Bài 43 trang 11 sbt toán 9 tập 1 năm 2024
|
Bài 42 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó: Lời giải: * Nếu x > 0 thì |x| = x Ta có: 4x - √8 + |x| = 4x - √8 +x = 5x - √8 Với x = -√2 ta có: 5(-√2 ) - 8 = -5√2 - 2√2 = -7√2 * Nếu -2 < x < 0 thì |x| = -x Ta có: 4x - √8 + |x| = 4x - √8 - x = 3x - √8 Với x = -√2 ta có: 3(-√2 ) - √8 = -3√2 - 2√2 = -5√2 Bài 43 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x thỏa mãn điều kiện: Lời giải:
Bài 44 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b, không âm. Chứng minh: (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải: Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên √b xác định Ta có: (√a - √b )2 ≥ 0 ⇔ a - 2√ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2√ab ⇔ Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Bài 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm) Lời giải: Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên √b xác định Ta có: (√a - √b )2 ≥ 0 ⇒ a - 2√ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2√ab ⇒ a + b + a + b ≥ a + b + 2√ab ⇒ 2(a + b) ≥ (√a )2 + 2√ab + (√b )2 (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm) Bài 46 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a dương, chứng minh a + 1/a ≥ 2 Lời giải: (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm) \(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2\)
Gợi ý làm bài
\(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0\) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \) Trường hợp 2: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \le 0 \hfill \cr x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \le 3 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1,5 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \) Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \) Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \) Với x ≥ 1,5 ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \) Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện. Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\)
Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \) Trường hợp 2: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \) Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \) Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \) Với x ≥ -0,75 ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \) Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\) Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho hai số a, b không âm. Chứng minh: \({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Gợi ý làm bài Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh \(\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}\) Gợi ý làm bài Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \) \( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \) \( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\) |
