VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Nhắc lại: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [d] là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng [d]. Kí hiệu: PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng [a]. Như vậy, muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau: Cách 1: Bước 1. Tìm hình chiếu H của 0 lên [a]. Tìm mặt phẳng [8] qua 0 oà vuông góc với [a]. Tìm A = [a] [B]. Trong mặt phẳng [8], kẻ OH IA tại H. PH là hình chiếu vuông góc của O lên [a]. Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ 0 đến [a]. Lưu ý: Chọn mặt phẳng [8] sao cho dễ tìm giao tuyến với [a]. Cách 2: Nếu đã có trước đường thẳng d [a] thì kẻ Ox cắt [a] tại H. Lúc đó, H là hình chiếu Ouông góc của. Một số chú ý và thủ thuật giải khoảng cách quan trọng: Chú ý đến việc đưa bài toán tìm khoảng cách từ một điểm [đề bài cho bất kỳ đến một mặt phẳng về bài toán tìm khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đó và tìm mối liên hệ giữa hai khoảng cách này. Từ đó suy ra được khoảng cách theo yêu cầu của đề bài. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau: Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau: SA = SB = SC = SD. Khi đó hình chiếu 0 của S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh [ A, B, C, D,…] nằm trên mặt đáy. Nếu đáy là: Tam giác đều, O là trọng tâm. Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền. Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao điểm của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi đường. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách: Đưa bài toán khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của khối đa diện mà khối đa diện đó có thể xác định được dễ dàng thể tích và diện tích đáy. Phương pháp này được sử dụng trong trường hợp không thể tính được khoảng cách bằng cách công cụ tính toán như: định lí Pytago, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý cô-sin.
Các bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng hay gặp. Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên. Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên [SAB]. Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng [chứa đường cao]. Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên [SHB].
11:45:1631/10/2020
Ở các lớp trước các em đã làm quen với khái niệm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian. Ở chương trình toán 12 với không gian tọa độ, việc tính toán khoảng cách được cho là khá dễ với nhiều em, tuy nhiên đừng vì thế mà các em chủ quan nhé.
Bài viết dưới đây chúng ta cùng ôn lại cách tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz. Đồng thời qua đó giải các bài tập vận dụng để các em dễ dàng ghi nhớ công thức hơn.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng bài tập về mặt phẳng trong không gian Oxyz cực hay
I. Công thức cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong Oxyz
- Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M[xM, yM, zM] đến mặt phẳng [α]: Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz
* Bài 1 [Bài 9 [trang 81 SGK Hình học 12]: Tính khoảng cách từ điểm A[2; 4; -3] lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a] 2x – y + 2z – 9 = 0 [α]
b] 12x – 5z + 5 = 0 [ β]
c] x = 0 [ γ;]
* Lời giải:
a] Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp [α] là:
b] Ta có: Khoảng cách từ điểm A tới mp [β] là:
c] Ta có: khoảng cách từ điểm A tới mp [γ] là:
* Bài 2: Cho hai điểm A[1;-1;2], B[3;4;1] và mặt phẳng [P] có phương trình: x + 2y + 2z - 10 = 0. Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng [P].
* Lời giải:
- Ta có:
- Tương tự:
* Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P] và [Q] cho bởi phương trình sau đây :
[P]: x + 2y + 2z + 11 = 0.
[Q]: x + 2y + 2z + 2 = 0.
* Lời giải:
- Ta lấy điểm M[0;0;-1] thuộc mặt phẳng [P], kí hiệu d[[P],[Q]] là khoảng cách giữa hai mặt phẳng [P] và [Q], ta có:
⇒ d[[P],[Q]] = 3.
* Bài 4: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A[2;3;4] và mặt phẳng [P]: 2x + 3y + z - 17 = 0.
* Lời giải:
- Xét điểm M[0;0;z] ∈ Oz, ta có :
- Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng [P] là:
⇒ Vậy điểm M[0;0;3] là điểm cần tìm.
* Bài 5: Cho hai mặt phẳng [P1] và [P2] lần lượt có phương trình là [P1]: Ax + By + Cz + D = 0 và [P2]: Ax + By + Cz + D' = 0 với D ≠ D'.
a] Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng [P1] và [P2].
b] Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng [P1] và [P2].
* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với [P1]: x + 2y + 2z + 3 = 0 và [P2]: 2x + 4y + 4z + 1 = 0.
* Lời giải:
a] Ta thấy rằng [P1] và [P2] song song với nhau, lấy điểm M[x0; y0; z0] ∈ [P1], ta có:
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ⇒ [Ax0 + By0 + Cz0] = -D [1]
- Khi đó, khoảng cách giữa [P1] và [P2] là khoảng cách từ M tới [P2]:
b] Mặt phẳng [P] song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng [P]: Ax + By + Cz + E = 0. [2]
- Để [P] cách đều hai mặt phẳng [P1] và [P2] thì khoảng cách từ M1[x1; y1; z1] ∈ [P1] đến [P] bằng khoảng cách từ M2[x2; y2; z2] ∈ [P2] đến [P] nên ta có:
mà [Ax1 + By1 + Cz1] = -D ; [Ax2 + By2 + Cz2] = -D' nên ta có:
[3]
vì E≠D, nên:
⇒ Thế E vào [2] ta được phương trình mp[P]: Ax + By + Cz + ½[D+D'] = 0
* Áp dụng cho trường hợp cụ thể với [P1]: x + 2y + 2y + 3 = 0 và [P2]: 2x + 4y + 4z + 1 = 0.
a] Tính khoảng cách giữa [P1] và [P2]:
- mp[P2] được viết lại: x + 2y + 2z + ½ = 0
b] Ta có thể sử dụng 1 trong 3 cách sau:
- Cách 1: áp dụng kết quả tổng quát ở trên ta có ngay phương trình mp[P] là:
- Cách 2: [Sử dụng phương pháp qũy tích]: Gọi [P] là mặt phẳng cần tìm, điểm M[x; y; z] ∈ [P] khi:
- Cách 3: [Sử dụng tính chất]: Mặt phẳng [P] song song với hai mặt phẳng đã cho sẽ có dạng:
[P]: x + 2y + 2z + D = 0.
+ Lấy các điểm
+ Mặt phẳng [P] cách đều [P1] và [P2] thì [P] phải đi qua M nên ta có:
* Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm I[1;4;-6] và mặt phẳng [α]: x - 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng [α].
* Lời giải:
- Phương trình mặt cầu tâm I[xi; yi; zi] bán kính R có dạng:
[x - xi]2 + [y - yi]2 + [z - zi]2 = R2
- Nên theo bài ra I[1;4;-6] pt mặt cầu [S] có dạng:
[x - 1]2 + [y - 4]2 + [z + 6]2 = R2
- Vì mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [α] nên khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới mặt phằng phải bằng R, nên có:
⇒ Phương trình mặt cầu tâm I[1;4;-6] bán kính R=5 là:
[x - 1]2 + [y - 4]2 + [z + 6]2 = 25
Như vậy, từ việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng trong không gian tọa độ, các em cũng sẽ dễ dàng tính được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz qua việc vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Các em có thể tham thêm bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong Oxyz để có thể nắm bắt một cách tổng quát nhất về các phương pháp giải toán mặt phẳng.
Hy vọng với bài viết về công thức cách tính Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz của Hay Học Hỏi ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.