\rm{ax}}}} = {U_{Lm{\rm{ax}}}} = \dfrac{{2UL}}{{R\sqrt {4LC - {R^2}{C^2}} }}\\{\omega _L}.{\omega _C} = \dfrac{1}{{LC}} = \omega _0^2\end{array}\]

4. THAY ĐỔI \[f\] CÓ HAI GIÁ TRỊ \[{f_{\bf{1}}} \ne {f_{\bf{2}}}\] BIẾT \[{f_{\bf{1}}} + {f_{\bf{2}}} = {\rm{ }}{\bf{a}}\] VÀ CÙNG CÔNG SUẤT HOẶC CÙNG \[{\bf{I}},{\bf{Z}},{\bf{cos}}\varphi ,{{\bf{U}}_{{\bf{R}}.}}\]

- Hai giá trị tần số làm cho mạch có cùng công suất nên:

\[\begin{array}{l}{P_1} = {P_2} \Leftrightarrow I_1^2R = I_2^2R \Leftrightarrow I_1^2 = I_2^2\\ \to \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{[{Z_{L1}} - {Z_{C1}}]}^2}}} = \dfrac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{[{Z_{L2}} - {Z_{C2}}]}^2}}}\\ \to {[{Z_{L1}} - {Z_{C1}}]^2} = {[{Z_{L2}} - {Z_{C2}}]^2} \to \left[ \begin{array}{l}{Z_{L1}} - {Z_{C1}} = {Z_{L2}} - {Z_{C2}}[loai]\\{Z_{L1}} - {Z_{C1}} = - [{Z_{L2}} - {Z_{C2}}]\end{array} \right.\\ \to {Z_{L1}} + {Z_{L2}} = {Z_{C1}} + {Z_{C2}}] \to L[{\omega _1} + {\omega _2}] = \dfrac{1}{C}[\dfrac{1}{{{\omega _1}}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}}}] = \dfrac{1}{C}\dfrac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{{{\omega _1}{\omega _2}}}\\ \to {\omega _1}{\omega _2} = \dfrac{1}{{LC}} = \omega _0^2\end{array}\]

- Công thức trên áp dụng cho bài toán thay đổi f có cùng I, Z, cosφ, UR

Các hệ quả thu được:

• Cảm kháng và dung kháng trong hai trường hợp:

\[{[{Z_{L1}} - {Z_{C1}}]^2} = {[{Z_{L2}} - {Z_{C2}}]^2}{\rm{ hay }}\left| {{Z_L} - {Z_C}} \right| = h/s \to \left| \begin{array}{l}{Z_{L1}} = {Z_{C2}}\\{Z_{L2}} = {Z_{C1}}\end{array} \right.\]

• Hệ số công suất trong hai trường hợp: \[{\rm{cos}}{\varphi _1} = {\rm{cos}}{\varphi _2} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + k{{[\sqrt {\dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _2}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}}} ]}^2}} }}{\rm{ [}}\dfrac{L}{C} = k.{R^2}]\]
• Cường độ dòng điện trong hai trường hợp: \[{I_1} = {I_2} = \dfrac{{{I_{{\rm{max}}}}}}{n}\]

Điện trở của mạch được xác định: \[R = L\dfrac{{\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|}}{{\sqrt {{n^2} - 1} }} = \dfrac{{\left| {{\omega _1} - {\omega _2}} \right|}}{{{\omega _1}{\omega _2}C\sqrt {{n^2} - 1} }}\]