Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó

CáchViết phương trình đường thẳngcắt d1và d2đồng thời song song với d [hoặc vuông góc với [P], hoặc đi qua điểm M].

Phương pháp viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt hai đường thẳng d1 và d2

Giả sửcắtd1vàd2lần lượt tạiAvàB, ta tham số hóa 2 điểm $A\in {{d}_{1}};B\in {{d}_{2}}$theo ẩntvàu.

Do $\Delta //d\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{u}_{d}}}\Rightarrow t;u\Rightarrow $tọa độ các điểm A,B.

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý:

RTrường hợp:$\Delta \bot [P]\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\Rightarrow $t và u.

RTrường hợp:đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.

Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Lấy $M\in {{d}_{1}}\Rightarrow M[1+2t;-1-t;t];N\in {{d}_{2}}\Rightarrow N[-1+u;-1;-u]$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left[ u-2t-2;t;-u-t \right]$

Do $d\bot [P]\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}\Rightarrow \frac{u-2t-2}{1}=\frac{t}{1}=\frac{-u-t}{1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} u=\frac{4}{5} \\{} t=-\frac{2}{5} \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left[ \frac{1}{5};\frac{-3}{5};\frac{-2}{5} \right]$

Phương trình đường thẳngdlà: ${{d}_{1}}:\frac{x-\frac{1}{5}}{1}=\frac{y+\frac{3}{5}}{1}=\frac{z+\frac{2}{5}}{1}$

Lời giải chi tiết

Gọi $B[1+2u;-3-u;-1+2u]\in {{d}_{1}}$và $C[2-t;t;3t]\in {{d}_{2}}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left[ 2u;u-2;2u-2 \right];\overrightarrow{AC}=[1-t;t+1;3t-1]$

Do A, B, C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 2u=k[1-t] \\{} u-2=k[t+1] \\{} 2u-2=k[3t-1] \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} 2u-k+kt=0 \\{} u-k-kt=2 \\{} 2u+k-3kt=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} u=0 \\{} k=-1 \\{} kt=-1 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $u=0;t=1\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=[0;1;1]\Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{} x=1 \\{} y=-1+t \\{} z=1+t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳngdcắtd1, d2lần lượt tại

$M,N\Rightarrow M[1-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}],N[5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}}]$

Ta có $\overrightarrow{MN}=\left[ {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2;2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4;-{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4 \right]$và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ 1;2;3 \right]$

Màdvuông góc với[P]nên $\overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{t}_{1}}-3{{t}_{2}}+2=k \\{} 2{{t}_{1}}+2{{t}_{2}}-4=2k \\{} -{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+4=3k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{} {{t}_{1}}=2 \\{} {{t}_{2}}=1 \\{} k=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} M[1;-1;0] \\{} N[2;1;3] \\ \end{array} \right.$

$\overrightarrow{MN}=[1;2;3]\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $A[-1+2t;-1+t;2-t]\in {{d}_{1}};B[1-u;2+u;3+3u]\in {{d}_{2}}$