Jacopy tính như thế nào

Một người bạn của một ông thầy ở trường cũ của mình có gửi email (cho các cộng sự) thông báo một tin "chấn động", rằng một anh chàng tên Michiel de Bondt đã tìm ra được một phản ví dụ cho giả thuyết Jacobi trong trường hợp số chiều bằng 91! Chưa biết đúng sai thế nào, nhưng có thể giới Toán học lại chuẩn bị có một đêm không ngủ.Gần đây nhất có một chứng minh được đưa ra bởi Carolyn Dean (University of Michigan) cho trường hợp 2 chiều và đã gây được sự chú ý đặc biệt của giới Toán học, nhưng rất tiếc chứng minh đó lại sai. Câu chuyện đó đã được thảo luận tại http://diendantoanho...p?showtopic=424Dưới đây là nội dung của email thông báo trên."Dear Friends,Here some spectacular news:after his construction of a counterexample to theHomogeneous Dependence problem in [1] Michiel de Bondt has nowconstructed a counterexample to the Jacobian Conjecture in dimension 91 !!His construction makes use of our reduction of the JC to the symmetriccase (in [2])and the follow-up paper [3] by Wenhua Zhao , which reduces the problemto a vanishing problem for the Laplace Operator.To attack this Laplace operator formulation of the JC, he uses thereduction to prime characteristic techniques, as exploited in the papers[4] by Tsuchimoto, respectively [5] by Belov and Kontsevich,respectively [6] by Adjamagbo and van den Essen. More preciselyhe uses methods from P-adic Analysis in a clever way.As a result he shows the existence of a counterexample in dimension 91 !!His paper entitled: Laplace Inverse Reduction and P-adic Analysis 1: acounterexample to the Jacobian Conjecture,will appear on the ArXiv within a week.References.[1] M. de Bondt, Quasi-translations and counterexamples to the homogeneousdependence problem, Report 0413 (September 2004), Radboud UniversityNijmegen, to appear in Proc. of the AMS (2006).[2] M. de Bondt and A. van den Essen, A reduction of the JacobianConjecture to the symmetric case, Proc. of the AMS, 133 (2005), 2201-2205.[3] W. Zhao, Hessian nilpotent formal power series and their deformedinversionpairs, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear, or already appeared?)[4] Y. Tsuchimoto, Osaka J. of Mathematics, Endomorphisms of Weylalgebraand p-curvatures, Vol 42, No.2, 435-452 (June 2005).[5] A. Belov and M. Kontsevich, The Jacobian Conjecture is Stablyequivalent to the Dixmier Conjecture, arXiv.org, math/0512171[6] K. Adjamagbo and A. van den Essen, The equivalence of the Dixmier,Jacobianand Poisson Conjectures, to appear.With the most friendly regards,Arno van den Essen." Trong trường hợp này, việc tìm ra phương trình của 2 tia OA, OB sẽ rất vất vả, đôi khi lại không rơi vào các góc đặc biệt. Và việc tìm ra phương trình của cung lớn, cung nhỏ AB cũng không phải đơn giản.

Tuy nhiên, nếu tịnh tiến tâm đường tròn về góc tọa độ thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều vì sẽ trở về ví dụ 1.

Với miền D có dạng này, trước tiên ta đổi biến. Đặt:

Khi đó:

5. Cho với D là miền giới hạn bởi các đường thẳng:

Ở đây, tuy miền D là miền tam giác và ta dễ dàng xác định cận giới hạn của miền D là: , nhưng trong hàm lấy tích phân là nên việc lấy tích phân sẽ phức tạp. Do đó, cần chuyển sang tọa độ cực.

Khi đó: bạn dễ dàng nhận thấy miền  D giới hạn bởi 2 tia , gốc O thuộc miền D nên chỉ cần tìm cận trên của r . Dựa vào hình vẽ: cận trên được xác định

Vậy:

Cách 2:  xác định cận bằng phương pháp đại số.

Chuyển các phương trình đường cong sang tọa độ cực. Chú ý điều kiện ban đầu Khi đó: bạn sẽ có các trường hợp sau:

TH1: chỉ có duy nhất đường cong

Trường hợp này, ta tìm điều kiện của để . Khi đó, kết hợp điều kiện ta có cận của ; còn cận của r sẽ là:

Ví dụ 1: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi

Ta có:

Do đó cận lấy tích phân được xác định bởi:

Ví dụ 2: Xác định cận của tích phân trong tọa độ cực nếu D là miền giới hạn bởi đường cong:

Rõ ràng, trong trường hợp này, việc vẽ miền D để xác định cận là việc làm tương đối khó khăn.

Nếu chuyển qua tọa độ cực, ta có:

Hay:

Do điểm (0;0) nằm trên đường cong, nên gốc O thuộc vào miền lấy tích phân D. Nên:

Như vậy, ta phải có điều kiện:

Nghĩa là: hoặc

Như vậy miền D gồm hai miền:

TH2: thu được 2 đường cong xác định bởi:

Với trường hợp này, ta phải tìm điều kiện của để:

Ví dụ: D là miền giới hạn nằm ngoài đường tròn tâm O, bán kính 1 và nằm trong đường tròn tâm I(1;0) bán kính 1.

Theo giả thiết ta có:

Chuyển qua tọa độ cực ta có:

Hay:

Như vậy, ta phải có điều kiện:

Từ đó, ta có:

Vậy:

Ngoài ra, còn một số trường hợp khác dành cho các bạn nghiên cứu thêm.

3. Đổi biến trong tích phân kép:

Cho hàm số f(x;y) liên tục trong miền D đóng và bị chặn.

Xét phép đổi biến: (1)

Giả sử:

– D’ là tạo ảnh của D qua phép biến đổi (1)

– (1) xác định một song ánh từ D’ lên D. (Nghĩa là phép đổi biến biến miền D trong mp(Oxy) thành miền D’ trong mp(O’uv) sao cho mỗi điểm (u;v) thuộc D’ chỉ tương ứng duy nhất với 1 điểm (x;y) thuộc D).

– Các hàm số x(u;v) và y(u;v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên D’, thỏa mãn điều kiện:

(J được gọi là định thức Jacobi của các hàm số x và y)

Khi đó, ta có công thức đổi biến sau:

(Ta công nhận công thức đổi biến trên)

Ví dụ: Tính với D giới hạn bởi: ; ; ;

Với miền D cho như trên, nếu làm theo cách thông thường, dù lấy theo phương nào, ta phải chia miền D thành nhiều miền nhỏ. Do đó, việc tính toán sẽ phức tạp.