Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là
|
Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Hình thoi trong hình học Euclide là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Các hình thoi Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Trong hình thoi:
Diện tích của hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo: S = 1 2 ( d 1 × d 2 ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(d_{1}\times d_{2})}Chu vi của hình thoi bằng độ dài một cạnh nhân với 4: P = a × 4 {\displaystyle P={a\times 4}}
Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của hình bình hành và còn có một số tính chất khác:
Bài 1: Hãy chọn câu sai. A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng nhau là hình thoi C. Hình bình hành có đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
Lời giải + Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi + Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi + Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi Nên A, C, D đúng, B sai Đáp án cần chọn là: D Bài 2: Điền từ thích hợp vào chỗ trống: “Tứ giác có hai đường chéo … là hình thoi” A. bằng nhau B. giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau C. giao nhau tại trung điểm mỗi đường D. bằng nhau và giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Lời giải + Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi Nên tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau là hình thoi Đáp án cần chọn là: B Bài 3: Hình thoi không có tính chất nào dưới đây? A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi C. Hai đường chéo bằng nhau D. Hai đường chéo vuông góc với nhau
Lời giải Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành + Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau + Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngoài ra còn có + Hai đường chéo vuông góc với nhau + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi Đáp án cần chọn là: C Bài 4: Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống: “Hình thoi có hai đường chéo …” A. cắt nhau tại trung điểm mỗi đường B. là các đường phân giác của các góc của hình thoi C. vuông góc với nhau D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành: + Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau. + Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngoài ra còn có: + Hai đường chéo vuông góc với nhau + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi Đáp án cần chọn là: D Bài 5: Cho các hình sau, chọn khẳng định đúng.  A. Cả ba hình đều là hình thoi B. Hình 1 và hình 2 là hình thoi C. Chỉ hình 1 là hình thoi D. Cả ba hình đều không phải hình thoi
Lời giải Hình 1 là hình thoi vì có hai đường cheo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau Đáp án cần chọn là: C Bài 6: Tứ giác dưới đây là hình thoi theo dấu hiệu nào? A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau B. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau D. Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
Lời giải Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi nên A đúng. Đáp án cần chọn là: A Bài 7: Hình thoi có chu vi bằng 20cm thì độ dài cạnh của nó bằng A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0) Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 20 ⇔ a = 5cm Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm Đáp án cần chọn là: B Bài 8: Hình thoi có chu vi bằng 36cm thì độ dài cạnh của nó bằng A. 12cm B. 4cm C. 9cm D. Đáp án khác
Lời giải Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0) Vì hình thoi có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 36 ⇔ a = 9cm Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm Đáp án cần chọn là: C Bài 9: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi. Hãy chọn câu đúng.
Lời giải
Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 16 : 4 = 4cm. Suy ra AD = 4cm Đáp án cần chọn là: A Bài 10: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24 cm,đường cao AH bằng 3cm. Tính
Lời giải Vì chu vi hinh thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 24 : 4 = 6cm. Suy ra AD = 6cm Đáp án cần chọn là: D Bài 11: Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi. Hãy chọn câu đúng. A. MP = QN B. AC ⊥ BD C. AB = AD D. AC = BD
Lời giải
+ Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC; MN = Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên PQ // AC; PQ = Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ Mà MN = Suy ra AC = BD Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD Đáp án cần chọn là: D Bài 12: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng: A. 450 B. 900 C. 600 D. 750
Lời giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD. Xét tứ giác EDFB có Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒ EP = Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒ QF = Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF Xét tứ giác EPFQ có Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ. Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC) Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD ⇒ Đáp án cần chọn là: B Bài 13: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
Lời giải Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =10cm, BD = 24cm Do ABCD là hình thoi nên:
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có: AB2 = AH2 + HB2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 Suy ra AB = 13cm Đáp án cần chọn là: B Bài 14: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12cm và 16cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. A. 12cm B. 8cm C. 20cm D. 10cm
Lời giải Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC =12cm, BD = 16cm Do ABCD là hình thoi nên:
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có: AB2 = AH2 + HB2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 Suy ra AB = 10cm Đáp án cần chọn là: D Bài 15: Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. 1. Tứ giác AMBM’ là hình gì? A. Hình thoi B. Hình chữ nhật C. Hình bình hành D. Hình thang
Lời giải Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’ (1) M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC. Suy ra MD // AC (2) Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC (2) Từ (1) và (2) suy ra DM ⊥ AB ⇒ MM’ ⊥ AB. Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành. Mặt khác MM’ ⊥ AB nên AMBM’ là hình thoi. Đáp án cần chọn là: A 2. Cho BC = 4cm. Tính chu vi tứ giác AMBM’. A. 6cm B. 9cm C. 16cm D. 8cm
Lời giải Vì BC = 4cm nên BM = Chu vi tứ giác AMBM’ bằng 4.BM = 4.2 = 8cm Đáp án cần chọn là: D Bài 16: Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứu tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. 1. Tứ giác AGCH là hình gì? A. Hình thoi B. Hình chữ nhật C. Hình bình hành D. Hình thang
Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi) Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A. Suy ra HO = OG (2) Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi. Đáp án cần chọn là: A 2. Cho OC = 4; OH = 3. Tính chu vi tứ giác AHCG. A. 20 cm B. 24 cm C. 16 cm D. 8 cm
Lời giải Vì OC = 4; OH = 3 nên Vì AHCG là hình thoi (theo câu trước) nên chu vi tứ giác AHCG bằng 4.CH = 4.5 = 20cm. Đáp án cần chọn là: A Bài 17: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là hình thoi? A. AC = BD B. AC ⊥ BD C. AB = DC D. AB // DC
Lời giải Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EF là đường trung bình của ΔABC. Suy ra EF // AC và EF = Tương tự ta có: HG // AC và HG = Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành. Muốn cho tứ giác EFGH là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau. Nên EH = EF ⇔ AC = BD Đáp án cần chọn là: A Bài 18: Cho tam giác ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chọn câu đúng nhất. A. PQ vuông góc với MN B. Tứ giác PMQN là hình thoi C. Cả A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai
Lời giải Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình). Đặt BD = CE = 2a Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
Suy ra MN = NP = PQ = QM Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MNPQ ta được: MN ⊥ PQ Đáp án cần chọn là: C Bài 19: Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chọn câu đúng nhất. A. IK vuông góc với MN B. MN là phân giác C. Cả A, B đều đúng D. Cả A, B đều sai
Lời giải Từ giả thiết ta có: KM, IM, IN, KN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA (định nghĩa đường trung bình). Đặt BA = CD = 2a. Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
Suy ra MK = KN = NI = IM. Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi KMIN ta được: MN ⊥ KI; MN là đường phân giác Đáp án cần chọn là: C Bài 20: Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.
Lời giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến canh CD. Từ giả thiết ta có: AH ⊥ DC, CH = HD suy ra AH là đường trung trực của đoạn CD nên AC = CD. (1) Do ABCD là hình thoi nên AD = CD (2) Từ (1) và (2) suy ra AD =CD = AC nên tam giác ACD là tam giác đều, do đó Vì góc A và góc D là hai góc trong cùng phía của AB // CD nên chúng bù nhau hay  = 1800 – 600 = 1200. Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được: Đáp án cần chọn là: D Bài 21: Cho tứ giác ABCD có A. 750 B. 950 C. 1050 D. 1200
Lời giải Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD. Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EG = ½BC, EG // BC. Chứng minh tương tự ta cũng có:
Mà AD = BC (gt), nên EG = GF = FH = HE Đáp án cần chọn là: C Bài 22: Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM. ID cắt EF tại K. Chọn câu sai. A. M, H, K thẳng hang B. ΔIED đều C. Tứ giác EIFD là hình thoi D. ID > IF
Lời giải Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: EI = IM = IA = Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: Do đó: Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF. Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi. Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID. Gọi N là trung điểm của AH. Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác. Do đó AN = NH = HD. Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN). Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – clit) nên M, H, K thẳng hang. Vậy D sai vì ID = IF. Đáp án cần chọn là: D |
