Bài tập giải hệ phương trình tuyến tính khó
- 1. y z x y z x y z - + = ìï 2 3 7 1 3 9 2 3 + - = íï î- + - = 4 5 0
- 2. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính ,[2.1]
- 3. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 4. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 5. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình x x x x x x x x x x x x - + - = ìï - - + + = ïí 2 3 5 2 1 2 3 4 2 3 4 0 1 2 3 4 + - + = - ïïî - + - = 3 8 5 3 2 1 2 3 4 x x x 4 2 7 9 2 3 4
- 6. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 7. trình tuyến tính Đại Số Tuyến Tính å Ví dụ: Cho hệ phương trình x x x x x x x x ì 2 - 3 + 5 - = 2 1 2 3 4 é 2 - 3 5 - 1 ù ï ï- - 2 + 3 + 4 = 0 ê- 1 2 3 4 1 - 2 3 4 ú í « A = ê ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x = - 2 ê 3 8 - 5 3 ú 1 2 3 4 îï - 4 x + 2 x - 7 x = 9 ê ë 0 - 4 2 - 7 ú 2 3 4 û
- 8. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 9. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ: Cho hệ phương trình x x x x x x x x ì 2 - 3 + 5 - = 2 é 2 ù ï ï- 1 2 3 4 - 2 + 3 + 4 = 0 ê ú í 1 2 3 4 « B = ê 0 ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x = - 2 ê- 2 ú 1 2 3 4 îï - 4 x + 2 x - 7 x = 9 ê 9 ú 2 3 4 ë û
- 10. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 11. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 12. trình tuyến tính Đại Số Tuyến Tính å Ví dụ: Cho hệ phương trình 2 3 5 2 1 2 3 4 2 3 4 0 1 2 3 4 3 8 5 3 2 1 2 3 4 4 2 7 9 2 3 4 2 3 5 1 2 1 2 3 4 0 3 8 5 3 2 0 4 2 7 9 bs x x x x x x x x x x x x x x x A - + - = ìï - - + + = ïí + - + = - ïï î - + - = é - - ù ê- - ú « = ê ú ê - - ú ê - - ú ë û
- 13. Tính å §5: Hệ phương trình tuyến tính
- 14. trình tuyến tính Đại Số Tuyến Tính å Ví dụ: x y z 2 7 1 9 3 1 4 0 5 9 2 5 é ù é ù é ù ê - ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú êë úû êë úû êë úû x y z x y z x y z + + = ìï Û - + = íï î + + = 2 7 9 3 4 0 5 9 2 5
- 15. Tính å §5: Hệ Grame
- 16. Tính å §5: Hệ Grame
- 17. Tính å §5: Hệ Grame
- 18. Tính å §5: Hệ Grame
- 19. Tính å §5: Hệ Grame
- 20. Tính å §5: Hệ Grame Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
- 21. Tính å §5: Hệ Grame
- 22. Tính å §5: Hệ Grame
- 23. Tính å §5: Hệ Grame
- 24. Tính å §5: Hệ Grame Bài tập: Giải hệ phương trình sau: x x x x x x x x x - + = ìï 2 1 1 2 3 + - = íï î - + = 2 3 5 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 1 2 2 1 3 3 2 1 D - = - - 1 1 1 2 5 1 3 1 2 1 D - = - - 2 1 1 2 2 5 3 3 1 1 D = - 3 1 1 1 2 1 5 3 2 1 D - = - = --1199 == --2299 == --99 == --88
- 25. Tính å §5: Hệ Grame 1 1 2 2 3 3 19 8 29 8 9 8 x D D x D D x D D = = - - = = - - = = - -
- 26. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss CCáácc pphhéépp bbiiếếnn đđổổii ttưươơnngg đđưươơnngg hhệệ pphhưươơnngg ttrrììnnhh l ¹ 0 NNhhâânn mmộộtt ssốố [[ ]] vvààoo 22 vvếế ccủủaa 11 PPTT ccủủaa hhệệ.. ĐĐổổii cchhỗỗ hhaaii PPTT ccủủaa hhệệ.. NNhhâânn mmộộtt ssốố [[ ]] vvààoo mmộộtt PPTT rrồồii ccộộnngg vvààoo PPTT kkhháácc ccủủaa hhệệ.. l ¹ 0 1 x y z x y z x y z - + = ìï + - = íï + + = î 2 3 2 2 5 x y z x y z x y z - + = ìï Û + - = íï î + + = íï - + 1 = Û + + = î + - ìï = x y z x y z x y z 1 2 3 2 2 4 2 10 2 4 2 10 2 3 2
- 27. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng..
- 28. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Xét hệ phương trình tổng quát sau:
- 29. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Ta có ma trận bổ sung tương ứng
- 30. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 31. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng: a a a a b ' ' ... ' ... ' ' 0 ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... ... ... é ê 11 12 1 r 1 n 1 ù ê a a a b ú 22 2 r 2 n 2 ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú êë úû A a a b ' 0 0 ... ' ... ' ' r r r n r k 0 0 ... 0 ... 0 .. .. .. .. .. .. .. 0 0 ... 0 ... 0 0
- 32. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT ì + + + + + = ï + + + + = ïïíï a x a x a x a x b ' ' ... ' ... ' ' r r n n r r n n 11 1 12 2 1 1 1 a x a x a x b ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... 22 2 2 2 2 + + = ïïî + + + + + = x x x x k 1 2 a x a x b ' ... ' ' r r r r n n r 0 0 ... 0 ... 0 r n
- 33. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Khi đó ta có: 1. Nếu k ¹ 0 thì PT thứ [r +1] vô nghiệm suy ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu k = 0 thì hệ có nghiệm: a. Nếu r = n [số ẩn] thì hệ PT có nghiệm duy nhất. b. Nếu r < n [số ẩn] thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào [n – r] tham số.
- 34. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss a.Khi r = n [số ẩn] thì hệ PT [II] viết dưới dạng: a x a x a x a x b + + + + + = ìï ' ' ... ' ... ' ' r r n n r r n n 11 1 12 2 1 1 1 a x a x a x b + + + + = ïïïí ' ... ' ... ' ' ... ... ... ... ... 22 2 2 2 2 a x a x b + + = ïïï îï = ' ... ' ' ... ... ... rr r rn n r a x b ' ' nn n n
- 35. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss b. Khi r < n ta chuyển [n – r] ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau: a x a x a x a x a x b + + + = - - - + ìï ' ' ... ' ' ... ' ' r r r + r + n n 11 1 12 2 1 1[ 1] 1 1 1 a x a x a x a x b + + = - - - + ïíïï î = - - - + ' ... ' ' ... ' ' r r r + r + n n ... ... ... ... ... 22 2 2 2[ 1] 1 2 2 a x a x a x b ' ' ... ' ' r r r r [ r + 1] r + 1 r n n r Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
- 36. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 37. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss h 2 h h 4 h h h -+ 2 1 4 1 5 1 - ¾¾¾® ….
- 38. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 39. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Vậy hệ phương trình
- 40. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 41. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 42. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang: Abs ®...®
- 43. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 44. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 45. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
- 46. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Bài Tập: Giải hệ phương trình: x x x x x x x x - + + = ìï 2 2 1 2 3 4 + - - = ïí 2 3 2 2 1 2 3 4 x x x + - = - ïï î- + + - = 3 4 5 1 2 3 4 x x x x 2 3 0 1 2 3 4
- 47. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss é - ù 2 ê ú ¾¾¾¾®ê 2 2 1 - - - 4 4 1 ú 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 3 4 5 1 0 0 4 2 2 = - = + ê - - ú ê - ú ë û h h h h h h é 1 - 1 2 1 2 ù ê ê 2 1 - 3 - 2 2 ú ú ê 0 3 4 - 5 - 1 ú ê- ë 1 1 2 - 3 0 ú û é - ù ê ¾¾¾¾®ê - - - ú 3 3 2 ú 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 0 11 1 1 0 0 4 2 2 = - ê - ú ê - ú ë û h h h é - ù ê - - - ú ¾¾¾¾¾®ê 4 11 4 4 3 ú 1 1 2 1 2 0 3 7 4 2 0 0 11 1 1 0 0 0 18 18 = - ê - ú ê - ú ë û h h h HD: …
- 48. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Bài Tập: Giải hệ phương trình: x x x x x x x x x x x x x x x x - - + = ìï - + + - = - ïí - + + - = - ïï î - - + = 2 5 1 3 4 3 1 4 7 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 5 8 2 1 2 3 4
- 49. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss * Biện luận theo m số nghiệm của hệ: é 1 2 - 1 1 1 ù ê 0 1 3 2 2 ú = ê ú ê 0 0 - 1 - 2 3 ú ê ë 0 0 0 - 1 - 1 ú û x y z t + - + = ìï 2 1 y z t + + = ïí 3 2 2 z t m t m - - 2 = 3 î 2 - = ïï - [ 1] 1 +m = -1Þr[A] = 3 ¹ r[Abs ] = 4Þ 2 Abs m m + m =1Þr[A] = r[Abs ] = 3 < nÞ Hệ vô nghiệm Hệ có VSN +m ¹ ±1Þr[A] = r[Abs ] = nÞ Hệ có Ng duy nhất
- 50. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình + - + = ìï + + + = ïí 2 2 1 2 5 3 0 - - = ïï î - + + = 2 3 3 1 x y z t x y z t y z t x y z mt
- 51. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp é 1 2 - 1 2 1 ù ê ®ê 0 1 5 - 3 - 2 ú ú ê 0 0 - 7 0 5 ú ê ë 0 0 0 7 - 77 43 ú û Abs m >m =11Þr[A] = 3 < r[Abs ] = 4Þhệ vô nghiệm >m ¹ 11Þr[A] = r[Abs ] = 4Þhệ có nghiệm duy nhất
- 52. Tính å §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình x y z x y mz x y z + + = ìï - + + = íï î - + = 3 2 1 2 3 2 3 4 2 1
- 53. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 54. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Dạng ma trận của phương trình tuyến tính thuần nhất là AX=0. [2.2.1]
- 55. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 56. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 57. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung é ê n ù ú = ê ú ê ú ê ú êë úû a a a a a a 11 12 1 21 22 2 bs n 1 2 .. 0 .. 0 .. .. .. .. .. .. 0 m m mn A a a a Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số
- 58. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp: Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình
- 59. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: [0,0,…,0]. Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường.
- 60. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 61. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.
- 62. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 63. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 64. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất é - ù 1 2 1 0 3 1 0 0 2 A ¾¾¾¾®ê ú ê ú êë m + úû m = -2Þr[A] < 3 Ta có: Biến đổi sơ cấp Do đó với Vậy với m =-2 thì hệ có nghiệm không tầm thường
- 65. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất
- 66. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.
- 67. Tính å §5: Hệ PTTT thuần nhất Ta có 1 2 1 det[ ] 2 1 3 1 1 A m - = - - - = [3m+ 6] = 0 Ûm = -2