ĐKCB: 010800201-3; 040800285-6; 040800288-9; 040800291-3; 040800295-8; 040800300; 040800302-3; 050800011-5; 060800011-25; 070800026-30; 080800152-3
Lý th u yế t xác suất và thống kê toán học là m ột ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng rộng râi và phong phú của đời sống con người. Cùng với sự phát triển m ạnh mẽ của khoa học và công nghệ, nhu cầu hiểu biết và sử dụng các công cụ ngẫu nhiên trong phân tích và xử lý thông tin ngày càng trở nên đặc biệt cần thiết. Các kiến thức và phương pháp của xác su ất và thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu các nhà nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh tế học, xã hội học, ngôn ngữ học... Trong một chục năm gần đây, giáo trình xác suất thông kê đã trở thành cơ sở của nhiều ngành học trong các trường đại học và cao đẳng, từ đó xuất hiện nhu cầu học tập và nghiên cứu ứng dụng rất lớn, nhất là đôi với sinh viên các ngành khoa học không chuyên về toán. Đ ể thoả mãn yêu cầu đó, giáo trình này cố gắng đáp ứng đòi hỏi của đông đảo sinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc hơn các khái niệm và phương pháp tính xác suất và thông kê để học tập đạt hiệu quả cao hơn cũng như ứng dụng môn học vào ngành học và môn học khác. Giáo trình xác suất thống kê được viết cho thời gian giảng dạy là 60 tiế t học. Do đối tượng sinh viên rất đa dạng với trình độ toán cơ bản khác nhau, chúng tôi đã cố gắng tìm những cách tiếp cận đơn giản và hợp lý, và như vậy đã buộc phải bớt đi phần nào sự chặt chẽ hình thức [vốn rất đặc trưng cho toán học] để giúp bạn đọc tiếp cận dễ dàng hơn bản chất xác suất của các vấn đề đ ặt ra và tăng cường kỹ năng phân tích, xử lý các tình huống, từ đó dần dần hình thành m ột hệ thống khái niệm khá đầy đủ để đi sâu giải quyết các bài toán ngày càng phức tạp hơn. Giáo trình được chia thành 6 chương gồm 3 chương dành cho phần xác suất và 3 chương cho phần phân tích thống kê. Nhũmg khái niệm và công thức cơ bản được trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu và được
Chương I
sự ■ KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT m
**§1ÁI NIỆM Mỏ ĐẦU
- Sự kiện ngẫu nhiên** Khái niệm thường gặp trong lý thuyết xác suất là sự kiện [mà không thể định nghĩa chặt chẽ]. Sự kiện đưỢc hiểu như là một sự \âệc. một hiện tượng nào đó của cuộc sông tự nhiên và xã hội. Khi thực hiện một tập hợp điều kiện xác định, nói tắt là bộ điều kiện, gọi là một phép thử, có thể có nhiều kễt cục khác nhau. Thí dụ 1. Gieo một con xúc sắc đồng chât trên một mặt phẳng [phép thử]. Phép thử này có 6 kết cục là: xuất hiện mặt 1 , mặt 2,..., mặt 6 chấm. Mỗi kết cục này cùng với các kết quả phức tạp hơn như: xuất hiện mặt có sô" chấm chẵn, mặt có sô" chấm bội 3, đều có thể coi là các sự kiện. Như vậy kết cục của một phép thử là một trưòng hỢp riêng của sự kiện. Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu sự kiện bằng các chữ cái in hoa A, c, ... Sự kiện được gọi là tất yếu, nếu nó chắc chắn xảy ra, và đưỢc gọi là bất khả. nếu nó không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Còn nếu sự kiện có thể xảy ra hoặc không sẽ đưỢc gọi là sự kiện ngẫu nhiên. Từ đó, theo một nghĩa nào đó, có thể coi các sự kiện tâ't yếu, ký hiệu là ư, và bât khả, ký hiệu là V, như các trường hỢp riêng của sự kiện ngẫu nhiên. Thí dụ, dưói những điều kiện xác định, nưốc đóng báng ở 0 '^C là sự kiện tất yếu; khi gieo một con xúc xắc, việc xuât hiện mật bảv chà"m là sự kiện bất khả...
Để mô tả một phép thử người ta xác định tập hỢp các kết cục có thể có. Tập hỢp tất cả các kết cục của một phép thử [đưỢc gọi là các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là coỊ] tạo thành không gian các sự kiện sơ cấp, ký hiệu là Q = {cúịj i e /}, I là tập chỉ sô", có thể vô hạn [đếm đưỢc hoặc không đếm đưỢc]. Dễ thấy trong thí dụ 1. 1 , nếu ký hiệu Aị — sự kiện xuất hiện mặt i chấm [i = 1 , 6 ] thì Q = A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , Ag} = {A„ i = 1 , 6 }. Trong nhiều hiện tưỢng hàng loạt khi thực hiện nhiều lần cùng một phép thử, ta thây tần suất xuất hiện một sự kiện A nào đó chênh lệch không nhiều so vói một sô' đặc trưng cho khả năng xuất hiện A. Số đó đưỢc gọi là xác suất xuất hiện A và được ký hiệu là P[A]. Như vậy nếu viết P[A] - p c 6 nghĩa là xác suâ^t xảy ra sự kiệnA là bằngp. Một câu hỏi tự nhiên là. Do đâu có sự kiện ngẫu nhiên? Và chúng ta có thể nhận biêt đưỢc chúng không? Thực ra mỗi sự kiện đều xảy ra theo quv luật nào đó; song do điều kiện Lhiêu tri thức, thông tin và phương tiện cần thiết [cả về kinh phí, thiết bị lẫn thòi gian] nên ta không có khả năng nhận thức dầy dủ về sự kiện đó. Vấn đề càng trỏ nên khó khàn hơn khi chỉ cần có một sự thay dổi bâ"t ngò dù rất nhỏ của bộ điều kiện dã làm thay đổi kết cục của phép thử. Cho nên bài toán xác định bản chất xác suâ^t của một sự kiện bất kỳ trong một phép thử tùy ý là không thể giải đưỢc. 1. Phép toán và quan hệ của các sự kiện Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ và phép toán trên tập các sự kiện cho phép ta xác định chúng thực chất hơn. [i] Tổng của A và B, ký hiệu là A + 5 , chỉ sự kiện khi có xuất hiện ít nhất một trong hai sự kiện trên. [ii] Tích của A và B, ký hiệu là AB, chỉ sự kiện khi có xuâ"t hiện đồng thồi cả hai sự kiện trên.
Từ đó, dễ dàng chỉ ra các công thức sau; A + B = B + A, AB = BA [giao hoán]; A + [B + Q = {A + B] + C, A[BC] = [AB]C [kết hỢp]; A[B + o = AB + AC [phân phối]; A + Ư=U,A + V = A,A+A=A; AU = A,AV=V,AA=A. Thí dụ 1. Chọn từ một lô hàng ra 5 sản phẩm và ta quan tâm đến sô"phế phẩm trong 5 sản phẩm đó [phép thử]. a] Xác định các sự kiện sơ cấp. b] Biểu diễn các sự kiện sau theo các sự kiện sơ cấp: có nhiều nhất 1 phế phẩm; có không quá 4 phế phẩm, có ít nhất 1 phế phẩm. Giải, a] Ký hiệu Aị - trong 5 sản phẩm có ỉ phế phẩm. Rõ ràng i = 0,5 và Q = {Ao, A„ A 2 , A 3 , A ị , A 5 I. b] Gọi A, B và c là các sự kiện tương ứng. Dễ dàng biểu diễn A = Aq + Aị, B — Aq + A| + A 2 + Ag + Aị = A-, c = Aj + Av +
A 3 + A 4 + A 5 - Aq.
Thí dụ 1. Cho sơ đồ mạng điện trên hình 1 gồm 3 bóng đèn. Việc mạng mất điện [sự kiện A] chỉ có thể xảy ra do cháy các bóng đèn Ọíý hiệu là Aj, A 2 , A 3 ]. Hãy biểu diễn A theo các ỉ = 1, 2, 3]. Giải. A xuất hiện khi xảy ra một trong 3 trường hỢp: ___^ [i] cả ba bóng cháy, [ii] cháy hai bóng 1 và 2 , [iii] cháy hai bóng 1 và 3. Hình 1. Từ đó ta có A = A 1 A 2 A 3 + AịA^A + A, A,Ạ,.
Có thể dùng tính chất của mạng song song và nốì tiếp để có một biểu diễn khác gọn hơn:
A =A,[A 2 +A 3 ]. Trong nhiều bài tập, việc xác định sô" lượng các sự kiện sơ cấp đưa đến sử dụng các kết quả của lý thuyết tổ hỢp.
1. 3**. Giải tích kết hợp** Việc đếm sô" các kết cục của một phép thử dựa vào mô hinh: chọn hú họa ra k phần tử từ n phần tử cho trưốc. Nếu phân biệt thứ tự các phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnh hỢp; nếu thứ tự không phân biệt, ta có tổ hợp. [i] Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ nỉà một nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được xếp theo thứ tự nhất định. Sô" các chỉnh hỢp như vậy, ký hiệu là [k < TÌ].
\= n{n - l]...[n - Ã + 1 ] = [ 1. 1 ] _{n-k]_ [ii] Chỉnh hỢp lặp: chỉnh hợp lặp chập Ấỉ từ n là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử có thể giống nhau lấy từ n đã cho. Đó chính là một nhóm gồpn k phần tử có thể lặp lại và được xếp theo thứ tự nhất định, số các chỉnh hỢp lặp như vậy, ký hiệu lặ ĂÌ=n'‘. [ 1. 2 ] [iii] Hoán vị: hoán vị của n là một nhóm gồm n phần tử đưỢc sắp xếp theo một 'thứ tự nào đó. Rõ ràng số các hoán vị như vậy, ký hiệu là p„, chính là số các chỉnh hỢp A" và _p„ = n_ .[1] [iv' Tổ hỢp: tổ hỢp chập từ n là một nhóm [không phân biệt i;!ứ tự] gồm k phần tử khác nhau lấy từ n đã cho. Số các tổ' hỢp r vậy, ký hiệu là [k < n]
Giải. Hội đồng là một nhóm 3 người lấy từ 8 người, do đó theo [1] sẽ có Cg = 8!/[3!5!] = 56 cách lập.
Cuối cùng, để ý là ta đã rất quen thuộc với khái niệm tổ hỢp được dùng trong công thức nhị thức Niu-tơn
####### [x + aỴ = c°x’' ' n + C>"'a +... + n n +... + C"a\ n
Từ đó có thể dễ dàng chứng minh [để ý c° = = 1 ] c ' n n c* =Cí +c* n n.-l, n -
§2. CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT
2. Định nghĩa cổ điển Trong mục này ta làm việc với các phép thử có kết cục đồng khả năng. Khái niệm đồng khả năng đóng vai trò chủ đạo và khó có thể định nghĩa một cách hình thức. Xét thí dụ đơn giản sau đây: Thí dụ 2. Trong một hộp có n viên bi giông nhau về kích cỡ và chỉ khác nhau về màu sắc, trong đó có m bi trắng vầ n - m bi đỏ. Rút hú họa ra một viên bi [phép thử]. Do sô" viên bi là n nên tổng số các kết cục khác nhau sẽ là n, và vì tính giông nhau của chúng nên mỗi viên bi có cùng khả năng đưỢc rút. Bây giò nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng thì trong sô" n kết cục đồng khả năng có m kết cục thuận lợi cho A. Vì vậy trực giác cho thấy nên chọn tỷ sô" mln làm xác suất của việc xuâ't hiện A. Đinh nghĩa. Cho một phép thử với n kết cục đồng khả năng, trong đó có m kết cục thuận lợi cho A, khi đó
P{A] , X = — = m số .... kết cuc thuân lơi cho - , ■,— —. A [2]/o 1 n tống sô kết cục có thê
Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất. Cách tính xác suất theo [ 2. 1 ] có ưu điểm là tương đối đơn giản và trực quan, tuy nhiên phạm vi áp dụng rất hạn chê chỉ cho các loại phép thử gồm hữu hạn kết cục đồng khả năng. Trong tính toán thường sử dụng các kết quả [1] - [1]. Thí dụ 2. Gieo đồng thòi 2 con xúc sắc giống nhau. Tính xác suất để tổng sô' chấm thu được bằng 6. Giải. Phép thử có 6 = 36 kết cục [sự kiện sơ cấp] khác nhau đồng khả năng. Gọi A là sự kiện “tổng sô" chấm bằng 6 ”, thì có tất cả 5 kết cục thuận lợi cho A là {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2} và {5,1} [số thứ nhất chỉ sô" chấm của con xúc sắc 1 , sô" thứ 2 - số chấm của con xúc sắc 2]. Vậy P[A] = 5/36. Thí dụ 2. Trong hộp có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ cùng kích cõ. Rút hú họa ra 2 bi, tính các xác suất để trong đó có: a] hai viên trắng; b] ít nhất 1 viên đỏ; c] viên thứ hai đỏ. Giải. Ta dùng định nghĩa cổ điển ở trên. a] Tổng số cách để rút ra 2 bi có quan tâm đến thứ tự là Afo = 10 = 90, trong đó số cách thuận lợi cho A - rút được 2 bi trắng - là Al = 4 = 12; vậy xác suất cần tìm P[A] = 12/ = 2/15. Có thể sử dụng khái niệm tổ hỢp để tính xác suất: tổng sô" cách lấy ra 2 bi từ 10 viên bi là cf[j [không quan tâm đến thứ tự], trong đó để rút ra 2 bi trắng có C 4 cách. Từ đó ta có cùng kết quả như trên. b] Có thể tính trực tiếp xác suất của B - sự kiện rút được ít nhất 1 bi đỏ [tức là hoặc được 1 hoặc cả 2 bi đỏ]. Dễ thấy sự kiện đối lập B - cả 2 bi đều trắng - đã có xác suất hiện bằng 2/15. Từ đó P[B] = 1 - P[B] = 13/15 [xem tính chất của xác suất ngay dưới đây].
Khái niệm “rơi đồng khả năng vào G” có nghía là điểm gieo có thể rơi vào bất kỳ điểm nào của G và xác suất để nó rơi vào một miền con nào đó của G tỷ lệ vói độ đo của miền ấy, mà không phụ thuộc vào vị trí và hình dạng của miền. Thí dụ 2. Đưòng dây điện thoại ngầm nôl một tổng đài với một trạm dài Ikm. Tính xác suất để dây đứt tại nơi cách tổng đài không quá lOOm. Giải. Rõ ràng nếu dây điện thoại đồng chất, khả năng nó bị đứt tại một điểm bất kỳ là như nhau, nên tập hỢp các kết cục đồng khả năng có thể biểu thị bằng đoạn thẳng nối tổng đài với trạm. Các kết cục thuận lợi cho A - sự kiện chỗ đứt cách tổng đài không quá lOOm - được biểu thị bằng đoạn thẳng có độ dài lOOm. Từ đó theo [2] P[A] = 100/1000 = 0,1. Một số bài toán thực tế khác có thể đưa về mô hình dạng trên. Chú ý rằng theo cách định nghĩa này thì sự kiện có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra [chảng hạn mũi tên bắn trúng một điểm cho trưóc...]- Tính chất này rất đặc trưng cho các biến ngẫu nhiên liên tục sẽ nghiên cứu ở chương II.
2. Định nghĩa thống kê Điều kiện đồng khả năng của các kết cục một phép thử không phải lúc nào cũng được bảo đảm. Có nhiều hiện tượng xảy ra không theo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẩng hạn khi tính xác suất một đứa trẻ sắp sinh là con trai, ngày mai tròi mưa vào lúc chính ngọ, v... Có một cách khác để xác định xác suất của một sự kiện. Giả sử tiến hành một loạt «1 phép thử cùng loại, nếu sự kiện A nào đó xuất hiện trong mj phép thử thì ta gọi mj/rỉ, là tần suất xuất hiện A trong loạt phép thử đã cho. Tương tự với loại phép thử thứ hai, thứ ba... ta có các tần suất tương ứng mjn 2 , rnJn:Ị,...
Trên cơ sở quan sát lâu dài các thí nghiệm khác nhau ngưòi ta nhận thấy tần suất xuât hiện một sự kiện có tính ổn định, thay đổi rất ít trong các loạt phép thử khác nhau và dao động xung quanh một hằng sô" xác định. Sự khác biệt đó càng ít khi sô' phép thử tăng nhiều lên. Hơn nữa đối với các phép thử xét ở mục 2 hằng sô" xác định đó trùng vối xác suất theo định nghĩa cổ điển. Đặc tính ổn định của tần suất khi sô” phép thử tăng lên khá lớn cho phép ta định nghía xác suất của sự kiện là trị sô" ổn định đó của tần suất xuât hiện sự kiện. Nhưng do hằng sô đó chưa biết, nên người ta lấy ngay tần suất khi sô" phép thử đủ lớn làm xác suất của sự kiện. Cách hiểu như vậy đưỢc gọi là định nghĩa thống kê của xác suất. Như vậy xác suất ở đây là mộr giá trị gần đúng và nhiều ngưòi cho rằng đó không phải là một định nghĩa thật sự. Tuy nhiên, trong nhiều ngành khoa học thực nghiệm xác suất đưỢc xác định theo cách này đạt độ chính xác khá lớn và rất phù hỢp với thực tế cũng như với tính toán lý thuyết, nhiều khi sai sô’phạm phải bé hơn nhiều so với sai sồ đo của thí nghiệm. Vì thế định nghĩa thông kê vẫn được thừa nhận rộng rãi và rất có ý nghla. Ta có thể định nghía chặt c}'iẽ hơn về mặt toán học như sau: xác suâ^t của sự kiện là giới hạn của tần suất xuất hiện sự kiện đó khi số phép thử tăng vô hạn. Sự hỢp lý của định nghĩa đvíỢc minh chứng không chỉ bằng thực nghiệm mà cả bằng lý thuyết [sau này ta sẽ thấy rõ trong luật sô lốn Béc-nu-li]. Có nhiều thí dụ minh họa tính ổn định của tần suất khi sô" phép thử khá lớn. Ta có thể tham khảo dưới đây các tần suất xuất hiện mặt sâp khi gieo một đồng tiền nhiều lần: Người thí nghiệm Số lần gieo số lần sấp Tần suất Buýt-phông 4040 2048 0, Piếc-xơn 12000 6019 0, Piếc-xơn 24000 12012 0,
trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất như là các trường hỢp riêng. Ta quay trở lại không gian các sự kiện sđ cấp Q [xem § 1 ], còn bản thân các phần tử là gì không quan trọng. Tiếp theo xác định hệ thống [Ả các tập hỢp con của Q, các phần tử của dl được gọi là các sự kiện ngẫu nhiên. Ta đặt cho cA các yêu cầu hợp lý sau: [i] chứa [ii] Nếu AvàiB & CẢ thì A,B,A + B, AB e C Á. Hệ thống cị thỏa măn các điều kiện trên được gọi là đại số Bun. Nếu ta yêu cầu thêm [iii] Nếu A 2 : A„. ... là các phần tử của cA, thì tổng và tích vô hạn Aj + A 2 + ... + + .... AiA, ... A„... cũngộc CÃ. Nếu thỏa mãn thêm điều kiện [iii] ta có một trường Bô-ren, hay ơ- đại sô'. Bây giò ta đã có thể định nghĩa xác suất: Định nghĩa. Ta gọi xác suất trên [Q, c//] là một hàm số xác định trên íA có giá trị trong [0; 1] và thỏa mãn 3 tiên đề [T,]P[fi] = l; [T 2 ] P[A + B] = P{A] + P{B] [A, B xung khắc]; [T;j] Nếu dãy {A,,} có tính chất Aj => Aị, V ỉ 0. Xuất phát từ hệ tiên để trên có thể chứng minh đưỢc các tính chất của xác suất đã trình bày ở § 1 , hoặc chính chúng đã là các tính chất đó [tiên đề 1 và 2]. Chú ý rằng hệ tiên đề này chưa đầy đủ: ứng vối một tập Q có thể chọn xác suất theo nhiều cách khác nhau. Người ta có thể thay tiên đề 2 và 3 bằng một tiên đề có tên là tiên đề cộng mở rộng:
[TJ Nếu dãy {AJ có tính chất xung khắc từng đôi và A = ^ G thì rt=i
P[A] = P[A,] + P[A,] + ... P[A„] + ... = ỵP[AJ. n=ì Để kết luận, có thể nói rằng cách định nghĩa xác suất ở đây nhìn từ quan điểm của lý thuyết tập hỢp chính là sự đưa vào cùng với Q một độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính, xác định cho mọi phần tử của tập