Một lớp học có 5 sinh viên xác suất có ít nhất 2 sinh viên trùng tháng sinh với nhau là
|
Bài Tập Tham Khảo Xác Suất Thống Kê Có Lời Giải Bài 1.1Gieo một con xúc xắc. Liệt kê các phần tử của tập A=x:x là mặt có giá trị số nguyênố. Nhắc lại số nguyên tố là số chỉ có haiước số khác nhau: 1 và chính nó.Bài giải A={2, 3, 5}. Bài 1.2Xét thí nghiệm tung ngẫu nhiên một đồng xu ba lần.(a) Gọi S là tập hợp tất cả các kết quả của thí nghiệm. Liệt kê các phần tử của S. Gọi H là mặt ngửa, T là mặt sấp.(b) Gọi E là tập con của S với nhiều hơn một mặt ngửa. Liệt kê các phần tử của E. (c) Giả sử F = {THH, HTH, HHT, HHH}. Viết mô tả của tập F. Bài giải(a) Ta có:S = {TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}(b) E là tập con của S với nhiều hơn một mặt sấp.Khi đó:E = {TTT,TTH, THT, HTT}(c) Ta có F = {THH, HTH, HHT, HHH}. Dễ thấy rằng F là tập con của S với nhiều hơn một mặt ngửa. Hay F = {x: x là phần tử thuộc S với nhiều hơn một mặt ngửa} Bài 1.3Tung đồng tiền 3 lần.Gọi E là tập có ít nhất 1 mặt ngữa.Gọi F là tập có nhiều hơn 1 mặt ngữa. So sánh mối quan hệ của E và F Bài giải Đặt H là mặt ngữaĐặt T là mặt sắpE={HT T, T HT, T T H, T T H, T HT, HT T, T T T }F={T T H, T HT, HT T, T T T } ⇒ F ⊂ E Bai 1.4Một người được chia 5 lá bài từ bộ bài 52 lá. Gọi E là tập hợp sao cho người chơi đó có cả 5 quân át. Liệt kê các phần tử của EBài giải Vì một bộ bài 52 lá chỉ có 4 lá át nên việc E chứa 5 quân át là không thể. Vậy E = Ø Bài 1.5Chứng minh rằng:a) A ⊆ Ab) Nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì A = Bc) Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ CBài giảia) ∀x ∈ A thì x ∈ A⇒ A ⊆ Ab)∀x ∈ A thì x ∈ B và ∀x ∈ B thì x ∈ A⇒ A = Bc) ∀x ∈ A thì x ∈ B và ∀x ∈ B thì x ∈ C⇒ ∀x ∈ A thì x ∈ C ⇒ A ⊆ C Bài 1.10Tàu điện ngầm chuẩn bị 60 cái bánh sandwich 4-inch cho một buổi tiệc sinh nhật. Ở giữa những cái sandwich này, 45 cái trong sổ đó có cà chua, 30 cái có cả cà chua và hành và 5 cái không có cà chua và hành. Sử dụng sơ đồ venn, bao nhiêu sandwich anh ta làmvới:(a) Cà chua hoặc hành?(b) Hành?(c) Hành nhưng không có cà chua?Bài giải(a) 55(b) 10 + 30 = 40 (c) 10 Bài 1.10Subway chuẩn bị 60 bánh sandwich cỡ 4 inch cho 1 bữa tiệc sinh nhật. Trong đó có 45 bánh có cà chua, 30 bánh có cà chua và hành, 5 bánh không có cả cà chua và hành. Dùng biểu đồ Venn biểu diễn có bao nhiêu sandwich a) Có cà chua và hành?b) Chỉ có hành? c) Có hành nhưng không có cà chua? Bài giải  B: Bánh có hành Ta cón(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 60 − 5 = 55.Suy ran(B) = 55 + 30 − 45 = 40.Do đó, số bánh sandwich chỉ có hành nhưng không có cà chua là n(B) − n(A ∩ B) = 40 − 30 = 10. Bài 1.11Cuộc cắm trại của sinh viên quốc tế có 110 sinh viên tham gia. Trong số các học sinh đó có:75 sv nói tiếng Anh.52 sv nói tiếng Tây Ban Nha50 sv nói tiếng Pháp33 sv nói tiếng Anh và tiếng Tây Ban Nha30 sv nói tiếng Anh và tiếng Pháp22 sv nói tiếng Tây Ban Nha và tiếng Pháp13 sv nói cả 3 ngôn ngữ.Hỏi có bao nhiêu sinh viên:a) Nói tiếng Anh và tiếng Tây Ban Nha nhưng không nói tiếng Phápb) Không nói cả tiếng Anh, tiếng Tây Ban Nha và tiếng Phápc) Nói tiếng Pháp nhưng không nói tiếng Anh và tiếng Tây Ban Nhad) Nói tiếng Anh nhưng không nói tiếng Tây Ban Nhae) Chỉ nói một trong ba ngôn ngữf) Nói chính xác hai trong ba ngôn ngữ Bài giải
22 + 30 + 33 - 13 x 3 = 46 sinh viên Bài 1.12Một thí nghiệm bao gồm 2 giai đoạn:(1) tung một đồng xu(2) nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa thì tiếp tục tung con xúc sắc, ngược lại thì tiếp tục tung đồng xu.Kết quả của thí nghiệm là 1 cặp gồm kết quả của giai đoạn 1 và kết quả của giai đoạn2. Đặt S là tập hợp các kết quả của thí nghiệm. Liệt kê các phần tử của S và tìm số phần tử của S.Bài giảiH = {xuất hiện mặt ngửa} T = {xuất hiện mặt sấp} Nếu đồng xu là mặt ngửa thì tiếp tục tung xúc sắc. Khi đó, ta có các kết quả sau: (H,1),(H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6)Ngược lại, nếu đồng xu là mặt sấp thì tiếp tục tung đồng xu. Lúc này thí nghiệm chota 2 kết quả sau: (T,H), (T,T)Khi đó: S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, H), (T, T )} và n(S) = 8 Bài 1.13Cho ánh xạ f :R → RĐược xác định bởi f(x)= 3x+5Chứng minh f đơn ánh và toàn ánhBài giải• Chứng minh f đơn ánhVới x= y ⇒ f(x)= 3x+5⇔ 3x+5= 3y+5⇔ x= y⇒ f đơn ánh.• Chứng minh f toàn ánh Bài 2.735% các chuyến thăm tới văn phòng một bác sĩ gia đình (PCP) kết quả không giới thiệutới làm việc trong phòng thí nghiệm cũng không giới thiệu tới chuyên gia. Trong sốnhững người đến văn phòng PCP, 30% được giới thiệu chuyên gia, 40% được giới thiệulàm việc trong phòng thí nghiệm. Hỏi có bao nhiêu phần trăm của chuyến tới văn phòngPCP mà kết quả bao gồm của chuyên gia và làm việc trong phòng thí nghiệm? Bài giải
P (AB) = 0.05 Bài 2.11Trong một cuộc nghiên cứu về mùi vị kem que yêu thích của những đứa trẻ từ 3-5 tuổi.Kết quả cho thấy:• 22 trẻ thích dâu tây.• 25 trẻ thích việt quất.• 39 trẻ thích nho.• 9 trẻ thích việt quất và dâu tây.• 17 trẻ thích dâu tây và nho.• 20 trẻ thích việt quất và nho.• 6 trẻ thích tất cả các vị.• 4 trẻ không thích vị nào. Hỏi có bao nhiêu trẻ được khảo sát? Bài giải Vậy tổng số trẻ tham gia khảo sát là: 6 + 3 + 11 + 14 + 2 + 2 + 8 + 4 = 50 Bài 2.1350 sinh viên trong 1 kí túc xá đang đăng ký học phần cho kì học mùa thu. Theo thống kê thu được có• 30 sinh viên đăng ký môn Toán• 18 sinh viên đăng ký môn Sử• 26 sinh viên đăng ký môn Tin• 9 sinh viên đăng ký 2 môn Toán và Sử• 16 sinh viên đăng ký 2 môn Toán và Tin• 8 sinh viên đăng ký 2 môn Sử và Tin• 47 sinh viên đăng ký ít nhất 1 trong 3 môn đóa) Có bao nhiêu sinh viên không đăng ký môn học nào hết? b) Bao nhiêu sinh viên đăng ký học cả 3 môn? Bài giảia) Số sinh viên không đăng ký môn học nào hết là 50 − 47 = 3 (sinh viên).b) Áp dụng công thức ta tính được số sinh viên đăng ký học cả 3 môn làn(A ∩ B ∩ C) = n(A ∪ B ∪ C) − n(A) − n(B) − n(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C)= 47 − 30 − 18 − 26 + 9 + 16 + 8 = 6.
Bài 2.13Năm mươi sinh viên sống trong ký túc xá đại học đã được đăng ký cho các lớp học chohọc kỳ mùa thu. Sau đây là cuộc khảo sát:• 30 sinh viên đăng ký một lớp học toán• 18 sinh viên đăng ký một lớp học sử• 26 sinh viên đăng ký một lớp học máy tính• 9 sinh viên đăng ký lớp toán và sử• 16 sinh viên đăng ký lớp toàn và máy tính• 8 sinh viên đăng ký sử và máy tính• 47 sinh viên đăng ký ít nhất một trong ba lớp(a) Có bao nhiêu sinh viên không đăng ký các lớp này?(b) Có bao nhiêu sinh viên đăng ký cả ba lớp? Bài giải A: Sinh viên đăng ký một lớp học toánB: Sinh viên đăng ký một lớp học sử C: Sinh viên đăng ký một lớp học máy tính Bài 2.14Một bác sĩ nghiên cứu quan hệ giữa huyết áp và nhịp tim khác thường trong số bệnhnhân. Cô kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên của các bệnh nhân và ghi chú huyết áp của họ(cao, thấp hay bình thường) và nhịp tim của họ ( bình thường hay bất thường). Cô thấyrằng:i) 14% có huyết áp caoii) 22% có huyết áp thấpiii) 15% có nhịp tim không bình thườngiv) Trong số các trường hợp tim bất thường, 1/3 có huyết áp cao v) Trong các trườnghợp huyết áp bình thường, có 1/8 có nhịp tim bất thườngPhần trăm bệnh nhân có nhịp tim bình thường và huyết áp thấp? Bài giải GọiA 1 : huyết áp caoA 2 : huyết áp thấpA 0 : huyết áp bình thườngB 1 : nhịp tim không bình thườngB 0 : nhịp tim bình thường Bài 2.17Một cuộc khảo sát 100 người xem truyền hình trong 1 năm qua cho thấy rằng:i) 34 người xem CBSii) 15 người xem NBCiii) 10 người xem ABCiv) 7 người xem CBS và NBCv) 6 người xem CBS và ABCvi) 5 người xem NBC và ABCvii) 4 người xem CBS, NBC, ABCviii) 18 người xem HGTV và trong số này không xem CBS, NBC, ABCTính xem có bao nhiêu người trong 100 người xem truyền hình không xem kênh nào trong số 4 kênh Hay ta nói có 37 người trong 100 người xem truyền hình không xem kênh nào trong 4 kênh CBS, NBC, ABC, HGTV Bài 3.1Nếu mỗi trong 10 số từ 0 đến 9 được chọn ngẫu nhiên, có bao nhiêu cách để bạn chọnnhững con số sau đây?a) Một mã số có 2 chữ số, được phép lặp lạib) Một số thẻ có 3 chữ số, số đầu tiên không thể là số 0, được phép lặp lại c) Một mã khóa xe đạp có 4 chữ số, không có số nào được lặp lại 2 lầnd) Một mã số vùng có 5 chữ số, số đầu tiên không thể là số 0, được phép lặp lại Bài giải
Bài giải Vậy số cách chọn ra những bộ trang phục khác nhau là 2.3 = 6 cách Bài 3.4Một nhóm có 10 thành viên. Một chủ tịch và một phó chủ tịch được lựa chọn.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu mỗi người đều thích hợp?Bài giảiSố cách chọn chủ tịch:10 cáchSố cách chọn phó chủ tịch:9 cáchVậy số cách chọn 1 chủ tịch và 1 phó chủ tịch là: 10 . 9 = 90 cách Bài 3.5Trong một nghiên cứu y tế, bệnh nhân được phân loại theo cho dù họ có thường xuyên(RHB) hoặc bất thường nhịp tim (IHB) và cũng theo liệu huyết áp thấp (L), bìnhthường (N ) , hoặc cao (H). Sử dụng một sơ đồ cây để đại diện cho các kết quả khácnhau có thể xảy ra.Bài giảiCó 6 trường hợp xảy ra:RBH : H, L, N IBH : H, L, N Bài 3.6Nếu một cơ quan du lịch cung cấp các chuyến đi cuối tuần đặc biệt đến 12 thành phố khác nhau, bằng đường hàng không, đường ắt, xe buýt, hoặc biển, trong bao nhiêu cáchkhác nhau có thể là một chuyến đi như vậy được sắp xếp?Bài giải 12 x 4 = 48(cách) Bài 3.7Nếu có 20 loai rượu khác nhau được tham gia vào cuộc thi thử rượu. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau để giám khảo có thể trao giải nhất và giải nhì?Bài giảiSố cách chọn khác nhau để giám khảo có thể trao giải nhất và giải nhì là: 20 ∗ 19 = 380 cách Bài 3.8Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 hiệu trưởng, 1 hiệu phó, 1 thư ký và 1 thủ quỹ từ hội đồngtrường đại học có 24 thành viên?Bài giảiChọnChọnChọnChọn1111hiệu trưởng có: 24 cách.hiệu phó có: 24 − 1 = 23 cách.thư ký có: 24 − 2 = 22 cách.thủ quỹ có: 24 − 3 = 21 cách. Do đó có 24 · 23 · 22 · 21 = 255,024 cách chọn 1 hiệu trưởng, 1 hiệu phó, 1 thư ký và 1 thủ quỹ. Bài 3.9Tìm số cách chọn 4 cuốn tiểu thuyết trong 10 cuốn tiểu thuyết và sắp vào vị trí thứ 1,2,3,4 theo doanh số bán ra trong 3 tháng đầu tiên Bài giải Số cách chọn 4 trong 10 cuốn tiểu thuyết và sắp vào vị trí 1,2,3,4 là Bài 4.2 (a) nếu lặp lại được cho phép? (b) nếu lặp đi lặp lại không đượccho phép?Bài giảia)Số cách chọn 4 kí tự lặp lại từ 26 kí tự là : 26 4 cách b)Số cách chọn 4 kí tự không lặp lại từ 26 kí tự là: 23 × 24 × 25 × 26 cách Bài 4.3Một loại giấy phép lái xe ô tô được đặc trưng bởi 6 kí tự, trong đó có 3 kí tự đầu là chữ cái và 3 kí tự cuối là chữ số.a) Có bao nhiêu giấy phép lái xe ô tô nếu các chữ cái không được lặp lại nhưng các chữ số có thể lặp lại? b) Có bao nhiêu giấy phép lái xe ô tô nếu các chữ cái và các chữ số không lặp lại? Bài giảiGọi 6 kí tự cần tìm là: abcdef(với a,b,c đại diện cho 26 kí tự chữ cái và d, e, f đại diện cho 10 kí tự chữ số)Ta chia công việc lập giấy phép lái xe ô tô thỏa yêu cầu bài toán thành 6 giai đoạn• câu a– giai đoạn 1: a có 26 cách chọn– giai đoạn 2: b có 25 cách chọn– giai đoạn 3: c có 24 cách chọn– giai đoạn 4: d có 10 cách chọn– giai đoạn 5: e có 10 cách chọn– giai đoạn 6: f có 10 cách chọnVậy có 26.25.24.10.10.10 = 15600000 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán• câu b– giai đoạn 1: a có 26 cách chọn– giai đoạn 2: b có 25 cách chọn– giai đoạn 3: c có 24 cách chọn– giai đoạn 4: d có 10 cách chọn– giai đoạn 5: e có 9 cách chọn– giai đoạn 6: f có 8 cách chọn Vậy có 26.25.24.10.9.8 = 11232000 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán Bài 4.4Một tập hợp gồm có 40 số.a) Hỏi có bao nhiêu tập hợp khác nhau gồm 3 phần tử có thể được tạo thành nếu các phần tử được phép lặp lại?b) Hỏi có bao nhiêu tập hợp khác nhau được tạo thành nếu 3 phần tử của tập hợp là khác nhau? Bài giải a) Cách chọn phần tử thứ 1: 40 cáchCách chọn phần tử thứ 2: 40 cáchCách chọn phần tử thứ 3: 40 cách⇒ Số cách chọn các tập hợp thỏa yêu cầu bài toán là:40 . 40 . 40 = 64000 cách chọnb) Cách chọn phần tử thứ 1: 40 cáchCách chọn phần tử thứ 2: 39 cáchCách chọn phần tử thứ 3: 38 cách⇒ Số cách chọn các tập hợp thỏa yêu cầu bài toán là: 40 . 39 . 38 = 59280 cách chọn Bài 4.5a) Có 12 quan chức nội các được xắp sếp ngồi trong một hàng cho một bức tranh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi khác nhau đó?b) Có 7 thành viên của nội các là phụ nữ và 5 là nam giới. Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn 7 người phụ nữ có thể được ngồi cùng nhau bên trái, và sau đó 5 người đàn ông ngồi với nhau bên phải?Bài giảia) Số cách sắp xếp 12 người vào 12 vị trí: 12! b) Số cách sắp xếp 7 người phụ nữ ngồi gần nhau về phía bên phải. 5 người ngồi gần nhau về phía bên trái là: 7!x5! Bài 4.6Sử dụng những con số 1, 3, 5, 7 và 9, không lặp lại những con số này, có bao nhiêu cách:(a) một chữ số có thể được thực hiện?(b) hai chữ số có thể được thực hiện?(c) ba chữ số có thể được thực hiện? (d) bốn chữ số có thể được thực hiện?
Bài giải Bài 4.7Có 5 thành viên của câu lạc bộ Toán. Trong đó có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm trưởng, 1 thư ký và 1 thủ quỹ?Bài giảiSố cách chọn 1 nhóm trưởng, 1 thư ký và 1 thủ quỹ là: 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 = 120 cách chọn Bài 4.8Tìm số cách chọn 3 chữ cái từ bảng chữ cái nếu các chữ cái không trùng nhau. Các chữviết tắt như MBF và BMF được coi là khác nhau.Bài giảiVì các chữ cái được chọn không trùng nhau nên ta có:Số cách chọn chữ cái thứ nhất: 26 cáchSố cách chọn chữ cái thứ hai: 26 − 1 = 25 cáchSố cách chọn chữ cái thứ ba: 26 − 2 = 24 cách⇒ Có 26 · 25 · 24 = 15,600 cách chọn 3 chữ cái thỏa đề bài. |
