Một trong những kĩ thuật cơ bản nhất liên quan đến cây đó chính là duyệt toàn bộ cây đó. Vậy thì có những phương pháp nào để duyệt một cây? Hãy cùng nhau tìm hiểu trong bài học ngày hôm nay nhé!

---

Nội dung

Để có thể tiếp thu bài học này một cách tốt nhất, các bạn nên có những kiến thức cơ bản về:

• Các kiến thức cần thiết để theo dõi khoá học
• Đồ thị và cây
• Đệ quy

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về:

• BFS
• DFS
• Mở rộng về cây

---

BFS

Khái niệm

Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng (thường gọi là BFS) là một thuật toán duyệt bắt đầu từ gốc, sau đó lần lượt xét qua các node của một cây theo ưu tiên về độ sâu từ nhỏ đến lớn.

Ở đây có một khái niệm mới là “độ sâu”. Độ sâu của một node được định nghĩa là số cạnh trên đường đi từ node đang xét đến node gốc.

Ví dụ:

---

Đề bài

Cho một cây gồm đỉnh. Hãy in ra các đỉnh được xét lần lượt trong quá trình BFS. Coi đỉnh 1 là gốc.

Input:

Dòng 1: Gồm số nguyên thể hiện cho số đỉnh của cây .

dòng tiếp theo: Gồm hai số nguyên thể hiện một cạnh giữa và trên cây

Output:

Dòng 1: Một dòng thể hiện các đỉnh được đi qua theo thứ tự trong quá trình BFS

Ví dụ:

Input Output

8

1 2

2 3

3 4

2 5

1 6

6 7

3 8

1 2 6 3 5 7 4 8

Cây trong đề bài chính là cây được mình dùng làm ví dụ ở phần khái niệm.

---

Cách cài đặt

Trước hết, chúng ta sẽ cần tìm cách để thể hiện một cạnh của cây. Cách được dùng phổ biến nhất là dùng danh sách kề, tức là mỗi node sẽ có một danh sách lưu lại tất cả các node kề (node có cạnh trực tiếp) với node đó. Trong C++, các bạn có thể dùng vector để lưu danh sách kề. Để biết cụ thể cách làm, hãy đọc phần code nhé.

Tiếp theo sẽ là cách cái đặt thuật toán BFS . Tư tưởng của BFS đơn giản là như sau:

• Khởi đầu, thêm node gốc vào hàng đợi
• Lấy node đầu tiên trong hàng đợi
• Đánh dấu node đã đi qua. Đây là một chi tiết quan trọng do một cạnh trên cây đang xét là không có hướng nên nếu không đánh dấu thì một node sẽ được xét nhiều lần
• Loại bỏ node đang xét khỏi hàng đợi
• Thêm các node kề chưa được đánh dấu với node đang xét vào cuối hàng đợi
• Quá trình kết thúc khi hàng đợi rỗng

---

Code

`

include

using namespace std; const int MaxN = 1 + 1e5; int n; bool mark[MaxN]; vector adj[MaxN]; void BFS(){

queue q;  
q.push(1);  
while(!q.empty()){  
    int u = q.front();  
    q.pop();  
    mark[u] = 1;  
    cout << u << " ";  
    for(int v : adj[u])  
    if(!mark[v]) q.push(v);  
}  

} int main(){

freopen("CTDL.inp","r",stdin);  
freopen("CTDL.out","w",stdout);  
cin >> n;  
for(int i = 0 ; i < n - 1 ; ++i){  
    int u, v;  
    cin >> u >> v;  
    // adj[u] là tập tất cả các đỉnh kề u  
   // Khi ta thêm đỉnh v vào adj[u] có nghĩa là có cạnh trực tiếp theo hướng từ u tới v  
    adj[u].push_back(v);  
    adj[v].push_back(u);  
}  
BFS();
return 0;  

} `

---

Mở rộng

Vừa rồi mình trình bày BFS trên cây. Tuy nhiên, ta có thể tiến hành BFS trên một đơn đồ thị tổng quát với cùng một ý tưởng như trên.

Độ phức tạp của BFS là trong đó, là số cạnh, là số đỉnh của một đồ thị.

---

DFS

Khái niệm

Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu (thường gọi là DFS) là một thuật toán duyệt khởi đầu tại node gốc và đi xa nhất có thể theo một nhánh. Các bạn sẽ rõ hơn về điều này khi ta đi vào phần sau.

---

Đề bài

Cho một cây gồm đỉnh. Hãy in ra các đỉnh được xét lần lượt trong quá trình DFS. Coi đỉnh 1 là gốc.

Input:

Dòng 1: Gồm số nguyên thể hiện cho số đỉnh của cây .

dòng tiếp theo: Gồm hai số nguyên thể hiện một cạnh giữa và trên cây

Output:

Dòng 1: Một dòng thể hiện các đỉnh được đi qua theo thứ tự trong quá trình DFS

Ví dụ:

Input Output

8

1 2

2 3

3 4

2 5

1 6

6 7

3 8

1 2 3 4 8 5 6 7

Cây trong đề bài chính là cây ở phần trước.

---

Cách cài đặt

Tiến trình DFS được trình bày như sau:

• Xuất phát từ node gốc
• Đánh dấu node đang xét hiện tại
• Chọn một node kề với node đang xét mà chưa bị đánh dấu. Tiếp tục xét node kề đó
• Nếu như không có node kề thoả mãn, quay trở lại xét node trước khi xét node hiện tại
• Quá trình kết thúc khi không còn node để xét

Để có thể code DFS, thông thường ta sẽ dùng đệ quy.

---

Code

`

include

using namespace std; const int MaxN = 1 + 1e5; int n; bool mark[MaxN]; vector adj[MaxN]; void DFS(int u){

cout << u << " ";  
mark[u] = 1;  
for(int v : adj[u])  
if(!mark[v]) DFS(v);  

} int main(){

freopen("CTDL.inp","r",stdin);  
freopen("CTDL.out","w",stdout);  
cin >> n;  
for(int i = 0 ; i < n - 1 ; ++i){  
    int u, v;  
    cin >> u >> v;  
    // adj[u] là tập tất cả các đỉnh kề u  
    adj[u].push_back(v);  
    adj[v].push_back(u);  
}  
DFS(1);
return 0;  

} `

Độ phức tạp của DFS giống như BFS và là trong đó, là số cạnh, là số đỉnh của một đồ thị.

---

Mở rộng

Quan hệ cha - con

Từ quá trình DFS, ta sẽ có một kiểu quan hệ mới giữa hai node trên cây đó là quan hệ “cha – con”. Một node được gọi là node cha của node khi giữa và có cạnh nối trực tiếp và được xét trước trong quá trình DFS.

Lưu ý: Quan hệ cha – con là quan hệ tương đối, tức là có thể thay đổi phụ thuộc vào cách node gốc được chọn.

---

Node lá

Một node được gọi là node lá khi nó không có bất cứ một con nào.

---

Cây nhị phân

Một cây được gọi là cây nhị phân khi mỗi node cha có nhiều nhất hai node con và một node chỉ có duy nhất một node cha.

Ví dụ:

---

Kết luận

• Qua bài này chúng ta đã nắm được về BFS và DFS
• Bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu về Segment Tree
• Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

---

Tải xuống

Tài liệu

Nhằm phục vụ mục đích học tập Offline của cộng đồng, Kteam hỗ trợ tính năng lưu trữ nội dung bài học BFS và DFS dưới dạng file PDF trong link bên dưới.

Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm thấy các tài liệu được đóng góp từ cộng đồng ở mục TÀI LIỆU trên thư viện Howkteam.com

Đừng quên like và share để ủng hộ Kteam và tác giả nhé!

---

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.