Bài giảng toán cao cấp không gian vecto

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ

1. Chương 3 . KHÔNG GIAN VECTƠ Đặt V= Rn ={(x1,x2, …, xn): xiR}. Cho x = (x1, x2, …, xn) và y = (y1, y2, …, yn) là các phần tử của Rn, r là số thực tùy ý. Ta định nghĩa các phép toán: x+y = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) rx= (rx1, rx2, …, rxn). Các phép toán này có các tính chất sau đây
2. ➢ Chương 3. Không gian vector 1) (x y) z x (y z ), x , y, z V; 2) V :x x x, x V; 3) x V, ( x) V : ( x) x x ( x) ; 4) x y y x, x, y V; 5) (x y) x y, x, y V, ; 6) ( )x x x, x V, , ; 7) ( )x ( x ), x V, , ; 8) 1.x x, x V. Trong đó, V được gọi là vector không.
3. ➢ Chương 3. Không gian vector 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace) ▪ Định nghĩa Cho kgvt V , tập W V được gọi là không gian vector con của V nếu W cũng là một kgvt. ▪ Định lý Cho kgvt V , tập W V là kgvt con của V nếu: x, y W , thì (x y) W . VD 2. • Tập W { } là kgvt con của mọi kgvt V . n • Tập W ( , 0,..., 0) là kgvt con của . ……………………………………………………
4. ➢ Chương 3. Không gian vector §2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. Định nghĩa Trong kgvt V , xét n vector ui (i 1,..., n ). Khi đó: n • Tổng 1u1 u 2 2 ... u n n u, i i i , i 1 được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui . • Hệ gồm n vector {u1, u2,..., un } được gọi là độc lập tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: n u i i thì i 0, i 1,..., n . i 1
5. ➢ Chương 3. Không gian vector • Hệ {u1, u2,..., un } không là độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt). VD 1. Trong 2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: A {u1 (1; 1), u2 (2; 3)}. Giải. Ta có: u 1 1 u 2 2 1 (1; 1) 2 (2; 3) (0; 0) 1 2 2 0 1 0 . 1 3 2 0 2 0 Vậy hệ A là độc lập tuyến tính.
6. ➢ Chương 3. Không gian vector 3 VD 2. Trong , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: B {u1 ( 1; 3; 2), u2 (2; 0; 1), u3 (0; 6; 5)}. Giải. Ta có: 3 1 2 2 0 u i i 3 1 6 3 0 (I). i 1 2 1 2 5 3 0 1 2 0 Hệ (I) có ma trận hệ số A 3 0 6 . 2 1 5
7. ➢ Chương 3. Không gian vector 1 2 0 1 2 0 Do A 0 6 6 0 1 1 r (A) 3, 0 5 5 0 0 0 nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường. Vậy hệ B là phụ thuộc tuyến tính.
8. ➢ Chương 3. Không gian vector 2.2. Định lý Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của n 1 vector còn lại. Nghĩa là: uj u ... 1 1 u j 1 j 1 u j 1 j 1 ... u . n n ▪ Hệ quả • Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính. • Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt.
9. ➢ Chương 3. Không gian vector n 2.3. Hệ vector trong n Xét m vector ui (ai 1, ai 2,..., ain ), i 1, m trong . Ma trận A aij được gọi là ma trận dòng của hệ m n m vector {u1, u2,..., um }. VD 6. Hệ {u1 (1; 1; 2), u2 (4; 2; 3)} 1 1 2 có ma trận dòng là A . 4 2 3
10. ➢ Chương 3. Không gian vector ▪ Định lý Trong n , cho hệ gồm m vector {u1, u2,..., um } có ma trận dòng là A . Khi đó: • Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A) m. • Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A) m. ▪ Hệ quả n • Trong , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt. • Trong n , hệ n vector đltt det A 0.
11. ➢ Chương 3. Không gian vector VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector: a) B1 {( 1; 2; 0), (2; 1; 1)} ; b) B2 {( 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}. Giải a) Ta có: 1 2 0 1 2 0 A r (A) 2. 2 1 1 0 5 1 Vậy hệ B1 độc lập tuyến tính.
12. ➢ Chương 3. Không gian vector b) Ta có: 1 2 0 1 2 0 A 1 5 3 0 7 3 r (A) 2 3. 2 3 3 0 7 3 Vậy hệ B2 phụ thuộc tuyến tính.
13. ➢ Chương 3. Không gian vector VD 8. Trong 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt: {( m; 1; 1), (1 4m; 3; m 2)}. m 1 1 Giải. Ta có: A . 1 4m 3 m 2 1 m 1 1 m 1 A . 3 1 4m m 2 0 1 m m 1 Vậy hệ pttt r (A) 2 m 1.
14. ➢ Chương 3. Không gian vector VD 9. Trong 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt: {(m; 1; 1), (1; m; 1), (1; 1; m)} . m 1 1 Giải. Ta có: A 1 m 1 . 1 1 m Hệ đltt det A 0 m 1 1 m 2 1 m 1 0 . m 1 1 1 m
15. ➢ Chương 3. Không gian vector VD 10. Trong 4 , cho 4 vector: u1 (1; 1; 0; 1), u2 (m; m; 1; 2) , u3 (0; 2; 0; m), u4 (2; 2; m; 4). Điều kiện m để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 ? Giải. Do u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 nên a,b, c không đồng thời bằng 0 thỏa: u1 au2 bu3 cu4 .
16. ➢ Chương 3. Không gian vector Suy ra hệ: ma 2c 1 ma 2b 2c 1 có nghiệm không tầm thường. a mc 0 2a mb 4c 1
17. ➢ Chương 3. Không gian vector m 0 2 1 m 2 2 1 Ta có: A B 1 0 m 0 2 m 4 1 m 0 2 1 1 0 m 0 0 2 0 2 0 1 0 1 1 0 m 0 m 0 2 1 0 m 4 2m 1 0 m 4 2m 1
18. ➢ Chương 3. Không gian vector 1 0 m 0 0 1 0 1 0 0 2 m2 1 0 0 4 2m 1 m 1 0 m 0 0 1 0 1 2 . 0 0 2 m 1 0 0 0 m3 m2 4m 2
19. ➢ Chương 3. Không gian vector Vậy để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u3 , u4 thì: 2m 3 2m 2 8m 4 0 r (A) r AB 2 2 m 0 m 1 m 1 3. ………………………………………………………………………
20. ➢ Chương 3. Không gian vector §3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT TỌA ĐỘ CỦA VECTOR 3.1. Cơ sở của không gian vector ▪ Định nghĩa Trong kgvt V , hệ n vector F {u1, u2, , un } được gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F .