Với Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với d’ và chứa d1
- Viết phương trinh mặt phẳng [Q] song song với d’ và chứa d2
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q]
Cách 2:
M = d ∩ d1; N = d ∩ d2
Vì d // d’ nên
Ví dụ: 1
Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1, d2 và song song với d3 lần lượt là
- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [P] là
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [2; -2; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 1.[x – 2] – 1.[y + 2] + 1. [z – 1] = 0 hay x – y + z – 5 = 0
- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với d3
Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là
=>
Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của [Q] là
Một điểm thuộc d2 là điểm thuộc [Q] là : [7; 3; 9]
Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 7] + 1.[y – 3] + 2. [z – 9] = 0 hay y + 2z – 21 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đặt z = t, ta có:
Vậy phương trình tham số của d là:
Chọn A.
Ví dụ: 2
Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương là :
Trục Ox có vecto chi phương
- Mặt phẳng [P] chứa d1 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của [P] là
=>
Một điểm thuộc d1 là điểm thuộc [P] là : [0; 0; 1]
Phương trình mặt phẳng [P] là: 0.[x – 0] + 3.[y – 0] – 2 . [z – 1] = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0
- Mặt phẳng [Q] chứa d2 và song song với Ox
Ta có vectơ pháp tuyến của [Q] là
=>
Một điểm thuộc d2 là 1 điểm thuộc [Q] là : [2; -1; -1]
Phương trình mặt phẳng [Q] là: 0.[x – 2] + 2.[y + 1] – 3 . [z + 1] = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0
- Đường thẳng cần tìm d = [P] ∩ [Q] nên
Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy phương trình tham số của d là:
Cách 2:
M = d ∩ d1 => M [t; 2t; 1+ 3t]
N = d ∩ d2 => N [2-t’; -1+3t’; -1+2t’]
Ox có 1 vectơ chỉ phương là
=>
=>
d//Ox nên
Vậy phương trình của d là:
Chọn C.
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A .
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A [- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a]
Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ 1+ b; 2b; - 1+ 3b]
Vecto
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto
=> có một số k thỏa mãn
=> Tọa độ A[ 2; 3; 3] và B[2; 2; 2]
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ 2; 3; 3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ a; 3- 2a; 1- a]
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ 1- b;2+ 2b; - 2] .
=> Vecto
+ Đường thẳng MN nhận vecto
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto
⇔
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Trục Ox: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto
=> phương trình trục Ox:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Ox lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; - 3+ 3a; - 2a]
+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B[ b; 0; 0] .
=> Vecto
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto
⇔
=> tọa độ A[ 2;0; - 2] và B[ 2; 0; 0 ]
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A[ 2; 0; -2] và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[ 0; 1;1] .
+ Đường thẳng AB đi qua A [1; 0; -2] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H [ - a; - 1+ 2a; 3+ a]
+ Do K thuộc AB nên K[ 1- b; b; - 2+ 3b]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto
=> Hai vecto
=> Tọa độ
Chọn C.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A. [ -1; 2; 0]
B. [0; -2; - 3]
C. [2; 3; 1]
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[ -1; 2; 1] và hận vecto
=> PHương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M[ - 2; 1+ m; 2]
+ Do N thuộc AB nên N[ -1+ n; 2- n; 1]
=> Đường thẳng d nhận vecto
Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto
=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.
Chọn D
Ví dụ: 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi
Do
⇔
Đường thẳng Δ đi qua N[ 0; -1; 1] và có vectơ chỉ phương
⇒Δ:
Chọn C.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; - 1+ a;a]
Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+ b; 2+ 2b; b]
=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
Vì Δ// mp [P] nên
=>
Khi đó
Theo đề bài:
⇔ 2a2+ 27 = 29 ⇔ a2= 1
⇔
Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là
Chọn A.
Câu 1:
Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1, d2 và song song với d3 biết
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1; d2lần lượt là A và B
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 2a; -2+ a; -1]
+ Do B thuộc d2 nên tọa độ B[ b; 0; b]
=> Đường thẳng d nhận vecto
+ đường thẳng d3 có vecto chỉ phương
=> Hai vecto
⇔
=> Tọa độ giao điểm của d và d2 là:
Chọn A.
Câu 2:
Cho 2 đường thẳng
A. N[0;0;-3]
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi M = d ∩ d1 => M [ - 2- m; 2m; - 2m]
Gọi N = d ∩ Oz => N [ 0; 0; n]
Vecto
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là
Lại có đường thẳng d// d2 nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương
=> Vecto u→ cùng phương với
=>
=> là giao điểm của d và Oz
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A .
B.
C.
D.
Lời giải:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm
Gọi giao điểm của Δ với d1 và d2 lần lượt là A và B.
Do A thuộc d1 nên tọa độ A [ -2a; 1+3a; 1+ 2a]
Do B thuộc d2 nên tọa độ B [ - 2b; 1+ b; - 1+ b]
Vecto
+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương
=> hai vecto
=> Tọa độ A[ - 2; 4; 3] và B[ - 6; 4; 2]
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[ - 2; 4; 3] và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn D.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1; 2a; 1-a]
+ Điểm B thuộc d2 nên B[ - b; 2; -2+ b] .
=> Vecto
+ Đường thẳng MN nhận vecto
+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là
=> Hai vecto
=> Tọa độ của
Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Trục Oy: đi qua O [0; 0; 0]và nhận vecto
=> phương trình trục Oy:
+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d1 và trục Oy lần lượt là A và B.
+ Do A thuộc d1 nên tọa độ A[ 1+ a; -a; -2]
+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B[0; b; 0] .
=> Vecto
+ Trục Oz có vecto chỉ phương là:
Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
=> Hai vecto
=> tọa độ A[0; 1; - 2] và B[ 0; 1; 0 ]
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B[ 0; 1; 0] và có vecto chỉ phương là :
=> Phương trình đường thẳng d:
Chọn A.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.[-2;1;0]
B. [ -2; 1; 2]
C. [-2; 1; -4]
D. Tất cả sai
Lời giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M[-2; 1; -2] .
+ Đường thẳng AB đi qua A [-2; 1; -3] và nhận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d1 và AB lần lượt là H và K
+ Do H thuộc d1 nên H [ 1+ a; 2a; -1+ a ]
+ Do K thuộc AB nên K[ - 2; 1; - 3+ b]
Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto
=> Hai vecto
=> Tọa độ K[ - 2; 1; - 4]
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
+ Đường thẳng AB: Đi qua A[0;1;2] và hận vecto
=> Phương trình đường thẳng AB:
+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d1 và AB lần lượt tại M và N .
+ Do M thuộc d1 nên M[ 1+ m; 1- m; - 1]
+ Do N thuộc AB nên N[ 2n; 1+ n; 2]
=> Đường thẳng d nhận vecto
+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là
=> 2 vecto
=>
+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N[ 2/3; 4/3;2] và có vecto chỉ phương .
=> Phương trình d:
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+ Điểm A thuộc d1 nên A[ 1+ 2a; a; - 2- a]
Điểm B thuộc d2 nên B[ 1+b; -2+ 3b; 2- 2b]
+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
+ Mặt phẳng [ P] có vectơ pháp tuyến
+ Vì đường thẳng Δ// [ P] nên
=>
⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1
=>
Khi đó :
Dấu “=” xảy ra khi
Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương
Vậy phương trình của Δ là:
Chọn B.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M[ 2+ t; 1+ 2t;1- t]
+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N[ -t; - 5- 2t;1+ t] .
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A[1; -2; 1] và có vectơ chỉ phương
=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:
Chọn C.