Bài tập số phức giá trị lớn nhất nhỏ nhất năm 2024
|
UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:U Cho đường tròn (T )cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn ( T ). Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Show
UGiải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB < AC. +) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB. Đẳng thức xảy ra khi M ≡B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC. Đẳng thức xảy ra khi M ≡C +) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB. Đẳng thức xảy ra khi M ≡B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC. Đẳng thức xảy ra khi M ≡C Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất. Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất. UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 2:U Cho hai đường tròn (T 1 )có tâm I, bán kính RR 1 R; đường tròn ( T 2 )có tâm J, bán kính RR 2 R. Tìm vị trí của điểm M trên (T 1 ), điểm N trên ( T 2 )sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. UGiải: Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn (T 1 )tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt ( T 2 )tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên ( T 1 )và điểm N bất kì trên (T 2 ). Ta có: MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R 1 + R 2 + IJ = AD. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R 1 + R 2 = BC. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. UBÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:U Cho hai đường tròn ( T )có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ không có điểm chung với ( T ). Tìm vị trí của điểm M trên ( T ), điểm N trên ∆ sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. UGiải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn ( T )tại J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn (T ), ta có: MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH = const. Đẳng thức xảy ra khi M ≡ H N; ≡I Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. B – BÀI TẬP Câu 1. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z + 3 i = z + 2 − iìm số phức có môđun nhỏ nhất?
z = − + i. B. 1 2 5 5 z = − i. C. z = − + 1 2 i. D. z = 1 − 2 i. Câu 2. Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4 i = z − 2 i. Số phức z có môđun nhỏ nhất là
. B. 3 2 . C. 3 2. D. 3 2 2 . Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4 i= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z.
Câu 17. Gọi T là tập hợp tất cả các số phức z thõa mãn z − i≥ 2 và z + 1 ≤ 4. Gọi z 1 ,z 2 ∈ T lần lượt là các số phức có mô đun nhỏ nhất và lớn nhất trong T. Khi đó z 1 − z 2 bằng: A. 4 − i. B. 5 − i. C. − 5 + i. D. − 5. Câu 18. Trong tập hợp các số phức, gọi z 1 , z 2 là nghiệm của phương trình 2 2017 0 4 z − z+ = , với z 2 có thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn z − z 1 = 1. Giá trị nhỏ nhất của P = z − z 2 là
− . B. 2017 − 1. C. 2016 − 1. D. 2017 1 2 − . Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z z. = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = z 3 + 3 z + z − z + z.
. B. 3. C. 13 4 . D. 3 4 . ####### Câu 20 các số phức z , w thỏa mãn z = 5 , w = ( 4 − 3 i z ) + 1 − 2 i. Giá trị nhỏ nhất của w là :
Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn z 1 4 z
####### Câu 22. Biết số phức z = a + bi, ( a b, ∈ )thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4 i = z − 2 i có mô đun nhỏ nhất. Tính M = a 2 + b 2. A. M = 26. B. M = 10. C. M = 8. D. M = 16. Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z = 1ọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 1 + z 2 − z+ 1 .Tính giá trị của M m..
. B. 39 4 . C. 3 3. D. 13 4 . Câu 24. Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2. Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z i z \= +.
Câu 25. Nếu z là số phức thỏa z = z + 2 i thì giá trị nhỏ nhất của z − i + z− 4 là
Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3 i = 1. Giá trị lớn nhất của z + 1 +i là
Câu 27. Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u − 6 i + 3 u − 1 − 3 i= 5 10, v − 1 + 2 i = v + i. Giá trị nhỏ nhất của u − v là:
Câu 28. Gọi z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 4 z+ 13 = 0 , với z 1 có phần ảo dương. Biết số phức z thỏa mãn 2 z − z 1 ≤ z − z 2 , phần thực nhỏ nhất của z là A. 2 B. 1 C. 9 D. 6 ####### Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn ( z + 2 ) i + 1 + ( z − 2 )i− 1 = 10. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z. Tính tổng S = M + m. A. S = 8. B. S = 2 21. C. S = 2 21 − 1. D. S = 9. Câu 30. Cho 2018 phức z thoả mãn z − 3 − 4 i = 5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 22 − z − i 2. Tính môđun của 2018 phức w = M + mi. A. w = 2 314. B. w = 2 309. C. w = 1258. D. w = 1258. Câu 31. Cho hai số phức z z, ′ thỏa mãn z + 5 = 5 và z ′ + 1 − 3 i = z ′− 3 − 6 i. Tìm giá trị nhỏ nhất của z − z′.
. D. 5 4 . Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 z + 1 + 2 z − 1 + z − z − 4 i bằng: A. 2 7 15 +. B. 2 + 3. C. 4 14 15 +. D. 4 + 2 3. Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 + z + 2 1− z bằng
Câu 34. Cho các số phức z 1 = 3 i, z 2 = − − 1 3 i, z 3 = m − 2 i. Tập giá trị tham số m để số phức z 3 có môđun nhỏ nhất trong 3 số phức đã cho là. A. { − 5; 5 }. B. ( − 5; 5 ).C. ( −∞ −; 5 ) ∪ ( 5;+∞ ). D. − 5; 5 .Câu 35. Cho số phức z thỏa mãn z − 3 = 2 z và max z − 1 + 2 i = a + b 2. Tính a + b.
. C. 4. D. 4 2. Câu 36. Cho số phức z thỏa mãn: z − 2 − 2 i= 1. Số phức z − icó môđun nhỏ nhất là:
Câu 37. Cho số phức z thỏa z ≥ 2. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z i z \= +.
. B. 3. 4
####### Câu 38. Tìm số phức z sao cho z − ( 3 + 4 i)= 5 và biểu thức P = z + 22 − z − i 2 đạt giá trị lớn nhất.
Câu 50. Cho hai số phức thỏa mãn. Giá trị nhỏ nhất của là: A. B. C. D. Câu 51. Cho số phức thỏa mãn điều kiện. Đặt , tìm giá trị lớn nhất của. A.. B.. C.. D. 1. Câu 52. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.. B.. C.. D.. Câu 53. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có mô đun nhỏ nhất là A.. B.. C.. D.. Câu 54. Cho số phức thỏa mãn. Giá trị lớn nhất của là. A.. B.. C.. D.. Câu 55. Cho số phức thỏa điều kiện. Giá trị nhỏ nhất của bằng? A.. B.. C.. D.. Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để có đúng số phức thỏa và . A.. B.. C.. D.. Câu 57 số phức thỏa mãn. Đặt. Mệnh đề nào sau đây đúng? A.. B.. C.. D.. Câu 58. Trong tập hợp các số phức thỏa mãn: Tìm môđun lớn nhất của số phức. A.. B.. C.. D.. Câu 59. Cho số phức thỏa mãn. Tính , với. A.. B.. C.. D.. Câu 60. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 61. Gọi điểm lần lượt biểu diễn các số phức và trên mặt phẳng tọa độ ( và đều không thẳng hàng). Với là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng? A. Tam giác vuông cân tại. B. Tam giác đều. C. Tam giác vuông cân tại. D. Tam giác vuông cân tại. z 1 ,z 2 z 1 + 5 = 5, z 2 + 1 − 3 i = z 2 − 3 − 6 i z 1 −z 2 1 2 3 2 5 2 7 2 ####### z z − 1 = ( 1 + i z) m = z m 2 2 − 1 2 + 1 z z = 1 P = 1 + z + 3 1 −z. 6 5 20 2 20 3 15 z z = z − 1 + 2 i z = 5 1 3 4 z = + i 1 2 z = + i z = 3 +i z − 2 + 2 i = 1 z 4 2 − 2 2 + 2 2 2 + 1 3 2 + 1 ####### z z 2 + 4 = z z( + 2 i) z +i 2 3 4 1 ####### m 2 z z − ( m − 1 ) + i = 8 z − 1 + i = z − 2 + 3 i 66 65 131 130 z z ≤ 12 2 A z i iz \= − + A < 1 A > 1 A ≤ 1 A ≥ 1 z 2 2. 1 z i z i
z +i 2 + 2 3 + 2 3 − 2 2 − 2 ####### z z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2 i )( z + 3 i− 1 ) min | w | w = z − 2 + 2 i min | | 1 2 w = min | w | = 1 min | w |= 2 min | | 3 2 w = z z − 2 − 3 i = 1 z 13 1 + 13 2 + 13 13 − 1 A ,B z 1 ; ( 0 ) 2 z ′ = + iz z≠ A , B, C A ′, B ′, C′ O OAB A OAB OAB O OAB B Câu 62. Xét số phức thỏa mãn. Tính khi đạt giá trị lớn nhất. A.. B.. C.. D.. Câu 63. Cho số phức thỏa mãn. Giá trị nhỏ nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 64. Cho các số phức thỏa mãn. Giả sử biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khi lần lượt bằng và. Tính A.. B.. C.. D.. Câu 65. Cho số phức thỏa mãn. Gọi , và số phức. Tính A.. B.. C.. D.. Câu 66. Cho số phức thỏa mãn. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Giá trị của bằng A.. B.. C.. D.. Câu 67. Cho số phức thỏa mãn và. Giá trị lớn nhất của biểu thức là: A.. B.. C.. D.. Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất, biết rẳng số phức thỏa mãn điều kiện. A.. B.. C.. D.. Câu 69. Cho là số phức thay đổi thỏa mãn và là điểm biểu diễn cho trong mặt phẳng phức. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. A.. B.. C.. D.. Câu 70. Trong các số phức thỏa mãn. Hãy tìm có môđun nhỏ nhất. A.. B.. C.. D.. Câu 71. Cho số phức , tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thỏa mãn điều kiện. A.. B.. C.. D.. Câu 72. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức
của. Tính? ####### z = a + bi a b ( , ∈ R b, > 0 ) z = 1 P = 2 a + 4 b 2 z 3 − z+ 2 P = 4 P = 2 − 2 P = 2 P = 2 + 2 z z − 1 = 1 z 1 2 0 2 − 1 z z − 4 + 3 i = 2 P =z ####### z z 1 = a 1 +b i 1 ( a 1 , b 1 ∈ ) z 2 = a 2 +b i 2 ( a 2 , b 2 ∈ ) S = a 1 +a 2 S = 8 S = 10 S = 4 S= 6 ####### z ( 1 + i z) + 2 + ( 1 + i z) − 2 = 4 2 m = maxz n =minz w = m + ni w 2018 51009 61009 21009 41009 z z = 1 M m P = z + 1 + z 2 − z+ 1 M m. 3 3 8 13 3 8 3 3 13 3 4 z z − 2 i ≤ z − 4 i z − 3 − 3 i = 1 P = z− 2 10 + 1 13 10 13 + 1 z z z − 2 − 4 i= 5 z = − − 1 2 i z = 1 − 2 i z = − + 1 2 i z = 1 + 2 i ####### z ( 1 + i z) + 2 − i= 4 M ( x y; ) z T = x + y+ 3 4 + 2 2 8 4 4 2 z z − i = z − 2 − 3 i z 27 6 5 5 z = + i 6 5 5 z = − − i 6 5 5 z = − + i 3 5 5 z = − i z z z 2 3 1 1 3 2 i z i − − + = − 2 1 2 3 z − 2 − 4 i = z − 2 i z + 2 .i 3 5. 3 2 3 + 2 5 z z − 2 + z+ 2 = 5 M m, z M +m Câu 84. Gọi và là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức thỏa mãn. Tính . A.. B.. C.. D.. Câu 85. - 2017] Cho , là hai nghiệm của phương trình , thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của bằng. A.. B. 5. C.. D.. Câu 86. Trong các số phức thỏa mãn gọi và lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức là A.. B.. C.. D.. Câu 87. Cho số phức thỏa mãn:. Số phức có môđun nhỏ nhất là: A.. B.. C.. D.. Câu 88. Cho số phức thỏa mãn. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của. Khi đó bằng. A.. B.. C.. D.. Câu 89. Cho các số phức , , thỏa mãn và. Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A.. B.. C.. D.. Câu 90. Số phức nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa : A.. B.. C.. D.. Câu 91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho điểm và là điểm biển diễn số phức thoả mãn điều kiện. Tìm toạ độ điểm để đoạn thẳng nhỏ nhất. A.. B.. C.. D.. Câu 92. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất của với là số phức thỏa mãn. A.. B.. C.. D.. Câu 94. Cho số phức thỏa mãn. Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi là trung điểm của , biểu diễn số phức , tổng nhận giá trị nào sau đây? A.. B.. C.. D.. M m z z − 1 = 2 M +m 5 3 2 z 1 z 2 6 − 3 i + iz = 2 z − 6 − 9 i 1 2 8 5 z − z = z 1 +z 2 4 2 56 5 31 5 z z 2 + 1 = 2 z z 1 z 2 w = z 1 +z 2 w = 1 + 2 w = 2 2 w = 2 w = 2 z z − 2 − 2 i= 1 z −i 5 − 1 5 + 1 5 + 2 5 − 2 z 2 z − 3 − 4 i = 10 M m z M −m 15 10 20 5 z z 1 z 2 z 1 − 4 − 5 i = z 2 − 1 z + 4 i = z − 8 + 4 i M = z 1 −z 2 P = z − z 1 + z −z 2 6 2 5 8 41 z | z | = z − 3 + 4 i z = − 3 – 4 i 3 7 8 z = − i 3 2 z = + i 3 2 z = − − i ####### Oxy , A ( 4; 4) M z z − 1 = z + 2 − i M AM ####### M ( 1; 5) M ( 2; 8) M ( −1; − 1 ) M ( −2; − 4 ) z z − 2 − 3 i = 1 z + 1 +i 13 + 1 13 + 2 4 6 P = z 2 − z + z 2 + z + 1 z z= 1 3 13 4 5 z z + 3 i + z − 3 i = 10 M 1 M 2 z ####### M M M 1 2 M ( a b; ) w a +b 7 2 5 4 9 2 Câu 95. Cho số phức thỏa mãn. Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng A. B. C. D. Câu 96. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.. B.. C.. D.. Câu 97. Cho số phức thỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 98. Cho các số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 99 số phức thỏa mãn điều kiện: và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng: A.. B.. C.. D.. Câu 100. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện , môđun nhỏ nhất của số phức bằng: A.. B.. C.. D.. Câu 101. Cho hai số phức thỏa mãn và. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? A.. B.. C.. D.. Câu 102. Cho các số phức , và số phức thay đổi thỏa mãn. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của. Giá trị biểu thức bằng A. B. C. D. Câu 103. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A.. B.. C.. D.. Câu 104. Cho hai số phức thỏa mãn và. Tìm giá trị lớn nhất của . A.. B.. C.. D.. Câu 105. Cho số phức thỏa mãn và. Khi đó số phức là. A.. B. . C. . D. . z z − 3 + z+ 3 = 8 M m z. M +m 4 − 7. 4 + 7. 7. 4 + 5. z z = 1 Mmax Mmin M = z 2 + z + 1 + z 3 +. Mmax = 5; Mmin = 1 M max = 5; Mmin= 2 Mmax = 4; M min= 1 Mmax = 4; Mmin= 2 z z − 1 = 2 T = z + i + z − 2 −i max T = 4 2 max T = 8 max T = 8 2 max T = 4 z z − 1 − i + z − 8 − 3 i = 53 P = z + 1 + 2 i P max = 53 max 185 2 P = Pmax = 106 Pmax = 53 z z − 1 + 2 i= 5 w = z + 1 +i z 6 5 2 2 5 3 z − 4 i − 2 = 2 i − z z 3 2 2 2 3 2 z 1 ,z 2 z 1 + 1 − i= 2 z 2 = iz 1 m z 1 −z 2 m = 2 2 − 2 m = 2 2 m = 2 m = 2 − 1 z 1 = − 2 + i z 2 = 2 + i z 2 2 z − z 1 + z − z 2 = 16 M m z M 2 −m 2 15 7 11 8 z 1 1 3 z z i − = + P = z + i + 2 z − 4 + 7 i 8 10 2 5 4 5 z 1 ,z 2 z 1 + 2 − 3 i = 2 z 2 − 1 − 2 i = 1 P = z 1 −z 2 P = 6 P = 3 P = 3 + 34 P = 3 + 10 z z − 2 − 4 i= 5 z min z z = 4 + 5 i z = 3 + 2 i z = 2 − i z = 1 + 2 i A.. B.. C.. D.. Câu 117. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với là số phức khác và thỏa mãn. Tính tỷ số.
Câu 118. Cho các số phức thỏa mãn. Tìm giá trị nhỏ nhất của . A.. B.. C.. D.. Câu 119. Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích A.. B.. C.. D.. Câu 120. Xét các số phức ( ) thỏa mãn. Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A.. B.. C.. D.. Câu 121 số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. A.. B.. C.. D.. Câu 122. Cho các số phức , thỏa mãn và. Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A.. B.. C.. D.. Câu 123. Biết rằng. Tìm giá trị lớn nhất của module số phức?
Câu 124. Trong các số phức thỏa mãn , số phức có môđun nhỏ nhất là. A.. B.. C.. D.. Câu 125. Cho các số phức thỏa mãn. Tìm giá trị nhỏ nhất của. A.. B.. C.. D.. Câu 126. Cho số phức thỏa mãn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. A.. B.. C.. D.. Câu 127. Xét số phức thỏa mãn Mệnh đề nào dưới đây đúng? 5 2 13 10 10 M m P z i z \= + z 0 z ≥ 2 M m M 5 m \= M 3 m \= 3 4 M m \= 1 3 M m \= ####### z z 2 + 4 = ( z − 2 i )( z − 1 + 2 i ) P = z + 3 − 2 i min 7 2 P = Pmin = 3 Pmin = 4 Pmin = 2 z = x + yi x y ( , ∈ )z − 2 2 + z+ 2 2 = 26 3 3 2 2 z − − i xy. \= 9 2 xy = 13 2 xy = 16 9 xy = 9 4 xy z = a + bi a b, ∈ z − 3 − 2 i= 2 a +b z + 1 − 2 i + 2 z − 2 − 5 i 3 4 + 3 4 − 3 2 + 3 z z = 1 P = 1 + z + 3 1−z P = 3 15 P = 2 5 P = 2 10 P = 6 5 w z w i 3 5 5 ####### + = 5w = ( 2 + i )( z− 4 ) P = z − 1 − 2i + z− 5 −2i 6 7 4 + 2 13 2 53 4 13 z − 1 = 2 w = z + 2 i 2 + 5 2 + 5 5 − 2 5 − 2 z z = z − 2 + 4 i z = 3 + i z = 5 5 2 z = i z = 1 + 2 i z z − 3 = z +i P =z min 2 10 5 P = min 3 10 5 P = min 10 5 P = Pmin = 3 z z = 1 A = 1 + 5 i z 6 8 5 4 z 2 z − 1 + 3 z − i≤ 2 2. A.. B.. C.. D.. Câu 128. Cho số phức thỏa mãn. Giá trị lớn nhất của là A.. B.. C.. D.. 1 3 2 2 < z< 3 2 2 < z< z > 21 2 z < z z − 3 + 3 i = 2 z −i 8 9 6 7 ####### ⇔ ( ) 2 2 2 2 a b a b
⇔ a 2 + b 2 ≥ 2 2 ⇔ z ≥ 2 2 ⇒ min z = 2 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ 1 1 a = b (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2 2 a b = = ⇒ z = 2 + 2 i. Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = z −i. Tìm mô đun nhỏ nhất của số phức w = 2 z + 2 −i.
. B. 3 2 . C. 3 2. D. 3 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn A ####### Giả sử z = a + bi ⇒ z = a −bi. Khi đó z − 1 = z −i ⇔ a − 1 + bi = a + ( b − 1 )i. ####### ( ) ( ) ⇔ a − 1 2 + b 2 = a 2 + b − 12 ⇔ a − b = 0. ####### Khi đó w = 2 z + 2 −i = 2 ( a + ai ) + 2 − i = ( 2 a + 2 ) + i a( − 1 ). ####### ⇒ w = ( 2 a + 2 ) 2 + ( 2 a − 1 ) 28 2 4 5 3 2 \= a + a + ≥. Vậy mô đun nhỏ nhất của số phức w là 3 2 2 . Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4 i= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z.
####### Ta có 1 = z − ( 3 + 4 i ) ≥ 3 + 4 i −z = 5 − z ⇔ z≥ 5 − 1 = 4. Câu 5. Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 − 3 i+ 5 = 2 và iz 2 − 1 + 2 i= 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 iz 1 + 3 z 2. A. 313 + 16. B. 313. C. 313 + 8. D. 313 + 2 5. Hướng dẫn giải Chọn A ####### Ta có z 1 − 3 i + 5 = 2 ⇔ 2 iz 1 + 6 + 10 i = 4 ( ) 1 ; iz 2 − 1 + 2 i = 4 ⇔ ( − 3 z 2 )− 6 − 3 i= 12 ( 2 ). ####### Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2 iz 1 , B là điểm biểu diễn số phức − 3 z 2. Từ ( ) 1 và ( 2 )suy ####### ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 1 ( −6; − 10 )và bán kính R 1 = 4 ; điểm B nằm trên đường ####### tròn tâm I 2 ( 6;3)và bán kính R 2 = 12. Ta có T = 2 iz 1 + 3 z 2 = AB ≤ I I 1 2 + R 1 + R 2 = 12 2 + 132 + 4 + 12 = 313 + 16. Vậy max T = 313 + 16. Câu 6. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 − 3 i = z + 1 − 2 i, hãy tìm phần ảo của số phức có môđun nhỏ nhất? A. 10 13 . B. 2 5 . C. − 2. D. 2 13 −. Hướng dẫn giải Chọn A ####### Gọi z = a + bi, ( a b, ∈ R). z + 2 − 3 i = z + 1 − 2 i ⇔ a + bi + 2 − 3 i = a − bi + 1 − 2 i ####### ⇔ ( a + 2 ) 2 + ( b − 3 ) 2 = ( a + 1 ) 2 + ( b + 2 ) 2 ⇔ 2 a − 10 b+ 8 = 0 ####### 2 2 2 ( 5 4 ) 2 2 26 2 40 16 8 13 z = a + b = b − + b = b − b+ ≥. Suy ra: z có môđun nhỏ nhất khi 10 13 b =. ####### Câu 7. Xét các số phức z 1 = 3 − 4 i và z 2 = 2 + mi, ( m ∈ ). Giá trị nhỏ nhất của môđun số phức 2 1 z z bằng? A. 2 5 . B. 2. C. 3. D. 1 5 . Hướng dẫn giải Chọn A ####### ( )( ) ####### ( )( ) ####### 2 ( ) 1 2 2 3 4 6 4 3 8 6 4 3 8 3 4 3 4 3 4 25 25 25 z mi mi i m m i m m i z i i i \= + = + + = − + + = − + + − − + 2 2 2 1 6 4 3 8 25 25 z m m z ⇒ = − + + 2 2 2 1 2 36 48 16 9 48 64 25 z m m m m z ⇒ = − + + + + 2 2 2 2 1 2 1 25 100 4 4 2 25 25 25 5 z m z m z z ⇒ = + ⇒ = + ≥ =. Hoặc dùng công thức: 2 2 1 1 z z z z \=. Câu 8. Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | z | |= z − 3 + 4 |i : I 1 I 2 A B ⇔ ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 5 ( a 2 +b 2 ) ⇔ ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 20 (theo ( )* ).####### Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I ( −1; 2), bán kính R = 20 = 2 5. Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì w đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất. ####### Ta có OI = ( − 1 ) 2 + 22 = 5 , IM = R = 2 5. Mặt khác OM ≥ OI −IM ⇔ OM ≥ 5 − 2 5 ⇔ OM ≥ 5. Do vậy w nhỏ nhất bằng 5. Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i= 1 , số phức w thỏa mãn w − 2 − 3 i = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của z − w. A. 17 + 3 B. 13 + 3 C. 13 − 3 D. 17 − 3 Hướng dẫn giải Chọn D ####### Gọi M ( x y; ) biểu diễn số phức z = x + iy thì M thuộc đường tròn ( C 1 )có tâm I 1 ( 1;1), bán kính R 1 = 1. ####### N ( x ′; y′ )biểu diễn số phức w = x ′ + iy′ thì N thuộc đường tròn ( C 2 ) có tâm I 2 ( 2; − 3 ), bán kính R 2 = 2. Giá trị nhỏ nhất của z − w chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn MN. ####### Ta có I I 1 2 = ( 1; − 4 ) ####### ⇒ I I 1 2 = 17 > R 1 + R 2 ⇒ ( C 1 )và ( C 2 )ở ngoài nhau. ⇒ MN min= I I 1 2 − R 1 − R 2 = 17 − 3 Câu 12. Cho số phức ( ), 1 2 z m i m m m i \= − + ∈ − − . Tìm môđun lớn nhất của z.
. Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: ( )\= − + = + ⇒ = ≤ ⇒ = ⇔ = = − − 2 + 2 + 2 + max 1 1 1 ; 0 1 2 1 1 1 z m i m i z z z i m m m i m m m . Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − i = z − 3 i. Tính môđun nhỏ nhất của z − i.
. B. 4 5 5 . C. 3 5 5 . D. 7 5 10 . Hướng dẫn giải Chọn A ####### Gọi z = x + yi; ( x; y∈ )có điểm M ( x y; )biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. Từ giả thiết z + 1 − i = z − 3 i suy ra M ∈ ∆ : 2 x + 4 y− 7 = 0. ####### Ta có: z − i = x + ( y − 1 )i có điểm M ′ ( x y; − 1 )biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ. ####### Ta có: 2 x + 4 y − 7 = 0 ⇔ 2 x + 4 ( y − 1 ) − 3 = 0 ⇒ M ′ ∈ ∆′ : 2 x + 4 y− 3 = 0. Vậy min ( ) 2 23 3 ; , 2 4 10 z i d O ′ − − = ∆ = = + khi 3 8 10 5 z = + i. Câu 14. Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4 i = 5. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + 22 − z − i 2. Tính môđun của số phức w = M +mi. A. w = 2 309. B. w = 2315. C. w = 1258. D. w = 3 137. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt z = x + yi. Ta có P = ( x + 2 ) 2 + y 2 − x 2 + ( y − 1 ) 2 = 4 x + 2 y+ 3.Mặt khác z − 3 − 4 i = 5 ⇔ ( x − 3 ) 2 + ( y− 4 ) 2 = 5.Đặt x = 3 + 5 sint, y = 4 + 5 cost Suy ra P = 4 5 sin t + 2 5 cos t+ 23. Ta có − 10 ≤ 4 5 sin t + 2 5 cos t≤ 10. Do đó 13 ≤ P ≤ 33 ⇒ M= 33 , m = 13 ⇒ w= 332 + 132 = 1258. Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2 i= 3. Tìm môđun lớn nhất của số phức z −2 .i
Gọi z = x + yi ; ( x ∈ ; y ∈ ) ⇒ z − 2 i = x + ( y − 2 )i. Ta có:( ) ( )z − 1 + 2 i = 9 ⇔ x − 1 2 + y+ 2 2 = 9. Đặt x = 1 + 3 sin ;t y = − 2 + 3 cos ;t t∈ 0; 2 π. ⇒ − = ( + ) + −( + ) = + ( − ) = + ( + α ) ( α∈ )z 2 i 2 1 3 sin t 2 4 3 cos t 2 26 6 sin t 4 cos t 26 6 17 sin t ; ⇒ 26 − 6 17 ≤ z − 2 i ≤ 26 + 6 17 ⇒ z − 2 i max= 26 + 6 17. Câu 16. Giả sử z 1 , z 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz + 2 − i= 1 và z 1 − z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z 1 + z 2 bằng A. 3. B. 2 3. C. 3 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có iz + 2 − i = 1 ⇔ z − ( 1 + i 2 )= 1. Gọi z 0 = 1 + i 2 có điểm biểu diễn là I ( 1; 2 ).Gọi A , B lần lượt là các điểm biểu diễn của z 1 , z 2. Vì z 1 − z 2 = 2 nên I là trung điểm của AB. |
